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山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题试卷_图文

时间:

2013 年济宁市高三模拟考试
数学(文史类)试题

2013.03

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分。共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知 i 是虚数单位,则 ?1? ( 1? i )2 在复平面内对应的点位于 2
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合 A={-1,0,a},B={ x | 0 ? x ? 1 },若 A B ? ? ,则实数 a 的取值范围



A{1} B.(-∞,0) C.(1,+∞) D.(0.1)

3.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们

每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名

运动员得分的中位数分别为

A.19、13 B.13、19

C.20、18 D.18、20

4.下列命题中是假命题的是

A. ?x ?( 0,? ),tan x ? sin x 2

B. ?x ? R,3x ? 0

C. ?x0 ? R,sin x0 ? cos x0 ? 2 D. ?x0 ? R,lg x0 ? 0

5.点 M、N 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1B1、A1D1 的中点,用过 A、 M、N 和 D、N、C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则 该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为

A.①、②、③ B.②、③、③ C.①、③、④ D.②、④、③

? x ?1

6.实数

x,y

满足

? ?

y

?

a(

a

? 1) ,若目标函数 z

? x ? y 取得最大值

4,则实数

a

?? x ? y ? 0

的值为

A.4 B.3

C.2 D. 3 2

7.函数 f ( x ) ? ln( x ? 1 )的图象是 x

8.执行右边的程序框图。则输出 n 的值为

A.6

B.5

C.4

D.3

9.若曲线 f ( x ) ? x sin x ?1在 x ? ? 处的切线与直线 ax+2y+1=0 2
互相垂直,则实数 a 的值为

A.-2 B.-l

C.1 D.2

10.若函数 f ( x ) ? sin( ?x ? ? ) 的图象向右平移 ? 个单位后与

3

3

原函数的图象关于 x 轴对称,则? 的最小正值是

A. 1 2

B.1

C.2 D.3

11.在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,AB、AC 的边长分别为 2、1,? BAC=60o.则

AG BG =

A. ? 8 B. ? 10 C. 5 ? 3 D.- 5 ? 3

9

9

9

9

12.如图,F1,F2

是双曲线

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

?

0,b

? 0 ) 的左、右焦点,过

F2



直线与双曲线 C 交于 A,B 两点.若|AB|:|BF1|:|AF1|=3: 4:5。则双曲线的离心率为

A. 13

C.3 B.2

D. 5

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 4 分,共 16 分.

13.已知等差数列{ an }中, a3 ? a5 =32, a7 ? a3 =8,则此数列的前 10 项和 S10 =

▲.

14.函数

f

(

x

)

?

?ln ?

x

?

x2

?

2x,x

?

0 的零点个数是





? 4x ?1,x ? 0

15.已知? ,? 是两个不同的平面,l 是一条直线,且 l ? ? ,则 l//? 是? ? ? 的 ▲
条件。(填:充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要) 16.设满足 3x=5y 的点 P 为(x,y),下列命题正确的序号是 ▲ .
①(0,0)是一个可能的 P 点;②(lg3,lg5)是一个可能的 P 点;③点 P(x,y)满 足 xy≥0; ④所有可能的点 P(x,y)构成的图形为一直线. 三、解答题:本大题共 6 小题.共 74 分.解答应写出文宇说明、证明过程或推 演步骤。

17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A= ? ,cosB= 2 5 .

4

5

(I)求 cosC 的值;

(Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

18.(本小题满分 12 分) 某校从参加高三年级期中考试的学生
中随机统计了 40 名学生的政治成绩,这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 l00 分之 间,据此绘制了如图所示的样本频率分布 直方图。
(I)求成绩在[80,90)的学生人数; (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机 选 2 名学生,求至少有 l 名学生成绩在 [90,100]的概率。

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABC 中,底面 ABCD 是矩形,
SA ? 底面 ABCD,SA=AD,点 M 是 SD 的中点, AN ? SC,且交 SC 于点 N.

