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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 3-4定积分与微积分基本定理 理 新人教A版

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3-4 定积分与微积分基本定理(理)
基础巩固强化 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线 y=x 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是 ( ) A.S=?1(x -x)dx
2 2

?0 ?0

B.S=?1(x-x )dx

2

?0 ?0

C.S=?1(y -y)dy [答案] B

2

D.S=?1(y- y)dy

[分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是 1,下限是 0,由于在 [0,1]上,x≥x ,故函数 y=x 与 y=x 所围成图形的面积 S=?1(x-x )dx.
2 2 2

?0

2.如图,阴影部分面积等于(

)

A.2 3 C. 32 3

B.2- 3 D. 35 3

[答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S=?1 (3-x2-2x)dx=(3x- x3-x2)|1 = . -3

?-3

1 3

32 3

3.?2 4-x dx=(

2

?0

) B.2π D. π 2

A.4π C.π [答案] C

1

[解析] 令 y= 4-x ,则 x +y =4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中 阴影部分的面积, 1 2 ∴S= ×π ×2 =π . 4

2

2

2

4.

已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的 速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图所示).那么对于图中给定的 t0 和 t1,下列判断中一定正确 的是( )

A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B.在 t1 时刻,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D.t0 时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在 t0,t1 时刻,甲、乙 两车行驶路程的大小问题. 根据定积分的几何意义知: 车在某段时间内行驶的路程就是该时 间段内速度函数的定积分,即速度函数 v(t)的图象与 t 轴以及时间段围成区域的面积.从

2

图象知:在 t0 时刻,v 甲的图象与 t 轴和 t=0,t=t0 围成区域的面积大于 v 乙的图象与 t 轴 和 t=0,t=t0 围成区域的面积,因此,在 t0 时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速 度刚刚赶上甲车的速度,所以选项 C,D 错误;同样,在 t1 时刻,v 甲的图象与 t 轴和 t=t1 围成区域的面积,仍然大于 v 乙的图象与 t 轴和 t=t1 围成区域的面积,所以,可以断定: 在 t1 时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选 A. 5.(2012·山东日照模拟)向平面区域 Ω ={(x,y)|- 掷一点,该点落在曲线 y=cos2x 下方的概率是( A. C. π 4 π -1 2 B. D. ) 1 2 2 π π π ≤x≤ ,0≤y≤1}内随机投 4 4

[答案] D [ 解 析 ] 平 面 区 域 Ω 是 矩 形 区 域 , 其 面 积 是 π , 在 这 个 区 2

6. A.0 [答案] D

(sinx-cosx)dx 的值是( π B. 4 C.2

)

D.-2

[解析]

(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)

=-2.

7.(2010·惠州模拟)?2(2-|1-x|)dx=________.

?0

[答案] 3
? ?1+x 0≤x≤1 [解析] ∵y=? ? ?3-x 1<x≤2



3

∴?2(2-|1-x|)dx=?1(1+x)dx+?2(3-x)dx

?0

?0

?1

1 2 1 1 2 2 3 3 =(x+ x )|0+(3x- x )|1= + =3. 2 2 2 2 8.(2010·芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x +2x+1,若?1-1f(x)dx=2f(a)成立,则
2

?

a=________.
1 [答案] -1 或 3 [解析]
2

∵?1-1f(x)dx=?1-1(3x +2x+1)dx=(x +x +x)|-1=4,?1-1f(x)dx=

?

?

2

3

2

1

?

2f(a),∴6a +4a+2=4, 1 ∴a=-1 或 . 3 π 1 6 2 9.已知 a=∫ 0(sinx+cosx)dx,则二项式(a x- ) 的展开式中含 x 项的系数是 2 x ________. [答案] -192 [解析] 由已知得 a=∫ π π π π -cos ) 0(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)| 0 =(sin 2 2 2 2

-(sin0-cos0)=2, (2 x- 1

x

) 的展开式中第 r+1 项是 Tr+1=(-1) ×C6×2
1 1 5

6

r

r

6-r

×x

3-r

,令 3-r=2 得,r

=1,故其系数为(-1) ×C6×2 =-192. 10.有一条直线与抛物线 y=x 相交于 A、B 两点,线段 AB 与抛物线所围成图形的面积 4 恒等于 ,求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程. 3 [解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为 A(a,a ),B(b,b ),不妨设 a<b, 则直线 AB 的方程为 y-a = 即 y=(a+b)x-ab. 则直线 AB 与抛物线围成图形的面积为 S=?b[(a+b)x-ab-x ]dx=(
2 2 2 2 2

b2-a2 (x-a), b-a

a+b
2

?a

x2-abx-

x3

1 b 3 )|a= (b-a) , 3 6 1 4 3 ∴ (b-a) = , 6 3 解得 b-a=2.设线段 AB 的中点坐标为 P(x,y),

4

?x=a+b, ? 2 其中? a +b ?y= 2 . ?
2 2

将 b-a=2 代入得?

