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高中数学(人教A版,选修23)第二章 随机变量及其分布 章末归纳总结+综合检测(2份)23 综合检测2

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第二章综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2013· 霍邱二中一模)设随机变量 ξ 等可能取值 1、2、3、…、n,如果 P(ξ<4)=0.3, 那么 n 的值为( A.3 C.9 [答案] D 3 [解析] ∵P(ξ<4)= =0.3,∴n=10. n 2.已知随机变量 X 满足 D(X)=1,则 D(2X+3)=( A.2 C.6 [答案] B [解析] D(2X+3)=4D(X)=4. 3.(2013· 景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如图,则随机变量 X 的方差 D(X)等于( ) X P 1 A. 9 1 C. 3 [答案] B 1 1 2 2 2 1 2 2 [解析] 由 m+2m=1 得, m= , ∴E(X)=0× +1× = , D(X)=(0- )2× +(1- )2× 3 3 3 3 3 3 3 3 2 = ,故选 B. 9 1? 4.若随机变量 X 服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是? ?10,2?,则该随机变 量的方差等于( A.10 2 C. π [答案] C ) B.100 D. 2 π 0 m 2 B. 9 2 D. 3 1 2m B.4 D.8 ) ) B.4 D.10

1? [解析] 由正态分布密度曲线上的最高点? ?10,2?知

1 1 2 = ,∴D(X)=σ2= . 2 π 2π· σ

5.(2013· 辽师大附中高二期中)若随机变量 η~B(n,0.6),且 E(η)=3,则 P(η=1)的值 是( ) A.2×0.44 C.2×0.45 [答案] B [解析] ∵η~B(n,0.6), ∴E(η)=0.6n=3, ∴n=5, ∴P(η=1)=C1 0.6· (1-0.6)4=3×0.44, 5· 故选 B. 3 6.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么概率是 10 的事件为( ) B.4 只全是好的 D.至多有 2 只是坏的 B.3×0.44 D.3×0.64

A.恰有 1 只是坏的 C.恰有 2 只是好的 [答案] C

4 k Ck 7C3 [解析] X=k 表示取出的螺丝钉恰有 k 只为好的,则 P(X=k)= 4 (k=1、2、3、4). C10


1 3 1 1 ∴P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= ,∴选 C. 30 10 2 6 7. 对标有不同编号的 16 件正品和 4 件次品的产品进行检测, 不放回地依次摸出 2 件. 在 第一次摸出次品的条件下,第二次也摸到次品的概率是( 1 A. 5 3 C. 19 [答案] C [解析] “第一次摸出次品”记为事件 A,“第二次摸出次品”记为事件 B. 4 1 C2 3 4 则 P(A)= = .P(AB)= 2 = , 20 5 C20 95 则 P(B|A)= P?AB? 3 = . P?A? 19 ) 3 B. 95 D. 1 95 )

8.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),则 E(2ξ+1)与 D(2ξ+1)的值分别为( A.13,4 C.7,8 [答案] D B.13,8 D.7,16

[解析] 由已知 E(ξ)=3,D(ξ)=4,得 E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16. 9.有编号分别为 1、2、3、4、5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编

