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[高三数学]高三教案2013新课标数学高三一轮复习

时间:2019-01-29

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高三数学

教师:周老师

导入: 知识点精讲 考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习) 当堂过手训练
①②③④⑤⑥⑦⑧

健康比分数重要,幸福比成功重要! !

1

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第一讲 知识点精讲
1、集合的概念
集合的三个性质: 、

集合





2、集合的表示
①列举法:适用于元素较少的集合 ②描述法:适用于元素有规律的集合,一般形式为 。 ③Venn 图法:用圆或者矩形表示 ④几个特定的集合:Z: 、N: 、N: R: 、C: 、

×

、Q:



⑤用区间表示实数集合

?a, b? =
?a, b? =

, ?a, b ? = , ?a, b ? = , ?? ?, a ? = , ?? ?, a ? =

?a,??? =
?a,??? =
3、元素和集合之间的关系

①元素和集合:a是集合M的元素记为a ? M,a不是集合M的元素记为a ? M ②集合与集合:A是B的子集,记作A ? B或者B ? A。A是B的真子集,记作A ? B 或者B ? A,规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,n个元素的集合共 有2 个子集.


4、集合的运算
①交集:A ? B= ②并集:A ? B= ③补集:CuA=

5、集合运算中两组常用的结论




6、用韦恩图表示集合的运算
如图,左圆表示集合A,右圆表示集合B,矩形表示全集U,则I= II= ,III= ,IV= 。
2

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考点透析
1 集合的表示
例题1用适当的方法表示下列集合: ①由所有不大于6的非负整数组成的集合; ②由所有被3除余1的自然数组成的集合; ③平面直角坐标系中第三象限内所有的点的集合; ④设a,b是非零实数,求y=

a b ab 的所有值所组成的集合; ? ? a b ab

反思总结: 变式训练:1用适当的方法表示下列集合: ①满足

6 ? Z 的整数x的集合; 2? x
2

②函数 y ? ? x ? 6 图象上满足 x ? N , y ? N 的点的集合; ③平面直角坐标系中不在第一象限的点的集合;

2 集合间的关系
例题2 已知集合 A ? ??1,1? , B ? x / x ? 2ax ? b ? 0 , 若A ? B ? B ? ф,求实数a,b的
2

?

?

值.

反思总结: 变式训练:2若集合M= x / x ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x / ax ? 2 ? 0, a ? R? 且M? N,则满足
2

?

?

条件的实数a的集合是



3 集合的运算
例题3已知集合

A=x/ x 2 ? 4mx? 2m ? 6 ? 0, x ? R , B ? ?x / x ? 0, x ? R?, 若A?B? ф,求实数m的取
值范围.
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?

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反思总结: 变式训练3:已知集合A= x / ax2 ? 2x ?1 ? 0 , B ? ?x / x ? 0? , 若A?B? ф,求实数a的 取值范围.

?

?

当堂过手训练

第2讲 导入
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函数的概念及表示

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知识点精讲
一、映射 1.映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 元素,在 集合 B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射, 记作 . 2.象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做 象, 叫做原象。 二、函数 1.定义:设 A、B 是 ,f:A→B 是从 A 到 B 的一个映射,则映射 f:A→B 叫做 A 到 B 的 ,记作 . 2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才 能称为同一函数。 3.函数的表示法有 、 、 。 三、定义域: 1.函数的定义域就是使函数式 2.常见的三种题型确定定义域: ① 已知函数的解析式,就是

的集合. . 域是外函数 f ? x ?

② 复合函数 f ? ? g ? x ?? ? 的有关定义域,就要保证内函数 g ? x ? 的 的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得

有意义的自变量的取值集合.

考点透析
1 求函数的定义域
例题1①求函数 y ?

?x ? 1?0
x ?x

的定义域;

②若函数 f (2 x ? 1)的定义域为 ?0,1?,求f ( x)的定义域; ③若函数 f ( x)的定义域为 ?0,1?,求f (2x ?1)的定义域;

反思总结: 变式训练1:①已知函数

?a, b?,其中a ? 0 ? b, a ? b, 求函数g( x) ? f ( x) ? f (?x)的定义域 f ( x)的定义域为
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② f ( x)的定义域为 ?0,1?,试求函数y ? f (a ? x) ? f ( x ? a)(a ? 0) 的定义 域;

2 求函数的解析式
例题2①已知 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 2 x, 求f ( x) ;
2

②已知 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 2 x ? 3, 求f ( x) ;

1 x

反思总结: 变式训练2:①已知 f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1, 求f ( x ?1) ②已知3 f ( x) ? 2 f (? x) ? 2x 2 ? 3, 不求f ( x)的解析式直接求 f (0), f (2)

3 分段函数求值
例题 3 函数 f ( x) ?

sin(?x 2 ),?1 ? x ? 0, e x?2 , x ? 0

,若 f (2) ? f (a) ? 2, 求a的值

反思总结: 变式训练3:设 f ( x) ?

2e x ?1 , x ? 2 ,若 f ( f (a)) ? 2 ,求a; log3 ( x ? 1), x ? 2

4 函数的图象
例题4设a<b,函数 f ( x) ? ( x ? a) ( x ? b) 的图象可能是(
2



反思总结: 变式训练4:函数 f ( x) ?

e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e?x



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第3讲 导入:

函数的单调性与最值

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知识点精讲
一、单调性 1 .定义:如果函数 y ? f ? x ? 对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值

x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,①都有
称函数的一个 这个区间称函数的一个 ;②都有 .

,则称 f ? x ? 在这个区间上是增函数,而这个区间 ,则称 f ? x ? 在这个区间上是减函数,而

若函数 f(x)在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间,则 f ? x ? 称为

.

2.单调性和单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:① ;② ;③ . (2) 图像法 (3) 导数法,若函数 y ? f ? x ? 在定义域内的某个区间上可导,①若 ,则

f ? x ? 在这个区间上是增函数;②若
4.重要函数的 y ? ax ?

,则 f ? x ? 在这个区间上是减函数.

b (a ? 0, b ? 0, x ? 0) 的单调性及最值 x
;当x= 时取最小值为:

增区间: ;减区间: . 5.有关最值得重要结论

设 f ( x ) 在某个区间D上有最小值, m为常数, 则 f ( x) ? m 在D上恒成立的充要条件为:

f ( x) min ? m .
设 f ( x ) 在某个区间D上有最大值, m为常数, 则 f ( x) ? m 在D上恒成立的充要条件为:

f ( x) min ? m .
二、单调性的有关结论 1.若 f ? x ? , g ? x ? 均为增(减)函数,则 f ? x ? ? g ? x ? 2.若 f ? x ? 为增(减)函数,则 ? f ? x ? 为 3.互为反函数的两个函数有 的单调性; ; 函数;

4.复合函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 是定义在 M 上 的 函 数 , 若 f ? x ? 与 g ? x ? 的 单 调 相 同 , 则

f? ? g ? x? ? ?为

,若 f ? x ? , g ? x ? 的单调性相反,则 f ? ? g ? x ?? ?为

.
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5.奇函数在其对称区间上的单调性 三、函数的值域及最值: 1.函数 y ? f ? x ? 中,与自变量 x 的值

,偶函数在其对称区间上的单调性

.

的集合.

2. 常见函数的值域求法, 就是优先考虑 , 取决于 , 常用的方法有: ①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧ 有界性法;⑨换元法(又分为 法和 法) 例如:① 形如 y ? 法或 可采用 法等.

1 ,可采用 2 ? x2

法;② y ?

2x ?1 2 ( x ? ? ) ,可采用 3x ? 2 3
法;④ y ? x ? 1 ? x , 法;⑥ y ?

2 法;③ y ? a ? f x ? ? bf ? x ? ? c ,可采用

?

? ??

法;⑤ y ? x ? 1 ? x2 ,可采用

sin x 可采用 2 ? cos x

考点透析
1 求函数的最值
例题 1 求下列函数的值域:

y?
(1)

x2 ? x ; x2 ? x ? 1
1 1 (x ? ? ) x 2

(2) y ? x ? 1 ? 2x ;

(3) y ?

ex ?1 ex ? 1

y ? x2 ?
(4)

(5)y=sinx-cos x

2

f ( x) ?
(6)

x2 ? 5 x2 ? 4 ;

反思总结: 变式训练1: 求下列函数的值域: (1) y ?

1? x 2x ? 5

(2) y ? x 1 ? x

2

2 判断或证明函数的单调性
例题 2 函数. 已知函数 f ( x) ? a ?
x

x?2 (a ? 1). 证明函数 f ( x) 在区间(-1,+ ? )上位增 x ?1

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反思总结: 变式训练2:用函数单调性的定义证明: f ( x) ? x3 , 在区间 (??,??) 上为增函数.

3 复合函数的单调性
例题 3 已知函数 f ( x) ? loga x(loga x ? loga 2 ? 1).若y ? f ( x)在区间? ,2? 上为增函 2

?1 ? ? ?

数,则实数a的取值范围是: ( ) A. ?2,??? C. B. ?0,1? ? ?1,2? D. ? 0, ? 2

?1 ? ,1? ? ?2 ?

? ?

1? ?

反思总结: 变式练习 3:如果函数 f ( x) ? a (a ? 3a ?1)(a ? 0且a ? 1)在区间 ?0,??? 上市增函数,
x x 2

那么实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ? 3

) C. 1, 3

? ?

2? ?

B. ?

? 3 ? ,1? ? 3 ? ?

?

?

D. ? ,?? ?

?3 ?2

? ?