? ?x=a+1, ?y=a +2a+2. ?
2

消去 a 得 y=x +1. ∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y=x +1. 能力拓展提升 11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3=?34xdx,则公比 q 的值为
2

2

?0

(

) A.1 1 C.1 或- 2 [答案] C 6 6 2 3 2 [解析] 因为 S3=?34xdx=2x |0=18,所以 + 2+6=18,化简得 2q -q-1=0,解得 1 B.- 2 1 D.-1 或- 2

?0

q q

q=1 或 q=- ,故选 C.
12.(2012·太原模拟)已知(xlnx)′=lnx+1,则?elnxdx=(

1 2

?1

)

A.1 B.e C.e-1 [答案] A

D.e+1

[解析] 由(xlnx)′=lnx+1, 联想到(xlnx-x)′=(lnx+1)-1=lnx, 于是?elnxdx

?1

=(xlnx-x)|1=(elne-e)-(1×ln1-1)=1. 13.抛物线 y =2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解析]
? ?y =2x, 由方程组? ? ?y=4-x,
2 2

e

解得两交点 A(2,2)、B(8,-4),选 y 作为积分变量 x

= 、x=4-y, 2

y2

5

∴S=?2 [(4-y)- ]dy=(4y- - )|-4=18. 2 2 6 ?
-4

y2

y2 y3

2

14.

已知函数 f(x)=e -1,直线 l1:x=1,l2:y=e -1(t 为常数,且 0≤t≤1).直线 l1,

x

t

l2 与函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示,其面积用 S2 表示.直线 l2,y 轴与
函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示,其面积用 S1 表示.当 t 变化时,阴影 部分的面积的最小值为________. [答案] ( e-1)
2

[解析] 由题意得 S1+S2=?t(e -1-e +1)dx+?1(e -1-e +1)dx=?t(e -e )dx+

t

x

x

t

t

x

?0

?t

?0

x t t x t x t 1 t t 1 ? (e - e )dx =(xe - e )| 0 +(e - xe )| t =(2t -3)e + e +1,令 g(t)=(2t -3)e + e + ?t

1 t t t 1(0≤t≤1),则 g′(t)=2e +(2t-3)e =(2t-1)e ,令 g′(t)=0,得 t= ,∴当 t∈[0, 2

6

1 1 )时,g′(t)<0,g(t)是减函数,当 t∈( ,1]时,g′(t)>0,g(t)是增函数,因此 g(t) 2 2 1 1 2 2 的最小值为 g( )=e+1-2e =( e-1) .故阴影部分的面积的最小值为( e-1) . 2 2 15.求下列定积分. (1)?1-1|x|dx; (2)?π cos dx; 2 ? ?
0 2

x

(3)∫2

e+1

1

x-1

dx.

1 2 1 [解析] (1)?1-1|x|dx=2?1xdx=2× x |0=1. 2 ? ?
0

(2)?π cos dx=?π 2 ? ?
0 0

2

x

1+cosx 1 π 1 π π dx= x|0 + sinx|0 = . 2 2 2 2
e+1

(3)∫2

e+1

1

x-1

dx=ln(x-1)|2 =1.
3 2

16. 已知函数 f(x)=-x +ax +bx(a, ∈R)的图象如图所示, b 它与 x 轴在原点处相切, 1 且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,求 a 的值. 12

[解析] f ′(x)=-3x +2ax+b,∵f ′(0)=0,∴b=0, ∴f(x)=-x +ax ,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0). ∴S 阴影=?0[0-(-x +ax )]dx
3 2 3 2

2

?a

1 4 1 3 0 1 4 1 =( x - ax )|a= a = , 4 3 12 12 ∵a<0,∴a=-1.

1.(2011·龙岩质检)已知函数 f(x)=sin x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分

5

7

的几何意义,探求 1 π A. + 6 2 B.π

f(x)dx 的值,结果是(

)

C.1 D.0 [答案] B

[解析]

f(x)dx=

sin xdx+

5

1dx, 由于函数 y=sin x

5

是奇函数,所以

sin xdx=0,而

5

π π 1dx=x| - =π ,故选 B. 2 2

?-x-1 ? -1≤x<0? , ? 2.若函数 f(x)=? π ?cosx ? 0≤x< 2 ? , ?
面积为 a,则 a 的值为( A. 2+π 4 ) B. D. 1 2 3 2

的图象与坐标轴所围成的封闭图形的

C.1 [答案] D

π 1 1 π 3 [解析] 由图可知 a= +? 2 cosxdx= +sinx| 0= . 2 ? 2 2 2

?0

3.对任意非零实数 a、b,若 a?b 的运算原理如图所示,则 2??π sinxdx=________.

?0

8

[答案]

2 2
π

[解析] ∵?π sinxdx=-cosx|0 =2> 2,

?0

2-1 2 ∴ 2??π sinxdx= 2?2= = . 2 2 ?0 4.设函数 f(x)=ax +c(a≠0),若?1f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的值为________.
2

?0

[答案]

3 3
1 0 1 2

[解析] ? f(x)dx=? (ax +c)dx=( +cx)|0= +c,故 +c=ax0+c,即 ax0= , 3 3 3 3 ? ?
0

ax3

1

a

a

2

2

a

1 3 3 2 又 a≠0,所以 x0= ,又 0≤x0≤1,所以 x0= .故填 . 3 3 3 5.设 n=?2(3x -2)dx,则(x-
2

2

?1

x

) 展开式中含 x 项的系数是________.

n

2

[答案] 40 [解析] ∵(x -2x)′=3x -2, ∴n=?2(3x -2)dx=(x -2x)|1
2 3 2 3 2

?1

=(2 -2×2)-(1-2)=5. ∴(x- 2

3

x

) 的通项公式为 Tr+1=C5x

5

r 5-r

(-

2

x

)

r

9

=(-2) C5x
2

r r

3r 5- 2

3r ,令 5- =2,得 r=2, 2
2 2

∴x 项的系数是(-2) C5=40.

10


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