号互不相同的概率为( A. 5 21

) 2 B. 7 D. 8 21

1 C. 3 [答案] D

[解析] 从 10 个球中任取 4 个, 有 C4 取出的编号互不相同的取法有 C4 24 10=210 种取法, 5· 80 8 =80 种,∴所求概率 P= = . 210 21 k 10.设随机变量 ξ 服从分布 P(ξ=k)= ,(k=1、2、3、4、5),E(3ξ-1)=m,E(ξ2)=n, 15 则 m-n=( 31 A.- 9 8 C. 3 [答案] D 1 2 3 4 5 11 [解析] E(ξ)=1× +2× +3× +4× +5× = ,∴E(3ξ-1)=3E(ξ)-1=10, 15 15 15 15 15 3 1 2 3 4 5 又 E(ξ2)=12× +22× +32× +42× +52× =15,∴m-n=-5. 15 15 15 15 15 11.某次国际象棋比赛规定,胜一局得 3 分,平一局得 1 分,负一局得 0 分,某参赛队 员比赛一局胜的概率为 a,平局的概率为 b,负的概率为 c(a、b、c∈[0,1)),已知他比赛一 局得分的数学期望为 1,则 ab 的最大值为( 1 A. 3 1 C. 12 [答案] C 1 1 ?3a+b?2 1 1 [解析] 由条件知,3a+b=1,∴ab= (3a)· b≤ · = ,等号在 3a=b= ,即 3 3 ? 2 ? 12 2 1 1 a= ,b= 时成立. 6 2 12.一个盒子里装有 6 张卡片,上面分别写着如下 6 个定义域为 R 的函数:f1(x)=x, f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取 出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数 ξ 的数学期望为( 7 A. 4 ) 77 B. 20 ) 1 B. 2 1 D. 6 ) B.7 D.-5

3 C. 4 [答案] A

7 D. 3

[解析] 由于 f2(x),f5(x),f6(x)为偶函数,f1(x),f3(x),f4(x)为奇函数,所以随机变量 ξ 可取 1,2,3,4. C1 1 3 P(ξ=1)= 1= , C6 2
1 C1 3 3C3 P(ξ=2)= 1 1= , C6C5 10 1 1 C1 3 3C2C3 P(ξ=3)= 1 1 1= , C6C5C4 20 1 1 1 C1 1 3C2C1C3 P(ξ=4)= 1 1 1 1= . C6C5C4C3 20

所以 ξ 的分布列为 ξ P 1 1 2 2 3 10 3 3 20 4 1 20

1 3 3 1 7 E(ξ)=1× +2× +3× +4× = . 2 10 20 20 4 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P

7 x

8 0.1

9 0.3

10 y

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. [答案] 0.4 [解析] 由分布列可得 x=0.6-y 且 7x+0.8+2.7+10y=8.9,解得 y=0.4. 14.(2013· 九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球 将自由下落.小球在下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已 1 知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是 ,则小球落入 A 袋中的概率 2 为________. [答案] 3 4

1 1 1 1 [解析] 小球落入 B 袋中的概率为 P1=( × × )×2= , ∴小球落入 A 袋中的概率为 P 2 2 2 4 3 =1-P1= . 4

15.将一颗骰子连掷 100 次,则点 6 出现次数 X 的均值 E(X)=________. [答案] 50 3

1? [解析] 这是 100 次独立重复试验,X~B? ?100,6?, 1 50 ∴E(X)=100× = . 6 3 16.(2013· 陕西宝鸡中学高二期末)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1、A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由 乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________________(写出所有正确结论 的序号). 2 ①P(B)= ; 5 5 ②P(B|A1)= ; 11 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. [答案] ②④ [解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐,则 A1、A2、A3 中任意两个事件不可能同时发生, 1 1 3 5 即 A1、A2、A3 两两互斥,故④正确,易知 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,又 P(B|A1)= , 2 5 10 11 P(B|A2)= 4 4 ,P(B|A3)= ,故②对③错;∴P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)· P(B|A1) 11 11

1 5 1 4 3 4 9 +P(A2)P(B|A2)+P(A3)· P(B|A3)= × + × + × = ,故①⑤错误.综上知,正确结 2 11 5 11 10 11 22 论的序号为②④. 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2014· 甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A、B、 C 三个社区参加社会实践,要求每个社区至少有一名同学. (1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率; (3)设随机变量 ξ 为四名同学中到 A 社区的人数,求 ξ 的分布列和 Eξ 的值. A2 1 2 [解析] (1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 M,那么 P(M)= 2 3= , C4A3 18 1 即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 . 18