4 单调性的综合应用
例题 4 已知函数 f ( x) ?

x2 ? 2x ? a , x ? ?1,??? x

①当a=

1 时,求函数 f ( x ) 的最小值. 2

②若对任意的 x ? ?1,???, f ( x) ? 0 恒成立,试求实数a的取值范围.

反思总结: 变式练习4:函数 f ( x ) =

a x ( x ? 0) 对任意实数 (a ? 3) x ? 4 x( x ? 0)

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x1 ? x2 , 都有
? ? 1? ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( ? 0 成立,则a的取值范围是: x1 ? x2
B. ?0,1? C. (0,3) D. ? ,1?



A. ? 0, ? 4

?1 ? ?4 ?

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第4讲 导入:
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函数的奇偶性与周期性

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知识点精讲
一.奇偶性: ① 定义:如果对于函数 f ( x) 定义域内的任意 x 都有 若 ,则称 f ( x) 为偶函数. ,则称 f ( x) 为奇函数;

如果函数 f ( x) 不具有上述性质,则 f ( x) 不具有 .

. 如果函数同时具有上述两条性质,则 f ( x) ② 简单性质: 1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2) 函数 f ( x) 具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 二.与函数周期有关的结论: 对称.

对称;一个函

①已知条件中如果出现 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、或 f ( x ? a) f ( x) ? m( a 、 m 均为非零常 数, a ? 0 ) ,都可以得出 f ( x) 的周期为 ;

② y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称或 y ? f ( x) 的图象关于直线

x ? a, x ? b 轴对称,均可以得到 f ( x) 周期

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1、函数的奇偶性
例 1. 判断下列函数的奇偶性. (1) f ? x ? ?

x2 ?1 1 ? x2 ;

(2) f ? x ? ? log 2 ( x ? (3) f ( x) ? lg x ? 2 .

x 2 ? 1)( x ? R) ;

反思总结: 变式训练 1: 1) f ? x ? ? ? x ? 2 ?

2? x 2? x
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(2) f ? x ? ?

lg(1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2
( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 ) .

?x ? 2 ? (3) f ? x ? ? ?0 ?? x ? 2 ?

例2

已知函数 f ( x) ,当 x,y ? R 时,恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? .

(1)求证: f ( x)
? (2)如果 x ? R , f ? x ? ? 0 ,并且 f (1) ? ?

1 ,试求 f ( x) 在区间[-2,6]上的最值. 2

反思总结: 变式训练 2: 已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, 且当 x∈(-∞,0)时,f ( x) ? ? x lg(2 ? x) ,求 f ( x) 的解

2、函数的周期性
例3 已知函数 f ( x) 的定义域为 R,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ? x ? .

(1)求证: f ( x) (2)若 f ( x) 为奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ?

1 1 x ,求使 f ( x ) ? ? 在 2 2

?0, 2009? 上 的 所 有

x 的个数.

例4 求证:若函数f(x)的图象关于两条直线x=a,x=b(a<b)都对称,则f(x) 是以2(b-a)为一个周期的周期函数.

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反思总结: 变式训练 3:已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ?1, a ? R . (1)试判断 f ( x) 的奇偶性; (2)若 ?

1 1 ? a ? ,求 f ( x) 的最小值. 2 2

3、综合题型
例 5 函数 f ( x ) 是奇函数,且在 ?? 1,1? 上单调递增,又 f (?1) ? ?1 ①试求 f ( x ) 在 ?? 1,1? 上的最大值; ②若 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 ,对所以的 x ? ?? 1,1? 及 a ? ?? 1,1?都成立,求t的取值范围.

反思总结:

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第5讲

一次函数与二次函数

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第6讲 导入:
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指数与指数函数

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知识点精讲
一.根式:
n (1) 定义:若 x ? a ,则 x 称为 a 的 n 次方根

① 当 n 为奇数时, a的n 次方根记作__________; ② 当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ________(a>0). (2) 性质:
n n ① ( a) ? a ;

② 当 n 为奇数时, n a n ? a ;
a(a ? 0) ③ 当 n 为偶数时, n a n ? _______= ? ? ? ? a(a ? 0)

二.指数: (1) 规定: ① a0= ③ a n ? n a m (a ? 0, m (2) 运算性质:
m

(a≠0); .

② a-p=



r s r ?s ① a ? a ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q);

r s r ?s ② (a ) ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q)

r r r ? 0, r ? ③ (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b(a>0, r、 s ? Q)

注:上述性质对 r、 s ? R 均适用. 三.指数函数: ① 定义:函数 称为指数函数,1) 函数的定义域为 域为 ;3) 当________时函数为减函数,当_______时为增函数. ② 函数图像: 1) 过点 象向 ,图象在 ;2) 指数函数以

;2) 函数的值

为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图

无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向

x ?x 无限接近 x 轴);3)函数 y ? a 与y ? a 的图

象关于 对称. ③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1
a ?1

① x ? 0时 ② x ? 0时 ③ x ? 0时

① x ? 0时 ② x ? 0时 ③ x ? 0时

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考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.化简与求值
1 3 例1. 已知 a= 9 ,b=9.求:(1)
7

a 2 a?3 ?

3

a?8 ? 3 a 15 ; (2)

a ?1 ? b?1

? ab ?

?1

反思总结: 变式训练 1:化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)
( a 3 ? b ?1 )
6 2 ? 1 2

? a 2 ?b3

1

1

a ? b5

2 1 1 ? 5 1 ?2 ?1 ?3 2 3 3 2 a ? b ? ( ? 3 a b ) ? ( 4 a ? b ) . (2) 6

2.指数(型)函数的图象与性质
例 2. 函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 ( x x x x A.f(b )≤f(c ) B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同 反思总结:
1 2 1 3
2 x x



变式训练 2:已知实数 a、b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0
a b

<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有 A.1 个 B.2 个 C.3 个



) D.4 个

例 3. (1)f(x)=3
x 2 ? 5x ? 4

;

2)g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 .
x x

1 4

1 2

反思总结:
6? x ?2 x 变式训练 3:求下列函数的单调递增区间: (1) y ? ( ) ; (2) y ? 2

1 2

2

x 2 ? x ?6

.

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例 4.设 a>0,f(x)=

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(1)求 a 的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

反思总结: 变式训练 4: 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2, 且当 x∈(0,1)时, f(x)= (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.
2x . 4 ?1
x

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第7讲 导入:

对数与对数函数

对数小史 16 世纪末至 17 世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上 经常遇到大量精密而又庞大的数值计算, 于是数学家们为了寻求化简的计算方法
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而发明了对数。 我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种求对数的解 法,著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854 年,英国 的数学家艾约瑟(1825-1905) 看到这些著作后,大为叹服。 当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念。但 在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数 的明确概念。 布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。 1742 年 , J. 威 廉(1675-1749)在给 G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。 而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函 数的逆函数,和现在教科书中的提法一致。

知识点精讲
1、定义: 如果 a(a>0,且 a ? 1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N,那么数 b 称以 a 为 底 N 的对数,记作 b=logaN,其中 a 叫做对数的 ,N 叫做 ①以 10 为底的对数称常用对数,log10N 记作 ②以无理数 e(e=2.71828…)为底的对数称自然对数 logeN 记作 lnN 2、基本性质 ①负数和零都没有对数 ②loga1=0,logaa=1 ③对数恒等式: a loga N ? N 3、对数的运算 ①loga(MN)= M ②loga( )= N ③logaMn=nlogaN

4、换底公式:logaN= 推论:

logm N (a>0,且 a ? 1,m>0 且 m ? 1,N>0) logm a

5、对数函数的图像与性质

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6、指数函数与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线 y=x 对称

专题讲解
化简或求值 例题 1 求值:(1)lg1000-10log51+log6432 (2)log2( 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ) (3) 71?log7 5 (4)log49(log38+log932)

反思总结: 变式练习:

9 1、已知 a 2 = (a ? 0),则 log 3 a ? 4 2
2 2、设 f ( x) ? loga x(a ? 0,a ? 1),若f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3, f ( x12 ) ? f ( x2 ) ? 2, 则

3

f ( x12 ) - f (x 2 2) ?
定义域、值域的相关问题
1? ? 例题 2 已知函数 f ( x) ? ?(a ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? ? 4? ?

(1)若 f ( x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围 (2)若 f ( x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围
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反思总结: 变式练习: 1、函数 f ( x) ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是
2

图像及单调性的应用 例题 3 已知 a>0 且 a ? 1,给出四个不等式: 1 1 ① log a (a ? 1) ? log a (1 ? ) ② log a (a ? 1) ? log a (1 ? ) a a ③ a 1? a ? a
1? 1 a

④ a 1? a ? a

1?

1 a

其中成立的是

反思总结: 例题 4 已知函数 f ( x) ? loga (2 ? ax) 在区间 ?0,1? 上是减函数,求实数 a 的取值范 围

反思总结: 变式练习: 1. 是否存在实数 a 使得函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x)在区间 ?2,4? 上为增函数?若存 在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由

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第8讲 导入: 知识点精讲一、幂函数
1 .幂函数的概念:一般地,我们把形如 是常数;
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幂函数

的函数称为幂函数,其中

是自变量,

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注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点

; ; 当 ? ? 0 时 , 幂 函 数 在 (0, ??) 上

( 2 ) 当 ? ? 0 时 , 幂 函 数 在 [ 0 ,?? )上 ; (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 (4)任何幂函数都不过 象限;

;当 ? ? ?1,1, 3, 时,幂函数是

1 3



3.幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧,按 幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布; (2) 幂指数的分母为偶数时, 图象只在 象限; 幂指数的分子为偶数时, 图象在第一、 第二象限关于 轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限 关于 对称.

