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椭圆离心率的解法(整理版)

时间:2011-01-08


达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料
课程名称 辅 导 师 教学内容 教学目标 教学重难点 高二数学 上课时间 学 椭圆离心率的解法 生 教学材料 2010 年 月 日 课 时 第 课时 辅导方式 一对一个性化辅导

中心自编辅导资料

1、掌握椭圆离心率的求法; 2、能够确定椭圆离心率的取值范围。 重点:椭圆的离心率; 难点:椭圆离心率取值范围的求法。

教学过程设计

椭圆的几何性质中,对于离心率和离心率的取值范围的处理,同学们很茫然,没有方向性。 题型变化很多,难以驾驭。以下,总结一些处理问题的常规思路,以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义

基础题目:如图,O 为椭圆的中心,F 为焦点,A 为顶点,准线 L 交 OA 于 B,P、Q 在椭圆上,PD ⊥L 于 D,QF⊥AD 于 F,设椭圆的离心率为 e, 证明:①e= |PF| |QF| |AO| |AF| |FO| ②e= ③e= ④e= ⑤e= |PD| |BF| |BO| |BA| |AO|

D

P Q A

B

F

O

x2 题目 1:椭圆 2 a

y2 + 2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分 b
A

正三角形的两边,则椭圆的离心率 e? 解: 3 ?1
F1

B

F2

1

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变形 1:椭圆

x 2 a

2

+

y =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,使△OPF1 2 b

2

为正三角形,求椭圆离心率? 解:
P

F2

O

F1

点评:以上题目,构造焦点三角形,通过各边的几何意义及关系,推导有关 a 与 c 的 方程式,推 导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目 2:椭圆 求 e?
B

x2 2 a

+

y2 =1(a>b >0),A 是左顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,∠ABF=90°, 2 b

A O F

x2 变形:椭圆 2 a ABF?

y2 + 2 =1(a>b >0),e= b

5 ?1 2 A 是左顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,求∠

2

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5 ?1 引申:此类 e= 2 的椭圆为优美椭圆。

优美椭圆的性质: 1、∠ABF=90°; 2、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆; 3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 总结:焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义,找各边的表示,结合解斜三角形公式, 列出有关 e 的方程式。 x2 题目 3:椭圆 2 a y2 + 2 =1(a>b >0),过左焦点 F1 且倾斜角为 60°的直线交椭圆与 AB 两点,若| b

F1A|=2|BF1|,求 e? 解:
2 3

题目 4:椭圆

x2 a2

+

y2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) 2 (c,0),P 是以|F1F2|为直径的圆 、F b2

与椭圆的一个交点,且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求 e?(可以考虑正弦定理的应用) 。 解:
6 3

3

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点评:在焦点三角形中,使用第一定义和正弦定理可知 e= sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 (※)

三、 以直线与椭圆的位置关系为背景,用设而不求的方法找 e 所符合的关系式. x2 题目 5:椭圆 2 a y2 → → OA + 2 =1(a>b >0), 斜率为 1, 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、 两点, +OB B b

→ 与 a=(3,-1)共线,求 e?

6 3
O

A(X1,Y1)

B(X2,Y2)

四、 由图形中暗含的不等关系,求离心率的取值范围。 题目 6:椭圆 x2 a2 + y2 → → =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) 2 (c,0),满足MF1·MF2 =0 的点 M 总 、F 2 b

在椭圆内部,则 e 的取值范围?

(0,

5 ?1 ) 2
M F1 4 O F2

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好题精练 1、椭圆 x2 a2 + y2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,AB 为椭圆的顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1 ⊥X b2

轴,PF2 ∥AB,求椭圆离心率 e?

P

B

F1
O

F2

A

2、椭圆

x2 a2

+

y2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) 2 (c,0),P 是椭圆上一点, 、F b2

且∠F1PF2 =60°,求 e 的取值范围?
5

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3、椭圆

x2 a2

+

y2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) 2 (c,0),P 为右准线 L 上一点,F1P 的垂 、F b2

直平分线恰过 F2 点,求 e 的取值范围?

M

P

F1

O

F2

6

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