(2)记甲、乙两人在同一社区为事件 E,那么 P(E)= A3 1 3 3= , C2 4A3 6

所以,甲、乙两人不在同一社区的概率是 5 P( E )=1-P(E)= . 6 (3)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件“ξ=i(i=1,2)”是指有 i 个同学到 A 社区,
2 C2 1 4A2 则 p(ξ=2)= 2 3= . C4A3 3

2 所以 p(ξ=1)=1-p(ξ=2)= , 3 ξ 的分布列是: ξ p 2 1 4 ∴E(ξ)=1× +2× = . 3 3 3 18.(本题满分 12 分)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工 资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料, 另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯 都选对,则月工资定为 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元,令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. [分析] 8 杯饮料中含 4 杯 A 饮料,从 8 杯中任选 4 杯,其中恰含 k 杯 A 饮料的概率服 从超几何分布. 设新录用员工的月工资为 y,则 y 的取值与 X 的取值对应关系为 1 2 3 2 1 3

y X

3500 4

2800 3

2100 0,1,2

[解析] (1)X 的所有可能取值为:0、1、2、3、4,
4 i Ci4C4 P(X=i)= 4 (i=0、1、2、3、4), C8


故 X 的分布列为: X P 0 1 70 1 8 35 2 18 35 3 8 35 4 1 70

(2)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2100,2800,3500,

1 则 P(Y=3500)=P(X=4)= , 70 8 P(Y=2800)=P(X=3)= , 35 53 P(Y=2100)=P(X≤2)= , 70 1 8 53 E(Y)=3500× +2800× +2100× =2280. 70 35 70 所以新录用员工月工资的期望为 2280 元. [点评] 要注意超几何分布的特点,是总数为 N 件的 A、B 两类物品,其中含 M 件 A 类物品,从中任取 n 件(n≤N)时恰含有 A 类物品 m 件,要严格按其特点作出判断. 19.(本题满分 12 分)(2013· 揭阳一中高二段测)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品 都是经过第一和第二工序加工而成, 两道工序的加工结果相互独立, 每道工序的加工结果均 有 A、B 两个等级,对每种产品,两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均 为二等品. (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲、P 乙; 工序 概率 产品 甲 乙 0.8 0.75 0.85 0.8 第一工序 第二工序

(2)已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ、η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(1) 的条件下,求 ξ、η 的分布列及 E(ξ),E(η); 等级 利润 产品 甲 乙 5(万元) 2.5(万元) 2.5(万元) 1.5(万元) 一等 二等

(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资 金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(2)的条件下,x、y 为何值时,z= xE(ξ)+yE(η)最大?最大值是多少? 项目 产品 甲 乙 [解析] (1)P 甲=0.8×0.85=0.68, P 乙=0.75×0.8=0.6. 工人(名) 8 2 资金(万元) 5 10

(2)随机变量 ξ、η 的分别列是 ξ P η P E(ξ)=5×0.68+2.5×0.32=4.2, E(η)=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1. 5x+10y≤60, ? ?8x+2y≤40, (3)由题设知? x≥0, ? ?y≥0. x+2y≤12, ? ? 即?4x+y≤20, ? ?x≥0,y≥0. 5 0.68 2.5 0.6 2.5 0.32 1.5 0.4

目标函数为 z=xE(ξ)+yE(η)=4.2x+2.1y.

作出可行域(如图):作直线 l:4.2x+2.1y=0,

将 l 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行域上的点 M,此时 z=4.2x+2.1y 取最大 值.
? ?x+2y=12, 解方程组? ?4x+y=20. ?

得 x=4,y=4,即 x=4,y=4 时,z 取最大值,z 的最大值为 25.2. 20.(本题满分 12 分)(2014· 太原市二模)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽 宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力, 为保证航母的动力安全性, 科学家对蒸汽轮机进行了技术改 进, 并增加了某项新技术, 该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、 乙、 3 2 丙进行量化检测.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 、 、 4 3 1 ,指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 分、4 分,某项指标不合格记为 0 分,各项指标检 2 测结果互不影响.