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.幂函数的概念
例1已知幂函数 y ? x 求 m 的值.
m2 ?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,

反思总结: 变式训练1:证明幂函数 f ( x) ? x 在 [0, ??) 上是增函数.
1 2

2.幂函数的图象和性质

当堂过手训练 第9讲 导入: 知识点精讲
一、基本函数图象特征(作出草图) 1.一次函数为 ;
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函数的图象及其变换

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2.二次函数为 ; 3.反比例函数为 ; 4.指数函数为 ,对数函数为 . 二、函数图象变换 1.平移变换:①水平变换:y=f(x)→y=f(x-a) (a>0) y=f(x)→y=f(x+a) (a>0) ②竖直变换:y=f(x)→y=f(x)+b (b>0) y=f(x)→y=f(x)-b (b>0) 2.对称变换: ① y=f(-x)与 y=f(x)关于 对称 ② y=-f(x)与 y=f(x)关于 对称 ③ y=-f(-x)与 y=f(x)关于 对称 -1 ④ y=f (x)与 y=f(x)关于 对称 ⑤ y=|f(x)|的图象是将 y=f(x)图象的 ⑥ y=f(|x|)的图象是将 y=f(x)图象的 3.伸缩变换: ① y=Af (x) (A>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . ② y=f (ax) (a>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . 4.若对于定义域内的任意 x,若 f (a-x)=f (a+x) (或 f (x)=f (2a-x)),则 f (x)关于 对称,若 f (a-x)+f (a+x)=2b (或 f (x)+f (2a-x)=2b),则 f (x)关于 对称.

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.判断或者画出函数图象的形状
例1 作出下列函数的图象.

(1)

y?

1 (lgx+|lgx|); 2

2x ?1 ; x ?1 1 x (3) y ? ( ) . 2
(2) y ?

反思总结: 变式训练 1:作出下列各个函数的图象: (1) y ? 2 ? 2 ; (2) y ? log 1 ?
x
2

1? x ?

; (3) y ?

2x ?1 . x ?1

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例2

函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是 (



反思总结:
1

变式训练 2:设 a>1,实数 x,y 满足 x ? loga y ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 ( )

2.图像分析 3.图象的变换

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第 10 讲 导入: 知识点精讲

函数的应用

一、一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程 (以后还将学习一元二次不等式) 的关系一直是高中数学函数 这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二
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次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解;反之,一元二次方程的解也 是对应的一元二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标. 二.函数与方程 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之,要求 方程 f ( x) ? g ( x) 的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标. 三、二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间 ( m, n ) ,则必有 f (m) ? f (n) ? 0 , 再取区间的中点 p ?

m?n ,再判断 f ( p) ? f (m) 的正负号,若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在区 2

间 (m, p) 中;若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在 ( p , n ) 中;若 f ( p) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按 照以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求) ,即 可得一个近似值. 四、函数模型 1.抽象概括:研究实际问题中量,确定变量之间的主、被动关系,并用 x、y 分别表示问题 中的变量; 2.建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都 是函数的解析式; 3.求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识 求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是: 实际问题 抽象概括 函数模型

运用函数的性质 实际问题的 解 还原说 明 函数模型的 解

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
例 1.(1)若 f ( x ) ? A.
x ?1 ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( x

)

1 1 B.- 2 2

C.2

D.-2

(2)设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数 根,则这 6 个实根的和为( ) A.0 B.9 C.12 D.18 (3)已知
5b ? c ( a 、 b 、 c ∈R) ,则有( ?1, 5a

) D. b 2 ? 4ac
26

A. b 2 ? 4ac

B. b 2 ? 4ac

C. b 2 ? 4ac

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(4)关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 实数 m 的取值范围

x 、 x 满足 x1 ? ? x2 ,则
1 2

3 2

(5)若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值 范围是 变式训练 1: 当 0 ? x ? 1时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围 是( A. a ? ) C. a ? 或a ? 1

1 2

B. a ?1

1 2

D.

1 ? a ?1 2

log 1 x ? 2 ? x , 例 2.设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log 2 ( x ? 2) ? ? x ,
2

2 x ? x ? 2 的实数根,试比较 x1 , x2 , x3 的大小 .

变 式 训 练 2 : 已 知 函 数 y ? f ( x) ( x ? R) 满 足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) , 且 x ∈ [ - 1,1] 时 , f ( x) ? | x |,则 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

例 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , 且方程 f ( x ) ? 2 x 有等根 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n ( m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n] ,
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如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由

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变式训练 3:已知函数

f ( x) ?

1 1 ? a x ( (a ? 0, x ? 0)

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(1)求证: f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x ) ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围

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例 4.若函数 f ( x) ? 2 A. 0 ? m ? 1

?| x ?1 |

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是(
C. m ? 1或m ? 0 D. m ? 1或m ? 0



B. 0 ? m ? 1

变式训练 4:对于函数 f ( x) ,若存在 x 0 ∈R,使 f ( x0 )=x0 成立,则称 x 0 为 f ( x) 的不动点 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0) (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

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例5. 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB 上分别截 取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出最大面积.

变式训练5: 某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时, 每天可卖出 100 个, 现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售 量就减少 10 个,问他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大 值. 例6. 据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴 的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

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变式训练6:某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台, 需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收 入函数为 R(x)=5xx2 (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2

(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本? 例7. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用 水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户 该月用水量分别为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

变式训练7:1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日” ,提出了“人类对生育的选择将决定 世界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿,若将人口平均增长率控制在 1%以内,我国人口 在 2008 年底至多有多少亿? 以下数据供计算时使用: 数N 对数 lgN 数N 对数 lgN 1.010 0.004 3 3.000 0.477 1 1.015 0.006 5 5.000 0.699 0 1.017 0.007 3 12.48 1.096 2 1.310 0.117 3 13.11 1.117 6 2.000 0.301 0 13.78 1.139 2
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小结归纳 本节主要注意以下几个问题: 1.利用函数的图象求方程的解的个数; 2.一元二次方程的根的分布; 3.利用函数的最值解决不等式恒成立问题 4.解决函数应用问题应着重注意以下几点: (1) .阅读理解、整理数据:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数据之间的关 系,数据的单位等等; (2) .建立函数模型:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立函 数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,不要忘记考察函数的定义域; (3) .求解函数模型:主要是计算函数的特殊值,研究函数的单调性,求函数的值域、最大 (小)值等,注意发挥函数图象的作用. (4) .还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科又要符合实际背景,因 于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论,作出回答.

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第 11 讲 导数 导入: 知识点精讲
1.导数的概念
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导数(导函数的简称)的定义:设 x 0 是函数 y ? f ( x ) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x 0 处 有 增 量 ?x , 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 ?y ? f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ; 比 值
?y f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 称为函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 到 x 0 ? ?x 之间的平均变化率;如果极限 ? ?x ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 存在,则称函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x lim
y ? f ( x ) 在 x 0 处的导数, 记作 f ' ( x0 ) 或 y ' | x? x0 , 即 f ' ( x0 ) = lim
?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ? x ? 0 ?x ?x

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零. ②以知函数 y ? f ( x ) 定义域为 A , y ? f ' ( x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B .

2.导数的几何意义
函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜 率,也就是说,曲线 y ? f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ,切线方程为
y ? y 0 ? f ' ( x)( x ? x0 ).

3.常见基本初等函数的导数公式
① C ' ? 0 ( C 为常数) ② ( x ) ? nx ③ (ln x) ' ?
x ' n ' n ?1

⑤ (sin x) ? cos x ⑥ (cos x) ? ? sin x ⑦
(loga x) ' ?
x ' '

'

( n?R )

1 x
x

1 loga e x
x

④ (e ) ? e

⑧ (a ) ? a ln a

4. 求导数的四则运算法则:
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

注:① u, v 必须是可导函数. ②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如:设 f ( x) ? 2 s i nx ?
f ( x) ? g ( x) ?

2 2 , g ( x) ? cos x ? ,则 f ( x), g ( x) 在 x ? 0 处均不可导,但它们和 x x

sin x ? cos x 在 x ? 0 处均可导.

5.复合函数的求导法则:
f x ' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
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6.函数的单调性
⑴函数单调性的判定方法: 设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0, 则 y ? f ( x) 为增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f ( x ) 为减函数. ⑵常数的判定方法; 如果函数 y ? f ( x ) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f ( x ) 为常数. 注:① f ( x ) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 ( ??,??) 上并不是 都有 f ( x ) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x ) ? 0 是 f(x)递减的充分非必 要条件. ②一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负) ,那么 f(x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.

7.函数的极值
极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点, 都有 f ( x) < f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的 极大值,极小值同理) 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 也就是说 x 0 是极值点的充分条件是 x 0 点两侧导数异号,而不是 f ' ( x) =0 . 此外,函数不


可导的点也可能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确 定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注①: 若点 x 0 是可导函数 f ( x) 的极值点,则 f ' ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数,其一点 x 0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数 y ? f ( x) ? x 3 , x ? 0 使 f ' ( x) =0,但 x ? 0 不是极值点. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点.



8.极值与最值的区别:
极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
例题1求下列函数的导数 (1) y ?

x x x ?
2

1 x x x

;

(2) y ? x sin

x x cos ; 2 2
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(3) y ? e 2 x ? e ?2 x ; (4) y ? logex (e2 x)

反思总结: 变式练习1:求下列函数的导数: (1) y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ; (2) y ? ? sin (3) y ?

x x (1 ? 2 cos 2 ) ; 2 4

1 1 ? ; 1? x 1? x


例题2 设 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)?( x ? n) ,则 f ' (0) ?

反思总结: 变式练习2:(1) y ? x cos x在x ?

