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重要不等式应用汇总9奥赛必备0

时间:2013-09-05

重要不等式应用汇总 数学竞赛常用
1. 排序不等式: 设 a1 ? a 2 ? ... ? a n , b1 ? b2 ? ... ? bn 2. 均值不等式:当 a i ? R ? ( i
n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

j1 , j 2 ,..., j n 是 1,2,..., n 的一个排列,则 a1bn ? a 2 bn?1 ? ... ? a n b1 ? a1b j1 ? a 2 b j2 ? ... ? a n b jn ? a1b1 ? a2 b2 ? ... ? an bn .

? 1,2,? n )时,有:

? n a1 a 2 ? a n ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n

a1 ? a 2 ? ? ? a n n
2 2

2

3. 柯西不等式:设 ai , bi ? R(i ? 1,2,...n) 则 (

? a )(? b
i ?1 2 i i ?1

n

n

2 i

) ? (? ai bi ) 2 .
i ?1

n

等号成立当且仅当存在 ? ? R ,使得 bi ? ?ai (i ? 1,2,..., n) . 从历史角度看,柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形: (1)设 ai ? R, bi ? R 则
?

?b
i ?1

n

a

2 i i

?

(? a i ) 2 (? bi )
i ?1 i ?1 n

n

.

(2)设 a i , bi 同号,且 ai , bi ? 0, 则 ? ai ? i ?1 bi

n

(? a i ) 2 (? ai bi )
i ?1 i ?1 n

n

.

4. 琴生( Jensen)不等式:若 f (x) 是 (a, b) 上的凸函数,则对任意 x1 , x2 ,..., xn ? (a, b)

x1 ? x2 ? ... ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( xn )]. n n 5.幂均值不等式: f(
设 ? ? ? ? 0(ai ? R ) 则 M ? ? (
?
? ? ? ? ? a1 ? a 2 ? ... ? a n ? a ? ? a 2 ? ... ? a n ? ) ?( 1 ) ? M?. n n
1 1

6. 切比雪夫不等式: 设两个实数组 a1 ? a 2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 则

1 (a1bn ? a 2 bn ?1 ? ... ? a n b1 ) ? n

? a ?b
i ?1 i

n

n

n

?

i ?1

i

n
n

?

1 (a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ). n
n

(该不等式的证明只用排序不等式及 7.一个基础不等式:

? ai ? ? bi 的表达式就可得证)
i ?1 i ?1

x ? y 1?? ? ?x ? (1 ? ? ) y 其中 x, y ? 0, ? ? [0,1] ,若 x, y 中有一个为零,则结论成立

8.赫尔德( Holder )不等式:设 a k , bk ? 0(k ? 1,2,...n).

p, q ? 1 且 1 ? 1 ? 1 ,则
p q

?a b
k ?1 k

n

k

? (? a ) ? (? b ) (等号成立当且仅当 a kp ? tbkq )
k ?1 p k k ?1 q k

n

1 p

n

1 q

*9.与对数函数有关的一个不等式:

x ? ln(1 ? x) ? x , x ? 0. (该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性) 1? x
*10.三角函数有关的不等式: sin x ? x ? tan x x ? (0, *11.绝对值不等式: 设 a, b, a1 , a 2 , ? a n *12.舒尔( Schur )不等式: 设 x, y, z ? R ,则 x( x ? y)( x ? z ) ? y( y ? x)( y ? z) ? z ( z ? x)( z ? y) ? 0 *13. 闵可夫斯基( Minkowski 不等式: ) 如果 x1 , x2 ,......, xn 与 y1 , y 2 ,......, y n 都是非负实数 p ? 1 , 那么 (? ( xi ? y i ) p ) p ? (? xip ) p ? (? y ip ) p
i ?1 i ?1 i ?1 n 1 n 1 n 1

?

2

)

? C ,则有:│|a|-|b|│≤│a+b│≤│a│+│b│; │ a1 ? a 2 ? ? ? a n │≤ a1 ? a 2 ? ? ? a n
?