(1)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与 数学期望. [解析] (1)记甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 A,B,C, - 则事件“得分不低于 8 分”表示为 ABC+A B C. - ∵ABC 与 A B C 为互斥事件,且 A,B,C 之间彼此独立, - - ∴P(ABC+A B C)=P(ABC)+P(A B C) - =P(A)P(B)P(C)+P(A)P( B )P(C) 3 2 1 3 1 1 3 = × × + × × = . 4 3 2 4 3 2 8 (2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为 0、1、2、3. --- 1 1 1 1 P(X=0)=P( A B C )= × × = , 4 3 2 24 -- - - -- P(X=1)=P(A B C + A B C + A B C) 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 = × × + × × + × × = , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 - - - P(X=2)=P(AB C + A BC+A B C) 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 = × × + × × + × × = , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 3 2 1 1 P(X=3)=P(ABC)= × × = , 4 3 2 4 随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 24 1 1 4 2 11 24 3 1 4

1 1 11 1 23 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 24 4 24 4 12 21.(本题满分 12 分)坛子里放着 5 个相同大小、相同形状的咸鸭蛋,其中有 3 个是绿 皮的,2 个是白皮的.如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋,求: (1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率; (2)第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋的概率; (3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率. [解析] 设第 1 次拿出绿皮鸭蛋为事件 A,第 2 次拿出绿皮鸭蛋为事件 B,则第 1 次和 第 2 次都拿出绿皮鸭蛋为事件 AB. (1)从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个的基本事件数为 μ(Ω)=A2 5=20.

μ?A? 12 3 1 又 μ(A)=A1 = = . 3×A4=12.于是 P(A)= μ?Ω? 20 5 μ?AB? 6 3 (2)因为 μ(AB)=A2 = = . 3=6,所以 P(AB)= μ?Ω? 20 10 (3)解法一:由(1)(2)可得,在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概 率为 3 P?AB? 10 1 P(B|A)= = = . 3 2 P?A? 5 解法二:因为 μ(AB)=6,μ(A)=12,所以 P(B|A) = μ?AB? 6 1 = = . μ?A? 12 2

22.(本题满分 14 分)(2014· 沈阳市质检)为向国际化大都市目标迈进,沈阳市今年新建 三大类重点工程,它们分别是 30 项基础设施类工程、20 项民生类工程和 10 项产业建设类 工程.现有来沈的 3 名工人相互独立地从 60 个项目中任选一个项目参与建设. (1)求这 3 人选择的项目所属类别互异的概率; (2)将此 3 人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. [解析] 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施类、 民生类、 产业建设类分别为事件 Ai、 Bi、Ci. 30 1 20 1 由题意知,P(Ai)= = ,P(Bi)= = , 60 2 60 3 10 1 P(Ci)= = (i=1,2,3). 60 6 (1)3 人选择的项目所属类别互异的概率 1 1 1 1 P=A3 3P(A1B2C3)=6× × × = . 2 3 6 6 30+10 2 (2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率 P= = . 60 3 2 由 X~B(3, ), 3 2k 2 3-k ∴P(X=k)=Ck (k=0,1,2,3), 3( ) (1- ) 3 3 ∴X 的分布列为 X P 2 其数学期望为 E(X)=3× =2. 3 0 1 27 1 2 9 2 4 9 3 8 27

1 1.在高三某个班中,有 的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出 5 名学生,那么,其 4 1 k ?1?k ?3?5-k 5, ? , 中数学成绩优秀的学生数 X~B? 则 P ( X = k ) = C 5 4 ·4 ? 4? ? ? ? ? 取最大值时 k 的值为( A.0 C.2 [答案] B B.1 D.3 )

[解析]

?C 由? ?C

k-1 5 k+1 5

?1?k-1· ?3?6-k k ?1?k ?3?5-k, ?4? ?4? ≤C5?4? · ?4? ?1?k+1· ?3?4-k k ?1?k ?3?5-k. ?4? ?4? ≤C5?4? · ? 4?