?
3

处的导数值是:

. , f ' ( n) =

(2)设 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 2)?( x ? n),则f ' (1) ? 。

例题3当a为何值时,直线y=x与对数函数 y ? loga x 的图象相切,并求出切点坐标

反思总结: 变式练习3:在函数 y=lnx 的图象上找一点,使它到直线y=x+2的距离最小 例题 4 已知曲线 y ?

1 3 4 x ? 3 3

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程. (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.

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反思总结; 变式练习4:求曲线 y ? x3 ? 2x 过点(1,-1)的切线方程

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/ 1、函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的可导函数,则 f ( x0 ) ? 0 是函数在 x ? x0 时取得极 值的________条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 2、函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的可导函数,则 y ? f (x) 为 R 上的单调增函数是 f / ( x) ? 0 的 ________条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 3 2 , 在[?2,2] 上有最大值为 3,那么此函数在 3、已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? m(m为常数) [-2,2]上的最小值为 A、-37 B、-29 C、-5 D、-11

4、若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 当x ? [0,3]上时,m ? f ( x) ? n恒成立,则n ? m的最小值为 A、2 B、4 C、18 D、20 3 2 5、方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为 A、0 B、1 C、2 D、3 6、若函数 y ? ? x3 ? bx有三个单调区间,则b的取值范围为
A、b ? 0
3 2

4 3

B、b ? 0

C、b ? 0

D、 b?0

7、函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? a的极大值为6,则a 的值为 A、0 B、1 C、5 8、曲线 y ? 2 x4上的点到直线y ? ? x ? 1的距离的最小值为
A、 2 B、 2
2

D、6

C、 2
3

5 2 D、 16

9、已知曲线 y ? x 6 上一点 P 处的切线与直线 y ? x ? 3 垂直,则此切线方程为 A、 x ? 6 y ? 5 ? 0
3

B、 6 x ? y ? 5 ? 0 B、 [0, ? ) ? [ 5? ,? )
2 6

1 6 C、 x ? 6 y ? 5 ? 0

D、 6 x ? y ? 5 ? 0 D、 ( ? , 5? ) 2 6 y O C 2 1 x O D D、2 ; ; ;

10、设点 P 是 y ? x ? 3x ? 2 上的任一点,P 点处的切线倾斜角为α ,则角α 的取值范围为 3 A、 [0, ? ) ? [ 2? ,? )
2 3

? ,? ) C、 [ 23

11、 函数y ? f ( x)导函数f / ( x) 的图像如图(1)所示,则 y ? f (x) 的图像最有可能的是 y O 1 2 x O A
2 / /

y 1 2 x B

y O 1 2 x

y 1 2 x

图(1)

12、已知 f ( x) ? x ? 2 xf (1),则f (0) 等于 A、0 B、-4 13、已知函数 y ? a ? x
a?b

C、-2
, b?

的导数为y ? 6x , 则a ?

/

2

14、若函数 f ( x) ? x3 ? 3x在区间[ m2 ? 1, 2 ]上的最小值为m2 ? 2, 则m 的值为 15、若直线 y ? x是曲线y ? x ? 3x ? ax 的切线,则 a ?
3 2

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16、函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4在(3,?? ) 上是增函数,则实数 a 的取值范围为
x3 ? kx2 ? 2 x ? 1 在(1,2)上单调递减,在( 2,?? )上单调递增, 则k ? 17、若函数 f ( x) ? k 2 x 4 ? 2 3 2

; ;

18、 已知曲线 s : y ? x3 ? px2 ? qx的图像与x 轴相切于不同于原点的一点, 又函数有极小值为-4, 求 p、q 的值。

19、 设函数 y ? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d的图像与y轴 交于点 P, 若过 P 的切线方程为 24 x ? y ? 12 ? 0 , 且当 x=2 时, 函数 f ( x) 取极值-16, 试求 f ( x) 的解析式, 并求这个函数的单调递减区间。

20、 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? 1(a ? R) . (1) 若函数 y ? f (x) 在区间 (0, 2 在区间 [ 2 ) 上递增, ,?? ) 3 3 上递减,求实数 a 的值; (2)当 x ?[0,1] 时,设函数 y ? f (x) 图像上任意一点处的切线的 倾斜角为 ? ,若给定常数 a ? ( 2 ,+ ?) ,求 ? 的取值范围。 3

第 12 讲 导入: 知识点精讲
1.任意角

任意角的三角函数

①终边相同的角:所有与a终边相同的角,连同a在内,可构成一个集合
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。 ②终边在坐标轴上的角: k ? 360 ,
?

, 180 ? k ? 360 ,

?

?

的终边

分别在x轴正半轴,y轴正半轴,x轴负半轴,y轴负半轴,是特殊的角,起着非常重要的 作用。 2.弧度制 ①定义:长度等于半径的弧所对的圆心角的大小叫做 1 弧度 。 1 弧度记作 1 rad ;1 弧度(1rad) ? 57.3 . ②弧度制与角度制之间的转化, 记住核心关系: ? ? 1800 弧度制相比角度制的优点 在于: ③弧度制相比角度制的优点在于: a 公式的表达更简洁; b 可以省略单位不写,与实数集建立了一一对应关系,可用实数直接表示角的大小。是实 数与角的统一。 常用角的互化:
角度 弧度

0

0

30

0

45

0

? 3

? 2

2? 3

3? 4

5? 6

?

2?

2 ☆ 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R

2

2

3.三角函数的定义 高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系, 又有区别。 定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) ,它与原点的距离 是r ?

x2 ? y2 ? 0 , 那么 sin ? ?

y x y x , cos ? ? ,tan ? ? , ? x ? 0 ? ,cot ? ? ( y ? 0) , r r x y

sec ? ?

r r x ? 0 ? , csc ? ? ? y ? 0 ? 。 ? x y

三角函数值只与终边的位置有关,而与终边上点 P 的位置无关。

4.三角函数的符号
口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦

y B P α O M A x S T

5.三角函数线
sin ?? c o? s ? t a? n ?

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.角有关的概念
例题 1 已知 ? 角的终边与 同?

? ? 的终边相同,在区间 ?0,2? ? 内哪些角的终边与 角的终边相 3 3

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反思总结: 变式练习1:设 ? ? ?570 , ? ?
?

3? 5
?
?

(1)将 ? 用弧度制表示出来,并指出它所在的象限. (2)将 ? 用弧度制表示出来,并在 ? 720 ― 0 之间找出与它有相同终边的所有 角.

2.弧长公式和扇形面积公式
例题 2 如图,直线为 10cm 的圆形飞轮上有一点P,且点P恰为弦AB=8cm.若飞轮的转 速为 120 转/分,试求点P每1秒钟转过的弧长.

反思总结: 变式练习2: 如果圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形的边长, 那么这条弧所对的圆心 角的弧度数是( A1 B ) C

? 3

3 2

D 3

3.三角函数的定义
例题 3 若角 ? 的终边在直线 y ? ?3x 上,求 10 sin ? ?

3 的值. cos ?

反思总结: 变式练习3:角 ? 的终边上一点P的坐标为(4a,-3a)(a ? 0),求 2 sin ? ? cos ? 的值

当堂过手训练

第 13 讲 导入: 知识点精讲
1.同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin
2

同角三角函数及诱导公式

? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ?
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(2)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要作用是: 已知一个角的三角函数值, 求此角的其它三角函 数值。 2.正弦、余弦的诱导公式
n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?
n ? 2 co ? s , n? ?( ? 1 ) co s ( ? ? )? ? n ?1 2 ?( ? 1 )2 s i ?n , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.同角三角函数关系及其应用 4 5 sin A ? 8 例题1.若 sin A ? ,且A是三角形中的一个角,求 的值. 5 15 cos A ? 7

反思总结: 变式练习1: (1)已知 tan x ? 2 ,求下列各式的值 ①

sin x ; sin x ? cos x

② sin x ? sin x cos x ? cos x .
2 2

A.1

sin ? ? cos ? ? 2, 则 tan ? ? 2 sin ? ? cos ? 3 3 B.-1 C. D.- 4 4
(2)若





2.诱导公式及其应用 例题2当 ? 为第二象限角,且 sin ?

1 ? sin ? ?? ? ? 1 的值是 ? ? ? 时, ? ? ?2 2? 3 cos ? sin 2 2





A.1

B.-1

C. ? 1

D 以上都不正确

反思总结: 变式练习2: 已知 cos( 75 ? ? ) ?
?

1 ,其中 ? 为第三象限角, 则 cos( 105? ? ? ) ? sin(? ?105? ) 3



.

3.三角函数式的化简与三角函数等式的证明
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?? ? ?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos? ? ? ? sin(? ? ? ) ? cos? ? ? ? ?2 ? ?2 ?? ?2 ? 的结果为( 例题 3 化简 cos?? ? ? ? sin ?? ? ? ?
A.0 反思总结: 变式训练3:化简 B.1 C.2 D.-



1 2

sin ?2? ? ? ?sin ?? ? ? ? cos?? ? ? ? ? sin ?3? ? ? ? cos?? ? ? ?

例题4求证

1 ? 2 sin 2 x cos 2 x 1 ? tan 2 x ? cos 2 2 x ? sin 2 2 x 1 ? tan 2 x

反思总结: 变式训练4:已知 tan x ? 2 tan
2 2

? ? 1, 求证sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ?1

当堂过手训练

第 14 讲 导入: 知识点精讲
一.三角函数的图象及性质
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三角函数的图象及性质

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表(1) 函 图 数

y ? sin x

y ? tan x
y ? cos x

y

y

y
3? ?2



o

? 2

?

3? 2

2?

x

o

? 2

2?

x

o

? 2

?