(I)求证:SB∥平面 ACM; (II)求证:平面 SAC ? 平面 AMN。

20.(本小题满分 l2 分)
设数列{ an }满足:a1=5,an+1+4an=5,(n?N*)
(I)是否存在实数 t,使{an+t}是等比数列? (Ⅱ)设数列 bn=|an|,求{bn}的前 2013 项和 S2013.

21.(本小题满分 13 分)

如图,已知半椭圆

C1:ax

2 2

?

y2

? 1( a

? 1,x

?

0

)的

离心率为

2 2

,曲线

C2

是以半椭圆

C1

的短轴为直

径的圆在 y 轴右侧的部分,点 P(x0,y0)是曲线 C2 上的任意一点,过点 P 且与曲线 C2 相切的直线 l 与 半椭圆 C1 交于不同点 A,B.
(I)求 a 的值及直线 l 的方程(用 x0,y0 表示); (Ⅱ)△OAB 的面积是否存在最大值?若存在,求出
最大值;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? a . x (I)若 a>0,试判断 f ( x ) 在定义域内的单调性;
(Ⅱ)若 f ( x ) 在[1,e]上的最小值为 3 ,求 a 的值; 2
(III)若 f ( x ) ? x2 在(1,+ ? )上恒成立,求 a 的取值范围

2013 年济宁市高三模拟考试 数学(文史类)试题参考答案及评分标准

一、 选择题:每小题 5 分,共 60 分.

BDACB CBCDD AA

二、填空题:每小题 4 分,共 16 分.

13. 190

14. 3

15. 充分不必要

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.

16. ①③④

17.解:(Ⅰ)?cos B ? 2 5 且 B ? (0,? ) ,∴ sin B ? 1? cos2 B ? 5

5

5

…………2 分

cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos(3? ? B) 4

…………………………………… 4



? cos 3? cos B ? sin 3? sin B ? ? 2 ? 2 5 ? 2 ? 5 ? ? 10 ………………………6 分

4

4

2 5 25

10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1? cos2 C ? 1? (? 10 )2 ? 3 10 ……………………8 分

10

10

由正弦定理得 BC ? AB ,即 2 5 ? AB ,解得 AB ? 6 .………………10 分

sin A sin C

2 3 10

2 10

在 ?BCD 中, CD2 ? (2 5)2 ? 32 ? 2 ? 3? 2 5 ? 2 5 ? 5 ,
5

所以 CD ? 5 . ………………………………………………………………12 分

18.解:(Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间[80,90) 的频率为

1? (0.005? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 , …………………………2 分 所以,40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40? 0.1 ? 4 (人). ……4 分 (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有 一
名学生成绩在区间 [90,100] 内”,

由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间[80,90) 内的学生有 4 人,

记这四个人分别为 a,b, c, d ,

成绩在区间[90,100]内的学生有 2 人,记这两个人分别为 e, f .…………6 分 则选取学生的所有可能结果为:

(a,b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) ,

(d, e), (d, f ), (e, f ) 基本事件数为 15,………………………………………………………………8 分 事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d, e), (d, f ), (e, f ) ,

基本事件数为 9, 分

…………………………………………………………10

所以 P( A) ? 9 ? 3 . 15 5


………………………………………………………12
S

19.证明:(Ⅰ)连接 BD,交 AC 于点 O,连接 MO

ABCD 为矩形, ?O 为 BD 中点 又 M 为 SD 中点,

N M

?MO//SB ………………………………3 分

A

MO ? 平面 ACM,SB ? 平面 AC………………4 分

?SB//平面 ACM …………………………5 分
D

O

(Ⅱ) SA ? 平面 ABCD,?SA ? CD

B C

ABCD 为矩形,?CD ? AD,且 SA AD=A

?CD ? 平面 SAD,?CD ? AM…………………8 分 SA=AD,M 为 SD 的中点

?AM ? SD,且 CD SD=D ?AM ? 平面 SCD ?AM ? SC ……………………………………………………………………10


又 SC ? AN,且 AN AM=A ?SC ? 平面 AMN

SC ? 平面 SAC,?平面 SAC ? 平面 AMN. ……………………………………12 分

20.解:(I)由 an+1+4an =5 得 an+1= ? 4an +5

令 an+1+t= ? 4?an +t ? ,…………………………………………………………2 分

得 an+1= ? 4an ? 5t 则 ?5t=5 , t= ?1 ………………………………………4 分

从而 an+1 ?1= ? 4?an ?1? .