1 3 解得 ≤k≤ ,又因为 k∈N*,所以 k=1. 2 2 2.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( 自然状况 S1 S2 S3 A.A1 C.A3 [答案] C [解析] A1 的均值为 50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7. A2 的均值为 70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5. A3 的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7. A4 的均值为 98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6. ∴选方案 A3. 3.一次数学摸底考试,某班 60 名同学成绩的频率分布直方图如图所示.若得分 90 分 以上为及格.从该班任取一位同学,其分数是否及格记为 ξ,求 ξ 的分布列. 方案盈利概率 0.25 0.30 0.45 A1 50 65 26 B.A2 D.A4 A2 70 26 16 A3 -20 52 78 ) A4 98 82 -10

[解析]

由直方图可知该班同学成绩在 90 分以上的频率为 1-(0.01+0.0025)×20=

0.75,由频率估计概率的原理知,从该班任取一名同学及格的概率为 p=0.75,记及格 ξ=1, 不及格为 ξ=0,则 ξ 的分布列为 ξ P 0 0.25 1 0.75

4.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数 分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. [分析] (1)由表中所给出的数值, 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务应分三种情 况,逐一列出后求出其概率.(2)从已知条件知,X 的值为 0 人,1 人,2 人三种情况,特别 当 x=1 时要注意再进行分类讨论. [解析] 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2) =0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间

超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2) =0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 5.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗 位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 X 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 X 的分布列. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA,那么 P(EA)= 1 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 . 40 (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E, A4 1 4 那么 P(E)= 2 4= . C5A4 10 9 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E )=1-P(E)= . 10 (3)随机变量 X 可能取的值为 1,2,事件“X=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,则
3 C2 3 5A3 1 P(X=2)= 2 4= .所以 P(X=1)=1-P(X=2)= ,X 的分布列为: C5A4 4 4

A3 1 3 . 2 4= C5 A4 40

X P

1 3 4

2 1 4

6.在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂,准备进行某种实验,过圆锥高的中点有 一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区,其中小锥体叫第一实验 区,圆台体叫第二实验区,且两个实验区是互通的.假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可 能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的. (1)求蜜蜂落入第二实验区的概率; (2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色,求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率; (3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数,求随机变量 X 的数学期望 E(X). [解析] (1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件 A,“蜜蜂落入第二实验区”为事件 B.

11 1 ·· S圆锥底面· h圆锥 2 V小锥体 3 4 1 7 依题意,P(A)= = = ,∴P(B)=1-P(A)= , 1 8 8 V圆锥体 · S h 3 圆锥底面 圆锥 7 ∴蜜蜂落入第二实验区的概率为 . 8 (2)记“蜜蜂被染上红色”为事件 C,则事件 B、C 为相互独立事件, 10 1 7 又 P(C)= = ,P(B)= , 40 4 8 1 7 7 ∴P(BC)=P(B)P(C)= × = , 4 8 32 7 ∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为 . 32 (3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的,且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受 1 影响的,所以变量 X 服从二项分布,即 X~(40, ), 8 1 ∴随机变量 X 的数学期望 E(X)=40× =5. 8 7.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘,已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6、0.5、0.5,假设各盘比赛结果相 互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). [解析] (1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D 、 E 、 F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. - 红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0、1、2、3. 又由(1)知 D 立, 因此 P(ξ=0)=P( D E F )=0.4×0.5×0.5=0.1, E F、 D E F 、D E F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独

P(ξ = 1) = P( D 0.6×0.5×0.5=0.35.

E F) + P( D E F ) + P(D E

F ) = 0.4×0.5×0.5 + 0.4×0.5×0.5 +

P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15

因此 E(ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.


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