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小学六年级数学竞赛试题及详细答案

时间:2010-09-10


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小学六年级数学竞赛试题及详细答案
一、计算下面各题,并写出简要的运算过程(共 15 分,每小题 5 分) 计算下面各题,并写出简要的运算过程

三、解答下面的应用题(要写出列式解答过程。列式时,可以分步列式,可以 解答下面的应用题 列综合算式,也可以列方程)(共 20 分,每小题 5 分) 1.甲乙两个工程队共同修筑一段长 4200 米的公路,乙工程队每天比甲工程队多 修 100 米。现由甲工程队先修 3 天。余下的路段由甲、乙两队合修,正好花 6 天时 间修完。问:甲、乙两个工程队每天各修路多少米?

2.一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发,用 30 分钟时间行完了一半 路程,这时,他加快了速度,每分钟比原来多行 50 米。又骑了 20 分钟后,他从路 旁的里程标志牌上知道,必须再骑 2 千米才能赶到乡办厂,求县城到乡办厂之间的 二、填空题(共 40 分,每小题 5 分) 填空题 1.在下面的“□”中填上合适的运算符号,使等式成立: (1□9□9□2)×(1□9□9□2)×(19□9□2)=1992 2.一个等腰梯形有三条边的长分别是 55 厘米、25 厘米、15 厘米,并且它的下 底是最长的一条边。那么,这个等腰梯形的周长是_ _厘米。 3.一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半(如图 12)。将这个长方体 切成 12 个小长方体,这些小长方体的表面积之和为 600 平方分米。求这个大长方体 的体积。 总路程。

3.一排长椅共有 90 个座位,其中一些座位已经有人就座了。这时,又来了一个 人要坐在这排长椅上,有趣的是,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相 邻。原来至少有_ _人已经就座。

4.用某自然数 a 去除 1992,得到商是 46,余数是 r。a=_ _,r=_ _。 5.“重阳节”那天, 延龄茶社来了 25 位老人品茶。 他们的年龄恰好是 25 个连续自 然数,两年以后,这 25 位老人的年龄之和正好是 2000。其中年龄最大的老人今年_ ___岁。 6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本,每个学生从中任意借两本。那 么,至少__ __个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。 7.五名选手在一次数学竞赛中共得 404 分,每人得分互不相等,并且其中得分 最高的选手得 90 分。那么得分最少的选手至少得__ (每位选手的得分都是整数) 8.要把 1 米长的优质铜管锯成长 38 毫米和长 90 毫米两种规格的小铜管,每锯 一次都要损耗 1 毫米铜管。那么,只有当锯得的 38 毫米的铜管为__ __段、90 毫 米的铜管为_ ___段时,所损耗的铜管才能最少。
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4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局(要求每个包内所

多 35 本。第 2 次他们把剩下的书全部领来了,连同第一次多的零头一起,刚好又打 11 包。这批书共有多少本?

__分,至多得

__ __分。

四、问答题(共 35 分) 问答题 1.有 1992 粒钮扣,两人轮流从中取几粒,但每人至少取 1 粒,最多取 4 粒,谁 取到最后一粒,就算谁输。问:保证一定获胜的对策是什么?(5 分)

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(2)如果把上面(1)中的“4 个孩子”改为“7 个孩子”,好不好分?如果好分, 2.有一块边长 24 厘米的正方形厚纸,如果在它的四个角各剪去一个小正方形, 就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大,剪去的小正方形的边 长应为几厘米?(6 分) 怎么分?如果不好分,为什么?(5 分)

详解与说明
一、计算题

3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品,需要如图 13 所示的(a)、(b)两种 形状的铁皮毛坯。现有甲、乙两块铁皮下脚料(如图 14、图 15),图 13、图 14、 图 15 中的小方格都是边长相等的正方形。金师傅想从其中选用一块,使选用的铁皮 料恰好适合加工成套的这种铁皮制品(“成套”,指(a)、(b)两种铁皮同样多), 并且一点材料也不浪费。 问:(1)金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块?(3 分) (2)怎样裁剪所选用的下脚料?(请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示 其中一种形状的毛坯)(5 分)

说明:要想得到简便的算法,必须首先对题中每个数和运算符号作全面、

,马上就应该知道它可以化为 3.6;而 3.6 与 36 只差一个小数点,于是,又容易想 到把“654.3×36”变形为“6543×3.6”,完成了这步,就为正

”采用了同样的手段,这种技巧本报多次作过介绍。 4.只修改 21475 的某一位数字, 就可以使修改后的数能被 225 整除。 怎样修改? (6 分)