3? 2

x

定义域 值 域

R

R

? ? ? ? x | x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
R 奇函数 无界函数

[ ?1,1]
奇函数

[ ?1,1]
偶函数

奇偶性 有界性 最小正 周 期

sin x ? 1
2?
? ?? ? 增区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ? (k ? Z ) ? 3? ? ? 减区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? (k ? Z )

cos x ? 1
2?

?

单 调 区 间

增区间? 2k? ? ? , 2k? ? (k ? Z ) 减区间? 2k? , 2k? ? ? ? (k ? Z )
x ? k? (k ? Z )

? ?? ? 增区间? k? ? , k? ? ? 2 2? ? (k ? Z )
无对称轴

对称轴 对 中 称 心

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

? k? ,0?? k ? Z ?
x ? 2 k? ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 2 ? ?

? k? ? , 0??k ? Z ? ? ? 2 ?

?
2

? k ? Z ?时, ? k ? Z ?时,

x ? 2k? ? k ? Z ? 时, x ? ? 2k ? 1? ? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1 ymax ? 1;
无最值

最值

ymax ? 1; x ? 2 k? ? ymin ? ?1

?
2

表(2) (? ? 0, A ? 0)





y ? A sin ?? x ? ? ?

y ? A cos ??x ? ? ?

y ? A tan ??x ? ? ?
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定义域 值 域

R

R

2k? ? ? ? 2? ? ? ,k ?Z? ?x | x ? 2 ? ? ?
R 时 是

[? A, A]

[? A, A]

? ? k? ? k ? Z ? 时是奇函数,
? ? k? ?
奇偶性 有界性 最小正 周 期 函数。

? ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

?
2

?k ? Z ?

时是偶

奇 函 数 , ? ? k? ? k ? Z ? 时 是偶函数。

? ? k? ? k ? Z ? 时是奇函数
无界函数

A sin ?? x ? ? ? ? A

A cos ?? x ? ? ? ? A

2? ?

2? ?

? ?

单 调 区 间

? 4k? ? ? ? 2? 4k? ? ? ? 2? ? 增区间 ? , ? 2? 2? ? ? (k ? Z )减区间 ? 4k? ? ? ? 2? 4k? ? 3? ? 2? ? , (k ? Z ) ? ? 2? 2? ? ?
x? 2k? ? ? ? 2? (k ? Z ) 2?

? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ? ? 增区间 ? , ? ? ? ? ? (k ? Z )减区间 ? 2 k? ? ? 2 k? ? ? ? ? ? , ?k ? Z ? ? ? ? ? ? ? k? ? ? x? (k ? Z ) ?
? 2k? ? ? ? 2? ? , 0??k ? Z ? ? 2? ? ?

? 2k? ? ? ? 2? 2k? ? ? ? 2? ? 增区间 ? , ? 2? 2? ? ? (k ? Z )

对称轴

无对称轴

对 中

称 心

? k? ? ? ? ,0??k ? Z ? ? ? ? ?
x?

? k? ? 2? ? , 0??k ? Z ? ? ? 2? ?

最值

2 k? ? ? 4k? ? ? ? 2? ? k ? Z ?时, ? k ? Z ?时, x ? ? 2? ymax ? A; ymax ? A;

(2k? ? ? ) ? ? 4k? ? ? ? 2? x? ?k ? Z ? ? k ? Z ?时, x ? ? 2? y min ? ? A 时,y min ? ? A
? ?

无最值

注: (1)注意会解三角函数在区间上的值域(或范围)如:求 sin ? ? ? 取值范围。 (2)注意求单调区间时的整体意识。如:求 y ? sin ? 2 x ?

??

? ?? ? ,? ? ? 0, ? 上的 4? ? 2?

? ?

??

? 的单调增区间,在 ?0, 2? ? 上的 6?

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单调增区间。而 y ? sin ?

?? ?? ? ? ? 2 x ? 求单调增区间时,先化成 y ? ? sin ? 2 x ? ? 的形式,再求 6? ?6 ? ?

?? ? y ? sin ? 2x ? ? 的单调递减区间。 6? ?
(3)求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时 y ? sin x、y ? cos x 在对称轴处取最值。 二、图象变换:函数 y ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0? 的图象可由 y ? sin x 的图象做如下 变换得到 1、先相位变换 周期变换 振幅变换

y ? sin x

y ? sin ? x ? ? ? :把 y ? sin x 图象上所有的点向左( ? ? 0 ) 或向
右( ? ? 0 )平移 ? 个单位。

y ? sin ?? x ? ? ? : 把 y ? s i n? x ? ? ? 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长
( 0 ? ? ? 1 )或缩短( ? ? 1 )到原来的 纵坐标不变。

1

?

倍,

y ? A sin ?? x ? ? ? : 把 y ? sin? x ? ? ? 图 象 上 各 点 的 纵 坐 标 伸 长
( A ? 1 )或缩短( 0 ? A ? 1 )到原来的 A 倍, 横坐标不变。 振幅变换

2、先周期变换

相位变换

y ? sin x

y ? sin ? x :把 y ? sin x 图象上各点的横坐标伸长( 0 ? ? ? 1 )
或缩短( ? ? 1 )到原来的

1

?

倍,纵坐标不变。

y ? sin ?? x ? ? ? :把 y ? sin ? x 图象上所有的点向左( ? ? 0 )或向右
( ? ? 0 )平移

? 个单位. ?

y ? A sin ?? x ? ? ? :把 y ? sin ? x ? ? ? 图象上各点的纵坐标伸长( A ? 1 )
或缩短( 0 ? A ? 1 )到原来的 A 倍,横坐标不变。 3、 注 意 : ( 1 ) 要 会 画 y ? Asin?? x? ? ? 在 一 个 周 期 的 图 象 : (即五点作图法:设
?
3? ,? , ,? 2 求相应的 , 2 2

t ? ?x ?? ? 0,

x 值和对应的 y 值 ,描点作图)如 y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ,在 6?

?0, ? ? 上的图象的画法。
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(2)注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 ②要先使函数名称相同再变换。 如:为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象向
? ? ? 3?

平移

个单

位。 (3)T ? 2? , f ? (频率) 。注意 y ? A sin ?? x ? ? ? 、 y ? Acos ??x ? ? ? 相邻两对称轴间的距离 T ? 为T ? ? 。 2 ? (4)已知图象求解析式时注意:看振幅求 A ,看周期求 ? ,看特殊点求 ? (通常是最大值或 最小值时的位置) (5)已知变换求解析式时,注意只能对自变量 x 进行变换。 方法技巧归纳: 1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、 商数关系、 平方关系,用三角函数的定义反复 证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可 概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的 2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的, 可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是:在第一象限各三角函数值皆为正;在 第二象限正弦值为正;在第三象限正余切值为正;在第四象限余弦值为正 3. 在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角” 来区分和选用公式,注意切化弦、 “1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导 公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取 4.求三角函数值域的常用方法: 求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如 下方法: (1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域; (2)利用 sin x, cos x 的有界性求 值域; (3)换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等 价性 5. 三角函数的图象与性质 (一)列表综合三个三角函数 y ? sin x ,

1

y ? cos x , y ? tan x 的图象与性质,并挖掘:

⑴最值的情况;⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的周期,或者 经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况; ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;

y ? sin x 的对称轴是 x ? k? ? 2 (k ? Z ) ,对称中心是 (k? , 0) (k ? Z ) ;
y ? cos x 的对称轴是 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心是 (k? ? 2 , 0) (k ? Z )
?

?

y ? tan x 的对称中心是 (

k? , 0)( k ? Z ) 2 注意加了绝对值后的情况变化.

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⑷写单调区间注意 ? ? 0 . (二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,并能由图象写出解析式.⑴“五点法”作图的列表方式;
x1 ? ? ?. ⑵求解析式 y ? A sin(? x ? ? ) 时初相 ? 的确定方法:代(最高、低)点法、公式

?

(三)正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换方法如下: 先平移后伸缩
y?s xi n 的 图 象
向左(? >0)或向右(? ?0) ??????? ? 平移 ? 个单位长度



y ? sin( x ? ? )

的 图 象

横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1) ?????????? 1 到原来的 (纵坐标不变)

?



y ? sin(? x ? ? )

的图象

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1) ????????? ? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )

得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0) ??????? ? 平移 k 个单位长度

得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 的图象.先伸缩后平移 得 y ? A sin x 的图象
向左(? ? 0)或向右(? ? 0) ??????? ? ? 平移 个单位

y ? sin x

的图象

纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1) ????????? ? 为原来的A倍(横坐标不变)

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1) ????????? ? 1 到原来的 (纵坐标不变)

?

得 y ? A sin(? x) 的图象

?



y ? A sin x(? x ? ? )

的图象

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0) ??????? ? 平移 k 个单位长度

得 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象.

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.三角函数的图象
例题1下列函数中,图象的一部分如下图所示的是( A. y ? sin( x ? )

?
6

)

B. y ? sin( 2 x ?

?
?
6

) )

C. y ? cos( 4 x ? 反思总结:

?
3

)

D. y ? cos( 2 x ?

6

变式练习1:函数 y ? A sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 的表示的表达式为( A. y ? ?4 sin( )

?
2

, x ? R) 的部分图象如下图所示,则函数

?
8

x?

?
4

)

B. y ? 4 sin(

?
8

x?

?
4

)

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C. y ? ?4 sin(

?

x? ) 8 4

?

D. y ? 4 sin(

?
8

x?

?
4

)

变式练习2:要得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? ( )

?
4

) 的图象,只需 y ? ?3 sin 2 x 要将函数的图象

? 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 8 2.三角函数的性质
A.向左平移

? 个单位 4 ? D.向右平移 个单位 8
B.向右平移

例题 3 求函数 y ? 2 sin x ? 1 的定义域

反思总结: 变式练习 3:求函数 y ? cos2x ? lg(9 ? x 2 ) 的定义域. 例题4求函数 y ? 4 ? 3 sin 2 x ? 4 cos x, x ? ?