又 a1 ?1=4 , ??an ?1? 是首项为 4,公比为 ?4 的等比数列,

?存在这样的实数 t= ?1 ,使?an +t? 是等比数列.


………………………6

(II)由(I)得 an ?1=4 ? ??4?n?1 ?an =1? ??4?n . ………………………7 分

? ?bn = an

=

1+4n, n为奇数 4n ?1,n为偶数

………………………………………………8



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S2013 =b1+b2 + b2013 = 1+41 + 42 ?1 + 1+43 + 44 ?1 + + 1+42013

…9



=41+42 +43 + +42013 +1 ………………………………………………10 分

4 ? 42014

42014 ?1

=

+1=

1? 4

3

……………………………………………12



21.解:(I)

半椭圆 C1 的离心率为

2 2

,?

a2 ?1 a2 =(

2 )2 , 2

? a= 2 ………………………………………………………………2 分

设 Q(x,y) 为直线 l 上任意一点,则 OP ? PQ ,即 OP ? PQ=0

(x0 ,y0 ) ? (x ? x0 ,y ? y0 )=0 , x0 x+y0 y=x02 +y02 ……………………………4 分 又 x02 +y02 =1 , ?直线l的方程为x0x+y0 y ?1=0 ………………………6 分

?

(II)①



P

点不为(1,0)时,

?? ? ? ??

x0x+y0 y ?1=0 x2 +y2 =1 2



得 (2x02 +y02 )x2 ? 4x0 x+2 ? 2 y02 =0 , 即 (x02 +1)x2 ? 4x0 x+2x02 =0

?



A

?

x1

,y1

?

,B

?

x2

,y2

?

,?

? ?? ? ? ? ??

x1 +x2

=

4 x0 x02 +1

x1x2 =

2 x02 x02 +1

……………………………………8 分

AB = 1+k 2 ? ? x1+x2 ?2 ? 4x1x2

? ? =

8x02 1? x02

=

8x02

? ?? ? 1? x02 x02 +1 2

x04 +2x02 +1

…………………………………………9 分

=

8

<

8

=2

x02 +

1 x 02

+2

2

x02

?

1 x02

+2



…… … … …………………………10

?S

OAB

=

1 2

AB

OP = 1 2

AB <

2 2



………………………………………………11

②当 P 点为(1,0)时,此时, S OAB =

2. 2

…………………………………12 分

综上,由①②可得,?OAB 面积的最大值为 2 . …………………………13 分 2

22.解 (I)由题意知 f(x)的定义域为(0,+∞),

且 f′(x)=1x+xa2=x+x2 a.

………………………………………………2 分

∵a>0,∴f′(x)>0,

故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. ………………………………4 分

(II)由(I)可知,f′(x)=x+x2 a.

①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为增函数,

∴f(x)min=f(1)=-a=32,∴a=-32(舍去). ………………………5 分

②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上为减函数, ∴f(x)min=f(e)=1-ae=32,∴a=-e2(舍去). ………………………6 分

③若-e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a,

当 1<x<-a 时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,

∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=32,∴a=- e.

综上所述,a=- e.

………………………………………………8 分

(Ⅲ)∵f(x)<x2,∴ln x-ax<x2.

又 x>0,∴a>xln x-x3. ………………………………………………9 分 令 g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,…………………10 分 h′(x)=1x-6x=1-x6x2.

∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ………………………………12 分 ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. g(x)<g(1)=-1, ∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立.…………………………13




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