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【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-2课件 第2章 2.1 第2课时 演绎推理_图文

时间:2015-09-01

成才之路 ·数学
人教B版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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1-2

第二章
推理与证明

第二章

推理与证明

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1-2

第二章 2.1 合情推理和演绎推理
第2课时 演绎推理

第二章

2.1

第2课时

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1-2

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

第二章

2.1

第2课时

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1-2

课前自主预习

第二章

2.1

第2课时

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1-2

一位双目失明的少女在一个炎热的 夏日被绑架了.家人交了赎金后,她在 3 天后平安回到家.少女告诉警察,绑 架她的好像是一对年轻夫妇,她应该是 被关在海边的小屋里:“在这间小屋里 能听到海浪的声音,我好像被关在阁楼上,天气非常闷热,不 过到了夜晚会有风吹进来.”

第二章

2.1

第2课时

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1-2

警察在海边找到了两间简易小屋,一间朝南,一间朝北,
主人都是一对年轻夫妇.不过这两间屋打扫得干干净净,找不 出痕迹. 后来警察根据一些情况,立即做出了判断.这些情况是: (1)两间小屋结构几乎完全相同,只是阁楼的小窗一个朝

北,一个朝南;
(2)站在海岸上,面向海的方向是南面,背面对着丘陵; (3)少女被关的3天都是晴天,而且一点风也没有. 那么,你知道少女被关在哪一间小屋里吗?

第二章

2.1

第2课时

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1-2

1.推理 (1) 定义:根据一个或几个已知 ____________ 得出一个判 断,这种__________就是推理. (2) 结 构 : 一 般 由 两 部 分 组 成 , 一 部 分 是 ________________ , 叫 做 前 提 ; 一 部 分 是 由 已 知 ____________,叫做结论. (3)分类:推理一般分为__________与__________.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

2.合情推理 (1)定义:前提为真时,结论__________的推理,叫做合情 推理. (2)分类:数学中常用的合情推理有____________和

____________.
答案:1.(1)事实(或假设) 设) 推出的判断 (3)合情推理 2.(1)可能为真 思维方式 演绎推理 类比推理 (2)已知的事实(或假

(2)归纳推理

第二章

2.1

第2课时

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1-2

一 演绎推理的含义

1.定义:由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑
规则得到正确结论的过程叫做演绎推理. 2.演绎推理的特征:当前提为真时,结论必然为真. 说明:(1)演绎推理是由一般到特殊的推理.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

(2)演绎推理与合情推理的区别:
合情推理 归纳推理 推理 ? ?个别→一般 ? ?部分→整体 形式 ? 类比推理
? ?特殊→特殊 ? ? ?一般→一般

演绎推理

一般→特殊 若前提和推理过程正确, 则结论正确 证明数学结论,建立数学

结论 具有猜测性,不一定正确

作用 猜想发现结论,探索和提供思路 体系的重要思维过程,是 严格证明的工具
第二章 2.1 第2课时

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二 演绎推理的三种形式 1.三段论推理 (1) 三段论推理是由大前提、小前提得出结论的推理形 式.其结构形式为: ①大前提——已知的一般性原理; ②小前提——指出一个特殊的对象; ③结论——得出一般原理和特殊对象之间的内在联系.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

(2)三段论的一般格式: 大前提:M 是 P,

小前提:S 是 M, 结论:S 是 P 或 M—P(M 是 P).

第二章

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S—M?S是M? . S—P?S是P? 也可以用:若 a?b,b?c,则 a?c. (3)用集合知识说明“三段论”,如右图所示. 若集合 M 中的所有元素都具有性质 P,且 S 是 M 的子集, 则集合 S 中的所有元素都具有性质 P.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0,因
为a∈R,所以a2>0”结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 [答案] A [解析] ∵大前提“任何实数的平方都大于0”是错误的, 导致结论错误. B.小前提错误 D.非以上错误 )

第二章

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1-2

2.传递性关系推理 如果按规则“如果 aRb, bRc, 则 aRc”进行推理, 其中“R” 表示具有传递性的关系,这种推理规则叫做传递性关系推理. 例如:“如果 a≥b,b≥c,则 a≥c”.再如“a∥b,b∥c, 则 a∥c”. 注意: 传递性关系推理与三段论既相联系, 又有本质区别, 三段论中是 b?c, a?b, 则 a?c, 而传递性关系推理中的 a≥b, b≥c,则 a≥c,或 a∥b,b∥c,则 a∥c 的关系更加具体化, 学习中应该注意二者的区别,切勿混淆.
第二章 2.1 第2课时

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如图,因为AB∥CD,所以∠1=∠2,又因为∠2=∠3,
所以∠1=∠3.所用的推理规则为( A.假言推理 C.完全归纳推理 [答案] B ) B.关系推理 D.三段论推理

[解析] 由题可知所用的推理规则为关系推理.