14. 贝努利不等式 (1)设 xi ? ?1, i ? 1,2,? n, n ? 2 且同号,则

? (1 ? x ) ? 1 ? ? x
i i ?1 i ?1

n

n

i

(2)设 x ? ?1 ,则(ⅰ)当 0 ? ? ? 1 时,有 (1 ? x) ? 1 ? ?x ; (ⅱ)当 ? ? 1或 ? ? 0 时,有 (1 ? x)? ? 1 ? ?x ,上两式当且仅当 x ? 0 时等号成立。 不等式(1)的一个重要特例是 (1 ? x) n ? 1 ? nx( x ? ?1, x ? 0, n ? N , n ? 2) 15.艾尔多斯—莫迪尔不等式 设 P 为△ABC 内部或边界上一点,P 到三边距离分别为 PD,PE,PF,则

?

PA ? PB ? PC ? 2( PD ? PE ? PF ) 当且仅当△ABC 为正三角形,且 P 为三角形中心
时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式 16. 外森比克不等式: 已知三角形的边长为 a,b,c,其面积为 S,求证 a ? b ? c ? 4 3S ,当且仅当 a=b=c
2 2 2

时取等号

其他不等式综合问题 例 1: (第 26 届美国奥数题)设 a、b、c∈R+, 求证:

1 1 1 1 ? 3 3 ? 3 3 ? 3 a ? b ? abc b ? c ? abc c ? a ? abc abc
3

推广 1:设 a、b、c、d∈R+,求证: ?

1 1 ? 3 a ? b ? c ? abcd abcd
3 3

推广 2:设 ai∈R+(i=1、2、3,…,n),求证: ?
2

n

1
i?k n ? ai ? ? ai i ?1
2

i ?1

n

?

1 ? ai
i ?1 n

例 2:设 x、y、z∈R+,求证:

x y z2 ? 2 ? 2 ? 1. y 2 ? z 2 ? yz z ? x 2 ? zx x ? y 2 ? xy
n

推广 1:设 ai∈R+,(I=1,2,3,…,n)求证: ? 推广 2:设 xyz∈R+,求证:
y
n ?1

a in
k ?i n ? ak ? ? ak k ?i

i ?1

? 1.

x n ?1 y n ?1 z n ?1 3 ? n ?1 n ? n ?1 n ? n ?1 2 n ?1 n ?1 2 n ?1 ? y z ? y z ? ??? ? z z ? z x ? z x ? ? ? ?x x ? x y ? x n ?1 y 2 ? ? ? ? ? y n ?1 n ? 2
n

例 3:设 x、y∈(0,1) ,求证:

1 1 2 。 (9) ? ? 1 ? x 2 1 ? y 2 1 ? xy
1 n ? n n i ?1 1 ? x i 1 ? ? xi
n i ?1

推广 1:xi∈(0,1)(i=1、2、3,…,n),求证: ?

推广 2:xi∈(0,1),(i=1、2、3,…,n),求证: ?

n 1 1 ?? . 2 i ?1 1 ? x i ?1 1 ? x i x i ?1 i n

推广 3:xi∈(1,+∞),(i=1、2、3,…,n),求证: ? 例 4.已知 a,b,c,m 为正数.求证:

n 1 1 ?? . (xn+1=x1) 2 i ?1 1 ? x i ?1 1 ? x i x i ?1 i n

a b c a?m b?m c?m . ? ? ? ? ? b c a b?m c?m a?m

2 2 2 例 5. 设正数 x,y,z,a,b,c 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数 f(x,y,z)= x ? y ? z 的最

1? x

1? y

1? z

小值. 例 6.设 n 是给定的正整数,且 n≥3,对于 n 个实数 x1,x2,…,xn,记|xi-xj|(1≤i<j≤n)的最小 值为 m.若 x12+x22+…+xn2=1,试求 m 的最大值 例 7.设 n 是一个固定的整数,n≥2 (Ⅰ)确定最小的常数 c 使得不等式

1? i ? j ? n

?x x
i

j

2 2 ( x i ? x j ) ? c(? x i ) 4 对所有的非负实数 x1,x2,…,xn 都成立;(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的 i ?1

n

常数 c,确定等号成立的充要条件。 例 8. (2007 年 CMO 试题 5)设有界数列 {a n }( n ? 1) 满足 a n ? 求证: a n ?
2 n ? 2006

?
k ?n

ak 1 ? , n ? 1,2,3? k ? 1 2n ? 2007

1 , n ? 1,2,3,? n