5.(1)要把 9 块完全相同的巧克力平均分给 4 个孩子(每块巧克力最多只能切 成两部分),怎么分?(5 分)

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说明:解这道题可以从不同的角度来观察。解法一是先观察、比较分子部分每 个加数(连乘积)的因数,发现了前后之间的倍数关系,从而把“1×3×24”作为公因 数提到前面,分母部分也作了类似的变形。而解法二,是着眼于整个繁分数,由分 子看到分母,发现分子部分的左、中、右三个乘 说明: 解法一是求等比数列前 n 项和的一般方法, 这种方法本报 217 期第一版“好 伙伴信箱”栏中曾作过介绍。由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半,因而, 只要添上一个最小的加数,就能凑成“2 倍”,也就是它前面的一个加数,这就不难想 到解法二。 二、填空题 分子部分括号内三个乘积的和约去了。本题是根据《数学之友》(7)第 2 页例 5 改 编的。 3.解法一: 1.解:(1×9×9+2)×(1+9-9+2)×(19-9-2) =83×3×8 =1992 或(1×9×9+2)×(1×9÷9×2)×(19-9+2) =83×2×12 =1992 (本题答案不唯一,只要所填的符号能使等式成立,都是正确的) 说明:在四个数字之间填上三个运算符号,使它们的计算结果为某个已知数, 这是选手们熟悉的“算式谜”题。而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应 该是多少,这就需要把 1992 分解为三个数连乘积的形式,1992=83×3×2×2×2,因为 83、3、2、2、2 组成三个乘积为 1992 的数有多种组合形式,所以填法就不唯一了。 解法二:
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2.解:55+15+25×2=120(厘米)

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说明:要算周长,需要知道上底、下底、两条腰各是多长。容易判断:下底最 长,应为 55 厘米。关键是判断腰长是多少,如果腰长是 15 厘米,15×2+25=55,说 明上底与两腰长度之和恰好等于下底长,四条边不能围成梯形,所以,腰长只能是 25 厘米。读者从本报 190 期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当 受到启发。 3.解:最少有 因为 a 是自然数,所以 a=43 r=1992-46×43=14 说明:本题并不难,因此应尽可能运用简单的方法,迅速地算出答案。解法一 是根据 1992÷a 的商是 46,因而直接用 1992÷46 得到了 a 和 r。解法二用的是“估值 说明:根据题意,可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个 空位。但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位,因为已经就座的人最 左边一个(最右边一个)既可以坐在左边(右边)起第一个座位上,也可以坐在左 边 (右边) 起第二个座位上 (如图 16 所排出的两种情况, “●”表示已经就座的人, “○” 表示空位)”。 不过,题目中问“至少”有多少人就座,那就应选第二种情况,每三人(○●○)一 组,每组中有一人已经就座。 (1)●○○●○○●…… (2)○●○○●○○●○…… 图 16 4.解法一:由 1992÷46=43……14 立即得知:a=43,r=14 解法二:根据带余除法的基本关系式,有 1992=46a+r(0≤r<a) 由 r=1992-46a≥0,推知 法”。 5.解法一:先算出这 25 位老人今年的岁数之和为 2000-25×2=1950 年龄最大的老人的岁数为 [1950+(1+2+3+4+……+24)]÷25 =2250÷25 =90(岁) 解法二:两年之后,这 25 位老人的平均年龄(年龄处于最中间的老人的年龄) 为 2000÷25=80(岁) 两年后,年龄最大的老人的岁数为 80+12=92(岁) 年龄最大的老人今年的岁数为 92-2=90(岁) 说明:解法一采用了“补齐”的手段(详见本报 241 期第一版《“削平”与“补齐”》 一文)。当然,也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数,再加上 24。解法二 着眼于 25 人的平均年龄,先算年龄处于最中间的老人的岁数,算起来更简便些。 6.解:根据“抽屉原理”,可知至少 7 个学生中有两人所借图书的种类完全相同。 说明:本题是抽屉原理的应用。应用这个原理的关键是制造抽屉。从历史、文 艺、科普三种图书若干本中任意借两本,共有——(史,史)、(文,文)、(科, 由 r=1992-46a<a,推知 科)、(史,文)、(史,科)、(文,科)这六种情况,可把它们看作六只“抽屉”, 每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。换句话说,如果把借书的学生看作 “苹果”,那么至少 7 个苹果放入六个抽屉,才能有两个苹果放在同一个抽屉内。本 题是由本报 234 期“奥林匹克学校”拦的例 2 改换而成的。
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7.解:得分最低者最少得 404-(90+89+88+87)=50(分) 得分最低者最多得 [404-90-(1+2+3)]÷4=77(分) 说明:解这道题要考虑两种极端情形: (1)要使得分最低的选手的得分尽可能地少,在五名选手总分一定的条件下, 应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。第一名得分是已知的(90 分), 这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近 90 分,而且互不相等,只有第二、三、 四名依次得 89 分、88 分、87 分时,第五名得分最少。 (2)要使得分最低的选手得分最多,在总分和第一名得分一定的条件下,应当 使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。考虑到他们的得分又要互不相等,只有 当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到,用“削平”的方法可以 算出第五名最多得多少分。 本题是根据《数学之友》(7)第 46 页第 13 题改编的。 8.解:设 38 毫米、90 毫米的铜管分别锯 X 段、Y 段,那么,根据题意,有 38X+90Y+(X+Y-1)=1000 39X+91Y=1001