第二章

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3.完全归纳推理 把所有情况都考虑在内的演绎推理规则是叫做完全归纳推 理. 完全归纳推理和归纳推理的区别:完全归纳推理不同于归 纳推理,后者仅仅是说明了几种特殊情况就得出了结论,它的 结论不一定正确.而前者是对所有的情况都进行了证明,它的 结论一定是正确.

第二章

2.1

第2课时

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求证函数f(x)=x4-x3+x2+1的图象都在x轴的上方.

[证明] 当x<0时,f(x)的各项都是正的,即f(x)>0恒成立,
所以函数f(x)=x4-x3+x2+1的图象在x轴的上方. 当0≤x≤1时,f(x)=x4+x2(1-x)+1>0,所以函数f(x)的图象

在x轴的上方.
当x>1时,f(x)=x3(x-1)+x2+1>0,所以函数f(x)的图象在 x轴的上方. 综上所述,函数f(x)的值恒为正,所以其图象在x轴的上 方.
第二章 2.1 第2课时

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三 数形结合思想在推理中的应用 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,“数”与 “形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻画与几何图形的直 观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维 和形象结构有机结合,应用数形结合思想,就是充分考查数学 问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示 其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思 路,从而使问题得到解决.

第二章

2.1

第2课时

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f?a? f?b? f?c? 若函数 f(x)=log2(x+1),且 c>b>a>0,则 , , 的 a b c 大小关系是( ) f?c? f?b? f?a? B. > > c b a f?a? f?c? f?b? D. > > a c b

f?a? f?b? f?c? A. > > a b c f?b? f?a? f?c? C. > > b a c

第二章

2.1

第2课时

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[答案] A

f?a? [解析] 作出函数 f(x)=log2(x+1)的图象(如图所示), , a f?b? f?c? , 可看做三点与原点的连线的斜率,由图知选 A. b c

第二章

2.1

第2课时

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课堂典例探究

第二章

2.1

第2课时

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利用三段论证明几何问题 用“三段论”证明:已知a、b、c∈R,求证a2 +b2+c2≥ab+bc+ca. [解题提示] 利用“三段论”证题,要明确大前提、小前

提与结论,另外要知道三段论证明的步骤.

[解析] (1)一个实数的平方是一个非负数,(大前提) a∈R,b∈R,(小前提) 所以(a-b)2≥0.(结论)
第二章 2.1 第2课时

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(2)不等式两边同时加上同一个数或式子,不等式仍成立, (大前提) (a-b)2≥0,2ab=2ab,(小前提) 所以 a2+b2≥2ab.(结论) (3)同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同 向,(大前提) a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,(小前提) 所以(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca, 即 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).(结论)
第二章 2.1 第2课时

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(4)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提) 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),(小前提) 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.(结论) 证明通常简略地表述为 a∈R,b∈R?(a-b)2≥0 ?a2+b2≥2ab ? ? 2 2 同理b +c ≥2bc??(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+ ? c2+a2≥2ca ? 2bc+2ca ? 2(a2 + b2 + c2)≥2(ab + bc + ca) ? a2 + b2 + c2≥ab + bc + ca.
第二章 2.1 第2课时

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[方法总结]

(1)应用三段论时,若大前提是显然的,则可

以省略.如本例中,第二个三段论证明过程中,大前提及小前 提均可省略. (2)在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,其结论 必然是正确的. (3) 重视演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中 的作用,养成言之有理,论证有据的好习惯.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

如图,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高.求证: ∠ACD>∠BCD.

[证明] 在△ABC 中, 因为 CD⊥AB, 所以∠ACD+∠A=∠BCD+∠B=90° . 又 AC>BC,所以∠B>∠A,于是∠ACD>∠BCD.
第二章 2.1 第2课时

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传递性关系推理

已知 a>0, b>0, a+b=1, 求证 ≤2.

1 a+ + 2

1 b+ 2

[解题提示] 直接用条件 a+b=1 来推理,方向不够明确, 但只要注意求证式子的特点,就不难想到可以利用关系推理进 行证明.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

1 [解析] ∵1=a+b≥2 ab,∴ab≤ . 4 1 1 ∴ (a+b)+ab+ ≤1, 2 4 ∴ 1 1 ?a+ ??b+ ?≤1, 2 2 1 1 ?a+ ??b+ ?≤4, 2 2 1 1 ?a+ ?+?b+ ?≤4, 2 2

从而有 2+2

1 1 即(a+ )+(b+ )+2 2 2

第二章

2.1

第2课时

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1-2

∴( ∴

1 a+ + 2 1 a+ a+ 2

12 b+ ) ≤4, 2 1 b+ ≤2. 2

[方法总结]