? ? 2? ? 的值域 , ?3 3 ? ?

反思总结: 变式练习4:(1)已知 ? 并求出相应的x的值. (2)函数 f ( x) ? M sin ??x ? ? ?在区间 ?a, b?上是增函数,且f (a) ? ?M

?
3

?x?

?
4

, f ( x) ? tan 2 x ? 2 tan x ? 2, 求f ( x) 的最大值和最小值,

f (b) ? M , 则函数 g ( x) ? M cos(?x ? ? ) 在 ?a, b? 上
A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值M





D.可以取得最小值-M . .

例题5(1)函数 y ? 4 cos(

x ? ? ) 的最小正周期为 4 3

(2)函数 y ? tan( ?x ? 反思总结:

?

6

) 的最小正周期为

变式练习5:函数 y ? sin x 的周期为 例题6关于x的函数 y ? sin(x ? ? ) 有以下命题: ①对任意的 ? ,函数y都是非奇非偶函数



②不存在 ? ,使函数y既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使函数y是奇函数
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④对任意的 ? ,函数y都不是偶函数; 其中一个假命题的序号是 反思总结: 变式练习6:函数 f ( x) ? 3 cos(3x ? ? ) ? sin(3x ? ? )是奇函数,则tan? ? 例题 7(1)下列各点中是函数 y ? cos( 2 x ? A. (0,0) B. (? . ,因为当 ? = 时,该命题结论不成立.

?
3

) 的对称中心的是
C. (

( D. (



11 ? ,0) 12

5? ,0 ) 6

(2)如果函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x的图象关于直线 x ? ? 为 ( ) B.-1 C.

?
8

7? ,0 ) 4

对称,则实数a的值

A.1

1 2

D.-

1 2

反思总结: 变式练习7:下列各点不是函数 y ? tan( x ? A. (

?
6

) 的对称中心的是(
D. (



?
6

,0)

B. (?

?
3

,0 )

C. (

5? ,0 ) 6

2? ,0 ) 3

例题8求下列函数的单调增区间: (1) y ? 1 ? 反思总结: 变式练习8:已知函数 y ? tan?x在区间 ?- , ? 上是增函数,则 ? 的取值范围为(

1 ? cos( ? x) 2 3

(2) y ? log0.5 (sin x ? cos x)

? ?

? ??
2 2?



A. 0 ? ? ? 1

B. ? ? 1

C. ? ? 1

D. ? 1 ? ? ? 0

3.综合问题
例题 9 已知函数 f ( x) ? log a cos( 2 x ? (1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)判断函数 f ( x) 的奇偶性 (4)判断 f ( x) 的周期性,如果是周期函数,求它的最小正周期;

?
3

)( 其中 a ? 0且a ? 1)

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反思总结: 变式练习 9:函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? 值1,当 x ?

?
2

) 在同一个周期内,当 x ?

?
4

时y取得最大

7? 时,y取得最小值-1. 12

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式 (2)函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y ? f ( x) 的图象? (3)若函数 y ? f ( x) 满足方程 y ? f ( x) =a(0<a<1),求在 ?0,2? ? 内的所有实数 根之和.

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第 15 讲 导入: 知识点精讲

两角和与差的三角函数

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

如(1)

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ?   tan ?? ? ? ? ?

令? ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
2.辅助角公式中辅助角的确定:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ?
tan ? ?

(其中 ? 角所在的象

限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 3.几个常用的变形公式: ①三角函数名互化(切割化弦)

b a 确定)在求最值、化简时起着重要作用。

②巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
③公式变形使用( tan ? ? tan ?

? ??
2


???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等)

? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ?
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 2 , 与升幂公式:

④三角函数次数的降升(降幂公式:

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )
⑤式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 ⑥常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x
2 2 2 2

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? tan ? ? sin ? ? 4 2

等)

sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” ⑦正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.和、差、倍角公式的应用
1 例题1(1)下列各式中,值为 2 的是





A、 sin15 cos 15

cos 2
B、

?
12

? sin 2

?
12

tan 22.5 2 C、 1 ? tan 22.5

1 ? cos 30 2 D、
(答:C) ;

(2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 A、充 要条件 ( ) C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

B、充分不必要条件

sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ?
(3)已知

3 5 ,那么 cos 2 ? 的值为____(答:

7 25 ) ;

1 3 ? sin 80 的值是______(答:4) (4) sin 10 ;

a? 3 (5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 1 ? 3a ,乙求
0
0

1 ? a2 得的结果是 2a ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对)
(答:C) ; 反思总结:

tan(? ? ? ) ?
例题2 (1) 已知

3 2 ? 1 ? tan( ? ? ) ? tan(? ? ) 5, 4 4, 4 的值是_____ 那么 (答:22 ) ;

0?? ?
(2) 已知

?
2

?? ??
, 且

cos( ? ?

?
2

)??

1 ? 2 sin( ? ? ) ? o s ( 9, 2 3, 求c

?? )?

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490 3 cos(? ? ? ) ? ? 5 ,则 y 的值(答: 729 ) ; (3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x, cos ? ? y ,

与 x 的函数关系为______(答: 反思总结:

y??

3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) 5 5 5 )

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? 3, 例题3 (1) 求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 ) (答: 1) ; (2) 已知 1 ? cos 2?
1 求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: 8 )
反思总结: 例题4(1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =

?
_____ ( 答 :

2 2 ); (2) 设 ?ABC 中 , tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ,

sin Acos A ?

3 4 ,则此三角形是____三角形(答:等边)

反思总结:

? ?( ? , ? )
例题5(1)若

3 2

1 1 1 1 ? ? ? cos 2? sin 2) ,化简 2 2 2 2 为_____(答: ; (2)函数

f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x
? 5 ? 5? 3( x ? R ) [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) 2 12 12 的单调递增区间为___________(答: )

反思总结: 例题6如(1) tan ? (cos ? ? sin ? )

sin ? ? tan ? ? ? 1 ? 2sin 2 cot ? ? csc ? (答: sin ? ) 2 ; (2)求证:

1 ? sin ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2

2;

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2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

1 ? ? cos 2 x 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 (3)化简: (答: 2 )
反思总结:

1 2

3 例题7如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ? (答: 5 ).
2 2

反思总结: 例题8如(1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

t2 ?1 2 ),特别提醒:这 __(答: ?

里 t ?[? 2, 2] ; (2)若

? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1

4? 7 3 ) 2 ,求 tan ? 的值。 (答: ; ?

? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? k ( ?? ? ) 4 2 , 1 ? tan ? (3) 已知 试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值 (答: 1 ? k ) 。
2.辅助角公式
例题9(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.

3 ? y ? 2 cos x ? 3 sin x (2)当函数 取得最大值时, tan x 的值是______(答: 2 );
(3)如果

f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?)

是奇函数,则 tan ? =

(答:-2);

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? 2 (4)求值: sin 20 ? cos 20? ________(答:32)
2

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第 16 讲 导入: 知识点精讲

简单的三角恒等变换

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习) 当堂过手训练
①②③④⑤⑥⑦⑧

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第 17 讲 导入: 知识点精讲
1.三角形基本公式:

正弦定理与余弦定理

(1)内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

A? B A? B C C =sin , sin =cos 2 2 2 2 1 1 1 (2)面积公式:S= absinC= bcsinA= casinB 2 2 2 a?b?c S= pr = p( p ? a)( p ? b)( p ? c) (其中 p= , r 为内切圆半径) 2
cos (3)射影定理:a = bcosC + ccosB;b = acosC + ccosA;c = acosB + bcosA 2.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R外 sin A sin B sin C

证明:由三角形面积

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 a b c ? ? 得 sin A sin B sin C a b c ? ? ? 2R 画出三角形的外接圆及直径易得: sin A sin B sin C S?
注意:利用正弦定理,可以解决以下两类问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角; 有三种情况:bsinA<a<b 时有两解;a=bsinA 或 a=b 时有 解;a<bsinA 时无解。 3.余弦定理:a =b +c -2bccosA, cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 ; 2bc
C b a

证明:如图Δ ABC 中,

CH ? b sin A, AH ? b cos A, BH ? c ? b cos A
a 2 ? CH 2 ? BH 2 ? b 2 sin 2 A ? (c ? b cos A) 2 ? b ? c ? 2bc cos A
2 2

A

H

c

B

当 A、B 是钝角时,类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形,结合三角公式,能解有关三角形中的问题.
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注意:利用余弦定理,可以解决以下两类问题: (1)已知三边,求三角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角。 4.熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化,能在应用题中抽象或构造出三角形,标出 已知量、未知量,确定解三角形的方法;提高运用所学知识解决实际问题的能力

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.正弦定理
例题 1 在 反思总结: 变式练习1:(1)已知 比a:c:b= ABC 的三个内角的比是A:B:C=3:2:1,那么对应的三边之 . ABC 中,A= 75 ,B=45 ,c= 6 ,解次三角形.
?
?

2.余弦定理
例题2在 ABC 中,AB=2,BC=1,cosC=

3 4

(1)求 AB 的值; (2)求 sin(2A+C)

反思总结: 变式练习2:(1)在 a+c=4,则a= (2)在 ABC 中,a,b,c分别为A,B,C的对边,B= 。 ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4 则 cosB= .

2 ? ,b= 13 , 3

3.判断三角函数的形状
例题 3 在 试判断 ABC 中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosB+ccosC=acosA, ABC 的形状.

