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高三函数与导数高考题专辑

时间:2014-01-03


函数与导数
1、已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 为连续、可导函数,如果 f (x) 既有极大值 M,又有极小值 N,求证: M ? N .
3 2

2、已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 在(0,1)上是增函数.
3

(1)求实数 a 的取值集合 A; (2)当 a 取 A 中最小值时,定义数列 {a n } 满足: 2a n ?1 ? f (a n ) ,且 a1 ? b(0,1)(b 为常数) ,试比较 a n ?1与a n 的大小; (3)在(2)的条件下,问是否存在正实数 C,使 0 ?

an ? c ? 2 对一切 n ? N 恒成立? an ? c

3、已知 f ( x) ?

2x ? a ( x ? R) 在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2 1 2 的两根为 x1 、 x 2 ,试问:是否存在实数 m,使得不等式 m ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 x

(1)求实数 a 的值所组成的集合 A. (2)设关于 x 的方程 f ( x) ?

a ? A及t ? [?1,1] 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由

4、已知二次函数 y=g(x)的图象过原点和点(m,0)与点(m+1, m+1) , (1)求 y=g(x)的表达式; (2)设 f (x) =(x-n)g(x)(m>n>0)且 f (x) 在 x=a 和 x=b(b<a)处取到极值, ①求证:b<n<a<m; ②若 m+n=2 2 ,则过原点且与曲线 y= f (x) 相切的两条直线能否互相垂直?若能,则给出证明;若不能,请说明理由? (文科生做)设常数 a>0, a≠1,函数 f ( x) ? log a ....

x?5 , x?5

(1)讨论 f (x) 在区间(-∞,-5)上的单调性,并予以证明; (2)设 g(x)=1+loga(x-3),如果 f (x) =g(x)有实数根,求 a 的取值范围.

5、已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R).
3 2

(1)若 a ? 1 ,函数 f (x) 的图象能否总在直线 y ? b 的下方?说明理由; (2)若函数 f (x) 在[0,2]上是增函数, x ? 2 是方程 f (x) =0 的一个根,求证: f (1) ? ?2 ; (3)若函数 f (x) 图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.

6、 (理)设 f ( x) ? (ax ? x ? 1) ? e
2

?x

, (e 为自然对数的底,a 为常数且 a ? 0, x ? R ) f (x) 取极小值时,求 x 的值.

(文)函数 f ( x) ? ax3 ?

3 (a ? 1) x 2 ? 3x(a 为常数且 a ? 0, x ? R )取极小值时,求 x 的值. 2

7、已知 b ? ?1, c ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? b 的图象与函数 g ( x) ? x ? bx ? c 的图象相切.
2

(1)求 b 与 c 的关系式。 (用 c 表示 b)(2)设函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在(-∞,+∞)内有极值点,求 c 的取值范围. ;

8、已知函数 g ( x) ?

ax 2 ? 1 (a, b, c ? N ), g (? x) ? ? g ( x), g (1) ? 2, g (2) ? 3 bx ? c

(1)求 g (x) 的解析式; (2)设数列 {a n } 的通项公式为

g ( n) 其前 n 项的和为 Sn,试求 lim S n ; n ? ?? (n ? 1)( n 2 ? 1)

(3)设 f ( x) ? xg( x), ? ( x) ? f [ f ( x)] ? ?f ( x). 问:是否存在实数 ? ,使 ? ( x)在(??,?1) 上为减函数且(-1,0)上是增函数?若存在求出实数 ? 的值和 ? (x) 的单调区间,以及 ? (x) 的极值;若不存在, 请说明理由.

9、已知 a

?

? ? (1, x), b ? ( x 2 ? x,? x) ,m 为常数且 m ? -2,求使成立的 x 的范围。

10、设函数 f ( x) ? e

x ?m

? x, 其中m ? R.

(I)求函数 f (x) 的最值; (Ⅱ) 给出定理: 如果函数 y ? f (x) 在区间[ a, b ]上连续, 并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f (x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 x0 ? (a, b), 使得f ( x0 ) ? 0 .运用上述定理判断,当 m ? 1 时,函数 f (x) 在区间 (m,2m) 内是否存在零点


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