形中“a≥b,b≥c,则 a≥c”的推理规则叫

做传递性关系推理,其一般步骤是:(1)a≥b 成立;(2)b≥c 成 立;(3)a≥c 成立.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

1 1 1 求证:当 a,b,c 为正数时,(a+b+c)· ( + + )≥9. a b c a+b 1 1 1 [解析] 首先, 我们知道, ≥ ab, (a+b+c)· ( + + ) 2 a b c 2 1 1 1 1 1 1 ?a+b? 1 =(a+b)( + )+(a+b)·+c· ( + )+c·= +(a+b)( + a b c a b c ab c 2?a+b? c 1 c )+1≥4+(a+b)· 2 · +1=5+ ≥5+4=9. ab c ab ab 1 1 1 b c a c a b b 易证:(a+b+c)( + + )=3+ + + + + + =3+( a b c a a b b c c a a c a c b + )+( + )+( + )≥3+2+2+2=9(当且仅当 a=b=c 时取 b a c b c 等号).
第二章 2.1 第2课时

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合情推理和演绎推理的综合应用

ax+a-x ax-a-x 设 f(x)= , g(x)= (其中 a>0, a≠1). 2 2 (1)求证:g(5)=f(3)· g(2)+g(3)· f(2). (2)能否把(1)中的结论推广?写出你的推广并加以证明.

[ 解题 提 示 ]

由 5 = 2 + 3 推 测验 证 g(5) = f(3)· g(2) +

g(3)· f(2),再猜想 g(x+y)=f(x)· g(y)+g(x)· f(y).

第二章

2.1

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1-2

[解析]

a3+a-3 a2-a-2 (1)f(3)g(2) + g(3)f(2) = · + 2 2

a3-a-3 a2+a-2 a5-a+a-1-a-5+a5+a-a-1-a-5 a5-a-5 · = = . 2 2 4 2 a5-a-5 又 g(5)= ,所以 g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2). 2 (2)因为 g(5)=f(3)· g(2)+g(3)· f(2),即 g(3+2)=f(3)g(2)+ g(3)f(2), 于是猜测 g(x+y)=f(x)· g(y)+g(x)· f(y).

第二章

2.1

第2课时

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1-2

ax+a-x ax-a-x 证明如下:因为 f(x)= ,g(x)= , 2 2 ax+y-a-?x+y? 所以 g(x+y)= . 2 ay-a-y ay+a-y 又 g(y)= ,f(y)= , 2 2 所以 f(x)g(y)+g(x)f(y) ax+a-x ay-a-y ax-a-x ay+a-y = · + · 2 2 2 2 ax+y-a-?x+y? = =g(x+y). 2 即 g(x+y)=f(x)· g(y)+g(x)· f(y).
第二章 2.1 第2课时

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[方法总结] 合情推理与演绎推理是互相渗透、互相联系、 互相补充的,是辩证统一的,在实践中,通常把两种推理结合 使用,由合情推理获得猜想假设,通过鉴别其真伪,去掉不正 确的部分,保留有研究价值的部分,获得确定结果,再给予演 绎证明.

第二章

2.1

第2课时

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1-2

通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并说明结 论的真假. 3 sin 15° +sin 75° +sin 135° = ; 2
2 2 2

3 sin 30° +sin 90° +sin 150° = ; 2
2 2 2

3 sin 45° +sin 105° +sin 165° = ; 2
2 2 2

3 sin 60° +sin 120° +sin 180° = . 2
2 2 2

第二章

2.1

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1-2

3 [解析] 猜想:sin (α-60° )+sin α+sin (α+60° )= . 2
2 2 2

左 边 = (sinαcos60° - cosαsin60° )2 + sin2α + (sinαcos60° + 3 2 3 2 cosαsin60° ) = (sin α+cos α)= =右边,所以猜想的结论正确. 2 2
2

第二章

2.1

第2课时

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1-2

求证:四边形的内角和是 360° .

[误解] 设四边形是矩形 ABCD,则它的四个角都是直角, 有∠A+∠B+∠C+∠D=90° ×4=360° , 所以四边形的内角和 等于 360° .

[辨析]

上述推理过程是错误的.在证明过程中,把命题

中的四边形改为矩形,犯了偷换概念的错误.
[正解] 设四边形为四边形 ABCD, 连结对角线 AC.由三角 形内角和定理, 得△ABC 和△ADC 的内角和均为 180° , 所以四 边形 ABCD 的内角和为 180° ×2=360° .
第二章 2.1 第2课时

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1-2

定义?了解? ? ? ?特征?理解? ? ?三段论推理?掌握? 演绎推理? ? ? ?分类?传递性关系推理?理解? ?完全归纳推理?理解? ? ? ?

第二章

2.1

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1-2

课时作业
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第二章

2.1

第2课时


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