反思总结: 变式练习3: (1)在 . (2)在 ABC 中,若 a tan B ? b tan A, 试判断这个三角形的形 状为:
2 2

ABC 中,若

a b c ? ? 则三角形 ABC 的形状是 cos A cos B cos C



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4.有关正弦定理和余弦定理的证明题
例题4 ABC 的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c如果 a 2 ? a(b ? c) ,

证明:A=2B

反思总结: 变式训练4:设

a 2 ? b 2 sin( A ? B) ? ABC 的三边长分别为a,b,c,求证 c2 sin C

当堂过手训练
1.(2006 山东)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 A ? 则c ? A.1 ( ) B.2 C. 3 ? 1 D. 3 )

?
3

, a ? 3, b ? 1 ,

2.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为(

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

3. (2002 年上海)在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2006 全国Ⅰ)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根细木棒围成一个 三角形(允许连接,但不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为 ( ) A. 8 5cm
2

B.

6 10 cm2

C. 3 55cm

2

D. 20cm

2

5.(2006 全国Ⅱ)已知 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则 边 BC 上的中线 AD 的长为_________. 6.(2006 春上海)在△ ABC 中,已知 BC ? 8, AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ? . a2 ? c2 ? b2 ◆答案:1-4.BBCB; 3.由 2cosBsinA=sinC 得 ×a=c,∴a=b. ac 4.组成边长 6,7,7 时面积最大; 5.

3 ; 6.

7 25

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第 18 讲 导入: 知识点精讲

正余弦定理的实际应用

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习) 当堂过手训练
①②③④⑤⑥⑦⑧

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第 19 讲 导入: 知识点精讲
1.数列的定义

数列的概念及简单的表示法

按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 类型 有穷数列 按项数分类 无穷数列 递增数列 按项与项间的 大小关系分类 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准分 类 摆动数列 项数无限 满足条件 项数有限

an+1>an an+1<an an+1=an
存在正数 M,使|an|≤M 其中 n∈N+

an 的符号正负相间, 如 1, -1,1,
-1,…

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法、通项公式和递推公式 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an=f(n)来表示, 那么这个公 式叫做这个数列的通项公式. 5.Sn 与 an 的关系

?S1,n=1, 已知 Sn,则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?an≤an-1, 若 an 最小,则? ?an≤an+1.

?an≥an-1, 在数列{an}中,若 an 最大,则? ?an≥an+1.

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.数列的通项公式
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例题 1 写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,…; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,….

反思总结: 变式训练1:已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0,给出下列各式:
n n ?1?n为正偶数? ? 1-?-1? 1+?-1? 1-cos nπ 2nπ ①an= ; ②an= ; ③an=sin ; ④an= ; ⑤an=? 2 2 2 2 ?0?n为正奇数? ?



⑥an= 号).

1+?-1? 2

n+1

+(n-1)(n-2).其中可以作为数列 {an}的通项公式的有________(填序

答案 ①③④

2.由前n项和公式求通项公式
例题 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 -1,则它的通项公式为 an=________. 反思总结: 变式训练2:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n+1,则其通项公式为________.
2

n

3.由递推公式求通项公式
例题3根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; (2)a1=1,an=

n-1 an-1(n≥2); n

(3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an. [审题视点] (1)可用构造等比数列法求解.(2)可转化后利用累乘法求解.(3)可利用累加法 求解.

反思总结: 变式训练3:根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式,求其通项公式. (1)a1=1,an=an-1+3
n-1

(n≥2);

? 1? (2)a1=2,an+1=an+ln?1+ ?. ?
n?

4.数列性质的应用

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?10?n 例题4已知数列{an}的通项 an=(n+1)? ? (n∈N+),试问该数列{an}有没有最大项?若有, ?11?
求最大项的项数;若没有,说明理由.

反思总结: 变式训练4: 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n +24n(n∈N ). (1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少? 解 (1)n=1 时,a1=S1=23.
2 *

n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证,a1=23 符合 an
=-2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N ). (2)法一 ∵Sn=-n +24n,∴n=12 时,Sn 最大且 Sn=144. 法二 ∵an=-2n+25, ∴an=-2n+25>0,有 n< 故 S12 最大,最大值为 144. 25 .∴a12>0,a13<0, 2
2 *

当堂过手训练
1. (人教 A 版教材习题改编)已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0, 则下列各式不可以作为 数列{an}的通项公式的一项是( ). A.an=1+(-1)
n+1

B.an=2sin


2

C.an=1-cos nπ

? ?2,n为奇数 D.an=? ?0,n为偶数 ?

2.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则 a5 的值为( ). A.30 B.31 C.32 D.33

3.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( ). A.递增数列 C.常数列 4.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 a8 的值为( ). A.15 B.16 C.49 D.64
2

B.递减数列 D.不确定

5.(2012· 泰州月考)数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中 x 的值为________.

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第 20 讲 导入:
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等差数列

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知识点精讲
1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做 等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果 A=

a+b
2

,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.

4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N ). (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N )是公差为 md 的等差数列. (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇= ;若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项). 2 5.等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn= 项和公式为 Sn=na1+
* * *

nd

n?a1+an?
2

,或等差数列{an}的首项是 a1,公差 d,则其前 n

n?n-1? d.
2

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n,数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn(A,B 为常数).
2

?

2?

7.最值问题 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值,若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值. 总结:一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式:

Sn=a1+a2+a3+…+an,① Sn=an+an-1+…+a1,②
①+②得:Sn= 两个技巧
61

n a1+an
2

.

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已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其 余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N )都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An +Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
2 *

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.等差数列基本问题
【例 1】?(2011· 福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

反思总结: 变式训练1: (2011·湖北)《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下 各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积 为________升.

2.等差数列的判定
1 【例 2】?已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:? ?是等差数列; ?Sn?

(2)求 an 的表达式.

反思总结: 变式训练2:已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2,a2=2,S3=6. (1)求 Sn;
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(2)证明:数列{an}是等差数列.

3.前n项和公式的应用
【例 3】?设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

反思总结: 变式训练3: 在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值 时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值.

4.等差数列性质的应用
【例 4】 ?设等差数列的前 n 项和为 Sn, 已知前 6 项和为 36, Sn=324, 最后 6 项的和为 180(n >6),求数列的项数 n.

反思总结: 变式训练4:(1)设数列{an}的首项 a1=-7,且满足 an+1=an+2(n∈N+),则 a1+a2+…+

a17=________.
(2)等差数列{an}中, a1+a2+a3=-24, a18+a19+a20=78, 则此数列前 20 项和等于________.

当堂过手训练
1.(人教 A 版教材习题改编)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( ). A.4 B.5 C.6 D.7

2.设数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,则 S8 等于 ( ). A.31 B.32 C.33 D.34

3.(2011· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1.那么 a10=( ). A.1 B.9 C.10 D.55

4.(2012· 杭州质检)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( ). A.13 B.35 C.49 D.63

5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________.

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第 21 讲 导入: 知识点精讲
1.等比数列的定义

等比数列及其前n项和

如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列叫做等
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比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· q 3.等比中项 若 G =a· b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· q
n-m
2

n-1

.

,(n,m∈N+).

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak· al=am· an.
?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),? ?,{an},{an· bn},? ?仍是等比 ?an? ?bn?

数列. (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其 公比为 q . 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=
n

a1?1-qn? a1-anq = . 1- q 1-q

总结:一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和:

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
同乘 q 得:qSn=a1q+a1q +a1q +…+a1q , 两式相减得(1-q)Sn=a1-a1q ,∴Sn= 两个防范 (1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q =1 这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有: (1)定义法:若 比数列. (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an+1=an·an+2(n∈N ),则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q (c,q 均是不为 0 的常数,n∈N ),则{an}
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n
* 2 * 2 3

n

n

a1 1-qn (q≠1). 1-q

an+1 an * =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N ),则{an}是等 an an-1

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是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.等比数列的基本问题
【例 1】?(2011· 全国)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30.求 an 和 Sn.

反思总结: 32 变式训练1:等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3· a4= ,且公比 q∈(0,1). 9 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值.

2.等比数列的判定
【例 2】?(2012· 长沙模拟)已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

an+an+1
2

,n∈N .

*

反思练习: 1 2 2 n-1 n-1 n n 变式训练2: (2011· 四川)设 d 为非零实数, an= [C1 +nCnd ](n nd+2Cnd +…+(n-1)Cn d

n

∈N ). (1)写出 a1,a2,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由; (2)设 bn=ndan(n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

*

3.前n项和公式的应用
【例3】?等比数列 ?an ?中,若 Sn ? 10, S20 ? 30, 求S30

反思总结: 变式练习3:等比数列 ?an ?,若 a3 ?

3 9 , S3 ? , 求a1和q 2 2
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4.等比数列的性质及应用
【例 4】?已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再后面 3n 项的和

反思总结: 1 变式训练 4: (2011· 北京)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1| 2 +|a2|+…+|an|=________.

当堂过手训练
1.(人教 A 版教材习题改编)在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列{an}是( ). A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.无法确定数列的增减性

1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( ). 4 1 A.- 2 B.-2 C.2 1 D. 2

3.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6 等于( ). A.4 B.8 C.16 D.32

4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( ). A.-11 B.-8 C.5 D.11

S5 S2

5.(2011· 广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= ________.

第 22 讲 等差数列与等比数列的综合问题
怎样求解等差与等比数列的综合性问题

【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别,又相互联系,高考作为考查学 生综合能力的选拔性考试,将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多 属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化. 【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量:首项和公差及公比,再灵活利用

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性质转化条件,以及利用等差、等比数列的相关知识解决. 【示例】?(本题满分 12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并 且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? ? ? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+ ?是等比数列. 4? ? ? ?