推理比较方便,不过,列方程时可别忘掉那损耗的 1 毫米,而且损耗了几个“1 毫米” 也不能算错,应该是“总段数-1”。 列出方程式之后,还有两点应当讲究:(1)变形要合理;(2)要选用简便算 法。如上面解法中,把 1001 写成 7×11×13,39 写成 3×13,91 写成 7×13,使分子部 分和分母部分可以约分,对于迅速推知最后结果是大有帮助的。 本题是《数学之友》(7)第 51 页练习六中的原题。 三、应用题 1.解法一:假设乙工程队每天与甲工程队修的路同样多,那么两队一共修的路 就要比 4200 米少 600 米, 3600 米就相当于甲工程队用 15 天 这 (15=3+6×2) 修完的, 列式为 (4200-600)÷(3+6×2) =3600÷15=240(米) 240+100=340(米) 解法二:设甲工程队每天修路 X 米,那么乙工程队每天修路“X+100”米,根据 题意,列方程 3X+6×(X+X+100)=4200 解得 X=240 从而 X+100=340(米) 答:甲工程队每天修路 240 米,乙工程队每天修路 340 米。 说明:“假设”是我们解应用题时经常采用的算术方法,它体现了机智、敏捷, 能迅速得到答案。本题根据本报第 234 期第二版“思考题解答”一栏中的例题改编而 成。

要使损耗最少, 就应尽可能多锯 90 毫米长的铜管, 也就是说上面式中的 X 应尽 可能小,Y 尽可能大。由于 X、Y 都必须是自然数,因而不难推知:X=7,Y=8。即 38 毫米的铜管锯 7 段,90 毫米的铜管锯 8 段时,损耗最少。 说明:选手们读题之后,可以马上想到:要使损耗最少,应尽可能多锯 90 毫米 长的铜管,但必须符合“两种铜管都有”、“两种铜管长度之和加上损耗部分长度应等 于 1 米”两个条件,这样算起来就不那么简单了。这种题目,借助等量关系式来进行
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2.解:从题目可知,前 30 分钟行完总路程的一半,后 20 分钟没有把另一半行 完,比总路程的一半少 2 千米。换句话说,后 20 分钟比前 30 分钟少行了 2000 米。 为什么会少行呢?原因有两方面:(1)后 20 分钟比前 30 分钟少行 10 分钟;(2) 后 20 分钟比前 30 分钟每分钟多行 50 米。这样,容易推知前 30 分钟里每 10 分钟所 行的路程是 20×50+2000=3000(米)。前 30 分钟每分钟行 3000÷10=300(米)总路 程为 300×30×2

