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高中数学人教A版选修2-2同步课时作业:1.3.3 Word版含解析

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第一章
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1.3

1.3.3

π ? 1.函数 f(x)=x+2cos x 在区间? ?-2,0?上的最小值是( π A.- 2 π C. + 3 6 解析: f′(x)=1-2sin x, π ? ∵x∈? ?-2,0?, ∴sin x∈[-1,0],∴-2sin x∈[0,2]. π ? ∴f′(x)=1-2sin x>0 在? ?-2,0?上恒成立, π ? ∴f(x)在? ?-2,0?上单调递增. π? π π ∴f(x)min=- +2cos? ?-2?=-2. 2 答案: A ln x 2.函数 y= 的最大值为( x A.e
-1

)

B.2 π D. +1 3

) B.e 10 D. 3

C.e2 1-ln x 解析: 令 y′= =0,则 x=e x2

当 x∈(0,e)时,y′>0,当 x∈(e,+∞)时,y′<0. 1 ∴当 x=e 时 y 取最大值 ,故选 A. e 答案: A 3.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( A.-37 C.-5 解析: ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), ∵f(x)在(-2,0)上为增函数, 在(0,2)上为减函数, ∴当 x=0 时,f(x)=m 最大. B.-29 D.以上都不对 )

∴当 m=3,从而 f(-2)=-37,f(2)=-5. ∴最小值为-37.故选 A. 答案: A 4.下列关于函数 f(x)=(2x-x2)ex 的判断正确的是( ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2}; ②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值. A.①③ C.② 解析: 由 f(x)>0 得 0<x<2,故①正确. f′(x)=(2-x2)ex, 令 f′(x)=0,得 x=± 2, 当 x<- 2或 x> 2时,f′(x)<0. 当- 2<x< 2时,f′(x)>0. ∴x=- 2时,f(x)取得极小值, 当 x= 2时,f(x)取得极大值,故②正确. 当 x→-∞时,f(x)<0, 当 x→+∞时,f(x)<0. 综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图). B.①②③ D.①② )

∴函数 f(x)有最大值无最小值,故③不正确. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1 5.函数 f(x)= +x(x∈[1,3])的值域为________. x+1 x2+2x 1 解析: f′(x)=- ,所以在[1,3]上 f′(x)>0 恒成立,即 f(x)在[1,3]上单调递增,所 2+1= ?x+1? ?x+1?2 3 13? 13 3 以 f(x)的最大值是 f(3)= ,最小值是 f(1)= .故函数 f(x)的值域为? ?2, 4 ?. 4 2 3 13? 答案: ? ?2, 4 ? 1 6.设函数 f(x)= x2ex,若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 2

1 解析: f′(x)=xex+ x2ex 2 ex = · x(x+2), 2 由 f′(x)=0 得 x=0 或 x=-2. 当 x∈[-2,2]时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x) ∴当 x=0 时,f(x)min=f(0)=0, 要使 f(x)>m 对 x∈[-2,2]恒成立, 只需 m<f(x)min,∴m<0. 答案: m<0 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知函数 f(x)=x3-ax2+3x,x=3 是函数 f(x)的极值点,求函数 f(x)在 x∈[1,5]上的最大值和最小值. 解析: 根据题意,f′(x)=3x2-2ax+3,x=3 是函数 f(x)的极值点,得 f′(3)=0, 即 27-6a+3=0,得 a=5. 所以 f(x)=x3-5x2+3x. 1 令 f′(x)=3x2-10x+3=0,得 x=3 或 x= (舍去). 3 当 1<x<3 时,f′(x)<0,函数 f(x)在[1,3)上是减函数; 当 3<x<5 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(3,5]上是增函数. 由此得到当 x=3 时,函数 f(x)有极小值 f(3)=-9,也就是函数 f(x)在[1,5]上的最小值;又因为 f(1)=- 1,f(5)=15,即函数 f(x)在[1,5]上的最大值为 f(5)=15. 综上,函数 f(x)在[1,5]上的最大值为 15,最小值为-9. 8.设函数 f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为 ,求 a 的值. 2 1 1 解析: 函数 f(x)的定义域为(0,2),f′(x)= - +a. x 2-x -x2+2 (1)当 a=1 时,f′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为( 2,2). x?2-x? 2-2x (2)当 x∈(0,1]时, f′(x)= +a>0, 即 f(x)在(0,1]上单调递增, 故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a, x?2-x? 1 因此 a= . 2 -2 0 (-2,0) - ? 0 0 (0,2) + ? 2

? 尖子生题库 ? ?

☆☆☆

1 ? 2 1 (10 分)已知函数 f(x)=- x+ +ln x 在? 求 c 的取值范围. ?4,2?上存在 x0 使得不等式 f(x0)-c≤0 成立, 3 3x 1 ? 解析: 在? ?4,2?上存在 x0,使得不等式 f(x0)-c≤0 成立,只需 c≥f(x)min, 2 1 1 由 f′(x)=- - 2+ 3 3x x 2x2-3x+1 ?2x-1??x-1? =- =- , 2 3x 3x2 1 1? ∴当 x∈? ?4,2?时,f′(x)<0, 1 1? 1 , 上单调递减;当 x∈? ,1?时,f′(x)>0, 故 f(x)在? 4 2 ? ? ?2 ? 1 ? 故 f(x)在? ?2,1?上单调递增;当 x∈(1,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(1,2)上单调递减. 1? ?1,2?上的极小值. ∴f? 是 f ( x ) 在 ?2? ?4 ? 1? 1 1 1 7 而 f? ?2?=3+ln 2=3-ln 2,f(2)=-6+ln 2, 1? 3 3 且 f? ?2?-f(2)=2-ln 4=ln e2-ln 4, 3 又 e3-16>0,∴ln e -ln 4>0, 2 1 ? ∴在? ?4,2?上 f(x)min=f(2), 7 ∴c≥f(x)min=- +ln 2. 6 7 ? ∴c 的取值范围为? ?-6+ln 2,+∞?.


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