正确设等差数列的三个正数, 利用等比数列的性质解出公差 d, 从而求 出数列{bn}的首项、公比;利用等比数列的定义可解决第(2)问. [解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15, 解得 a=5.(2 分) 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,由(7-d)(18+d)=100,解得

d=2 或 d=-13(舍去).(4 分)
故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2, 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22, 5 解得 b1= . 4 5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 4

bn= · 2n-1=5· 2n-3.(6 分)
5 ?1-2n? 4 5 5 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n-2- ,即 Sn+ =5· 2n-2.(8 分) 1-2 4 4 5 4 5· 5 5 2n-1 所以 S1+ = , = n-2=2.(10 分) 4 2 5 5· 2 Sn+ 4

5 4

Sn+1+

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? 5? ? ? 5 因此?Sn+ ?是以 为首项,公比为 2 的等比数列.(12 分) 4 2 ? ? ? ?

关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认 真计算,灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失 误,特别是利用因式分解求解方程的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不 能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件, 导致列出的方程或方程组较 为复杂,增大运算量. 【试一试】 (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2 -a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公 差不为 0 的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. [尝试解答] (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 即 aq2-4aq+3a-1=0. 由 a>0 得,Δ=4a +4a>0,故方程有两个不同的实根. 1 再由{an}唯一,知方程必有一根为 0,将 q=0 代入方程得 a= . 3 (2)假设存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不 为 0 的等差数列. 设{an}的公比为 q1,{bn}的公比为 q2, 则 b2-a2=b1q2-a1q1,
2 b3-a3=b1q2 2-a1q1, 3 b4-a4=b1q3 2-a1q1. 2

由 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成等差数列得
2 2 ?2?b1q2-a1q1?=b1-a1+?b1q2-a1q1?, ? 2 2 3 3 ?2?b1q2-a1q1?=b1q2-a1q1+?b1q2-a1q1?,

?b1?q2-1? -a1?q1-1? =0, 即? 2 2 ?b1q2?q2-1? -a1q1?q1-1? =0.
2 2

① ②

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①×q2-②得 a1(q1-q2)(q1-1)2=0, 由 a1≠0 得 q1=q2 或 q1=1. ⅰ)当 q1=q2 时,由①②得 b1=a1 或 q1=q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0,与公差不为 0 矛盾. ⅱ)当 q1=1 时,由①②得 b1=0 或 q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0,与公差不为 0 矛盾. 综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成 公差不为 0 的等差数列.

第 23 讲 导入: 知识点精讲
数列求和的常用方法 1.公式法

数列求和

直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式:
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n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d;
2 2 (2)等比数列的前 n 项和公式:

na1,q=1, ? ? Sn=?a1-anq a1?1-qn? = ,q≠1. ? 1-q ? 1-q
2.倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么 求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列 的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 5.分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分 组求和法,分别求和而后相加减. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1) f(n)类型, 可采用两项合并求解. 例如,Sn=100 -99 +98 -97 +…+2 -1 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 总结:一种思路 一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊 数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. 两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意: (1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差; (2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下 两项. 三个公式 (1) 1 1 = - ; n?n+1? n n+1 1
2 2 2 2 2 2

n

1 1? 1 - 1 ? (2) = ? ?; ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1?

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(3)

1

n+ n+1



n+1- n.

考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.公式法求和
【例 1】?已知数列{an}是首项 a1=4,公比 q≠1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 4a1,a5, -2a3 成等差数列. (1)求公比 q 的值; (2)求 Tn=a2+a4+a6+…+a2n 的值.

反思总结: 变式训练1:在等比数列{an}中,a3=9,a6=243,求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公 式 Sn,并求 a9 和 S8 的值.

2.分组转化求和
【例 2】?(2012· 包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p+nq(n∈N ,p,q 为常 数),且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值;(2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式.
n
*

反思总结: 1 ? ? 1? ? 1 1? ? 1 1 变式训练2: 【训练 2】 求和 Sn=1+?1+ ?+?1+ + ?+…+?1+ + +…+ n-1?. 2 2 4 2 4 2 ? ? ? ? ? ? 3.裂项相消法求和 1? ? 2 【例 3】?在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn=

Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

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反思总结: . 变式训练3: 在数列{an}中,an= 1 + 2 +…+

n+1 n+1

n 2 ,又 bn= ,求数列{bn}的前 n+1 an· an+1

n 项和 Sn.

4.错位相减法求和
【例 4】?(2011· 辽宁)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列?
?

an ?
n-1?

?2

?

的前 n 项和.

反思总结:用错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn -qSn”的表达式 变式训练: 设数列{an}满足 a1+3a2+3 a3+…+3 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 阅卷报告 7——未对 q=1 或 q≠1 讨论出错 【问题诊断】错位相减法适合于一个由等差数列{an}及一个等比数列{bn}对应项之积组成的 数列.考生在解决这类问题时,都知道利用错位相减法求解,也都能写出此题的解题过程, 但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等. 【防范措施】 两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,应将相同幂指数的项对齐,这 样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项,两项相减,除第一项和最后 一项外,剩下的 n-1 项是一个等比数列. 【示例】?(2010· 四川)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式;
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2

n-1

n an= ,n∈N*.
3

n an

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(2)设 bn=(4-an)q

n-1

(q≠0,n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

*

当堂过手训练
1 1.(人教 A 版教材习题改编)等比数列{an}的公比 q= ,a8=1,则 S8=( ). 2 A.254 B.255 C.256 D.257

2.(2011· 潍坊模拟)设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an} 的前 n 项和 Sn=( 7n A. + 4 4 ).

n

2

5n B. + 3 3

n

2

C. + 2 4

n2 3n

D.n +n

2

3.(2011· 北京海淀模拟)等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的和为 Sn,则数 列? ?的前 10 项的和为( ).
?n? ?Sn?

A.120 C.75

B.70 D.100
n

4.(2011· 沈阳六校模考)设数列{(-1) }的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn=( ). A.

n[?-1?n-1]
2
n

B. D.
n-1

?-1? +1 2
n-1

?-1? +1 C. 2 5.若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)

?-1? -1 2
n

· n,S50=________.

第 24 讲 知识点精讲
1.等比数列与等差数列比较表 不同点

数列的综合应用

相同点

(1)强调从第二项起每一 等差数列 项与前项的差; (2)a1 和 d 可以为零; (3)等差中项唯一 (1)强调从第二项起每一 等比数列 项与前项的比; (2)a1 与 q 均不为零; (1)都强调从第二项起每一项 与前项的关系; (2)结果都必须是同一个常数; (3)数列都可由 a1,d 或 a1,q 确定

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(3)等比中项有两个值 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列 的特征、要求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 3.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少) 的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个 固定的数就是公比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时, 应考虑是 an 与 an+1 的递推关系,还是 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系. 总结:一条主线 数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系,优化组合,无形中 加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解. 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解,有些数列题目条件已指明是等差(或等 比)数列,但有的数列并没有指明,可以通过分析,转化为等差数列或等比数列,然后应用 等差、等比数列的相关知识解决问题. (2)数列是一种特殊的函数,故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列是两种最基 本、最常见的数列,它们是研究数列性质的基础,它们与函数、方程、不等式、三角等内容 有着广泛的联系, 等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用, 随着高考对能力要 求的进一步增加,这一部分内容也将受到越来越多的关注. 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性). (2)数列与不等式结合时需注意放缩. (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.

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考点透析(专题讲解、反思总结、变式练习)
1.等差数列与等比数列的综合应用
【例 1】?在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列.

反思总结 变式训练1: 数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15, 又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,求 Tn.

2.数列与函数的综合应用
【例 2】?(2012· 南昌模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N ,点(n,Sn) 均在函数 y=b +r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn=
x
*

n+1 * (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 4an

反思总结: 13 变式训练2:(2011· 福建)已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= . 3 (1)求数列{an}的通项公式; π (2)若函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在 x= 处取得最大值,且最大 6 值为 a3,求函数 f(x)的解析式.

3.数列与不等式的综合应用
【例 3】?(2011· 惠州模拟)在等比数列{an}中,an>0(n∈N ),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5 +a2a8=25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2.
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(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (3)是否存在 k∈N ,使得 + +…+ <k 对任意 n∈N 恒成立,若存在,求出 k 的最小值, 1 2 n 若不存在,请说明理由.
*

S1 S2

Sn

*

反思总结: 变式训练 3:(2012· 岳阳模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 n+1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n· 2 >50 成立的正整数 n 的最 2 小值. 难点突破 14——数列与解析几何、三角的交汇问题 从近几年新课标高考试题可以看出, 不同省市的高考对该内容要求的不尽相同, 考生复习时 注意把握. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题, 关键是充分利用解析几 何的有关性质、公式,建立数列的递推关系式,然后借助数列的知识加以解决. 一、数列与解析几何交汇 【示例】? (2011· 陕西)如图,

从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=e 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点

x

P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2, 依次重复上述过程得到一系列点: P1, Q1; P2, Q2; …; Pn,Qn.记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).
(1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n);
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(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.

二、数列与三角交汇 【示例】? (2011· 安徽)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比 数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lg Tn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tan an· tan an+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

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当堂过手训练
1.(人教 A 版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 的值为( A.-4 ). B.-6 C.-8 D.-10

2.(2011· 运城模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则

S4=( ).
A.7 B.8 C.15 D.16

3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}是等差数列,且 a6=b7,则有( ). A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小关系不确定 4.若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a =( A.4 ). B.2 C.-2 D.-4

5.(2012· 苏州质检)已知等差数列的公差 d<0,前 n 项和记为 Sn,满足 S20>0,S21<0,则 当 n=________时,Sn 达到最大值.

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第 25 讲

不等式

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