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=18000(米) 答:县城到乡办厂之间的总路程为 18 千米。 说明:解本题的关键是:(1)通过比较,知道这个人前 30 分钟比后 20 分钟多 行多少路程;(2)找出前 30 分钟比后 20 分钟多行 2000 米的原因是什么。详见本 报 209 期《抓住矛盾找原因》一文。 3.解法一: 设大长方体左 (右) 面面积为 X 平方分米, 则大长方体表面积为 10X。 切成 12 个小长方体后,新增加的表面积为 (3X+2×2X)×2=14X 12 个小长方体表面积之和为 10X+14X=600 X=25 V=25×10=250(立方分米) 解法二:把大长方体的表面积看作——“1”,则切成 12 个小长方体后, 则有 7X=14Y+35 (1) 5X=11Y-35 (2) (1)-(2),得 ZX—3Y+70 (3) (1)+(2),得 12X=25Y (4) (3)×6,得 12X=18Y+420 (5) 比较(4)、(5)两式,有 25Y=18Y+420 解得 Y=60 12X=25×60=1500(本) V=25×5×2=250(立方分米) 答:这个大长方体的体积为 250 立方分米。 说明:这道题比较简单,只要明白把一个几何体切成两部分后,“新增加的表面 积等于切面面积的 2 倍”这个关系,不过,在计算新增加表面积时,稍不留心就会弄 错。本题根据本报第 226 期第一版“教你思考”栏中的例题改编的。 答:这批书共有 1500 本。 说明:这道题目里的数量关系其实很容易看出,解法一几乎是心算出结果的。 所以,不能把问题想得很复杂。解法二比较容易想到,但设“未知数”也很有讲究, 如果设这批书有 X 本,变形就比较麻烦了。 四、问答题 1.答:保证一定获胜的对策是:(1)先取 1 粒钮扣,这时还剩 1991 粒钮扣。 (2)下面轮到对方取,如果对方取 n 粒(1≤n≤4),自己就取“5-n”粒,经过 398 个 轮回后,又取出 398×5=1990(粒)钮扣,还剩 1 粒钮扣,这 1 粒必定留给对方取。 说明:本题只是把本报 233 期“奥林匹克学校”栏对策问题的“例 1”改掉一个字 ——“胜”改为“输”。一字之差,对策就要改变。我们知道,解对策问题有一个基本
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又因为 10 包+25 本+35 本←→11 包 所以 1 包←→60 本 (14+11)×60=1500(本) 解法二:(列方程解)

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思路:把失败(输)的可能留给对手。本题中,谁取到最后一粒钮扣谁就算输,因 而,要想获胜,就必须抢到第 1991 粒。想到这一点,就容易找到保证获胜的对策了。 2.答:剪去的小正方形边长应为 4 厘米。 说明:要回答这道题,可以先到一个表来比较一下。通过比较,容易知道剪去 的小正方形边长是几厘米时,做成的纸盒容积最大。

4.答:可以把“1”改为“0”,也可以把“4”改为“3”,还可以把“1”改为“9”,把“2” 改为“1”。 说明:本题有四种符合要求的答案,就看你考虑问题是不是全面了。因为 225=25×9,所以要修改后的数能被 225 整除,就是既能被 25 整除,又能被 9 整除。 被 25 整除不成问题,末两位数 75 不必修改,只要看前面三个数字。有 2+1+4+7+5=19=18+1=27-8,不难排出上面四种答案。

从上面表中一下子可以看出结果。 还可以设被剪去的小正方形边长 (纸盒的高) h, 为 那么, 纸盒底面边长为 24-2h。 它的容积为 5.答:(1)把 9 块中的三块各分为两部分:

因为 24-2h+24-2h+4h=48(定数),根据《数学之友》(7)第 23 页所介绍的 结论,当 24-2h=4h 时,(24-2h)×(24-2h)×4h 乘积最大。也就是说,当 h=4 时, V 最大。 3.答:(1)应选甲铁皮料。 (2)剪法如图 17。 说明:题中要求选一块铁皮料适合做“成套”的铁皮制品,这就要求所选的铁皮 料中包含的(a)(b)两种毛坯同样多;又因为不能浪费材料,所以,只要算一算 (数一数甲、乙两块材料中各有多少小正方形),看甲(或乙)材料中小正方形的 总数能不能被(10+7=17)整除。 在回答第(2)个问题时,可以把(a)(b)两块毛坯拼成图 18,再根据上面所 算出的结果,从中心处向四个方向剪开,就得到 4 个图 18 的形状。仔细观察图 17, 容易发现图中的对称美,这种美也能启发你找到剪裁铁皮的方法。
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说明:这个分糖的问题很有趣。先得算一算,9 块糖平分给 4 个孩子,

因为题中有一句话限制了分的方法,这就是“每块糖至多只能切成两部分”。

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注意这条“限制”。

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