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2015-2016学年高中数学 1.1.2 余弦定理课时训练 新人教A版必修5

时间:2016-01-22


课时训练 2
一、利用余弦定理解三角形 1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则 b 等于( A.1 答案:C 解析:b =a +c -2accos B=1+4-2×1×2×=3,故 b=. 2.在△ABC 中,c -a -b =ab,则角 C 为( A.60° C.150° 答案:C 解析:∵cos C==-,∴C=150°. B.45°或 135° D.30°
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余弦定理

) D.3

B.

C.

)

3.在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等 于

.

答案:120° 解析:由正弦定理可得 a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设 a=3,b=5,c=7,则 c 边最大,∴角 C 最大.

∴cos C==-. ∵0°<C<180°,∴C=120°.
4.(2015 河南郑州高二期末,15)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin A=sin

C,B=30°,b=2,则边 c=
答案:2

.

解析:∵在△ABC 中,sin A=sin C,∴a=c. 又 B=30°,由余弦定理,得 cos B=cos 30°=,解得 c=2. 二、判断三角形形状 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b+c=2ccos ,则△ABC 是( A.直角三角形 C.钝角三角形 答案:A 解析:∵b+c=2ccos ,且 2cos =1+cos A,
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)

B.锐角三角形 D.等腰三角形

∴b+c=c(1+cos A),即 b=ccos A.
由余弦定理得 b=c·, 化简得 a +b =c ,
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∴△ABC 是直角三角形.
6.在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是( A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定
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)

1

答案:A 解析:由 sin A+sin B<sin C,得 a +b <c , 所以 cos C=<0, 所以∠C 为钝角, 即△ABC 为钝角三角形. 7.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a=2bcos C,试判断△ABC 的形状. 解法一:∵cos C=,代入 a=2bcos C, 得 a=2b·,
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∴a2=a2+b2-c2,即 b2-c2=0. ∴b=c.∴△ABC 为等腰三角形.
解法二:根据正弦定理=2R, 得 a=2Rsin A,b=2Rsin B, 代入已知条件得 2Rsin A=4Rsin Bcos C, 即 sin A=2sin Bcos C,

∵A=π -(B+C),∴sin A=sin(B+C). ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0.∴sin(B-C)=0.
又-π <B-C<π ,∴B-C=0,即 B=C.

∴△ABC 是等腰三角形.
三、正弦定理、余弦定理的综合应用 8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c=a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为( A.答案:A 解析:∵2sin B=3sin C,∴2b=3c. 又 b-c=,∴a=2c,b=c. B. C. D.)

∴cos A==-.
9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a -b =bc,sin C=2sin B,则 A= 答案: 解析:∵sin C=2sin B,
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.

∴由正弦定理得 c=2b. ∵a2-b2=bc, ∴cos A= =, ∴A=.
10.(2015 山东威海高二期中,17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 4acos B-bcos

C=ccos B.
(1)求 cos B 的值; (2)若 ac=12,b=3,求 a,c.

2

解:(1)已知等式 4acos B-bcos C=ccos B,利用正弦定理,得 4sin Acos B-sin Bcos C=sin Ccos B, 整理,得 4sin Acos B=sin(B+C), 即 4sin Acos B=sin A,

∵sin A≠0,∴cos B=.
(2)∵ac=12,b=3,cos B=,

∴由 b2=a2+c2-2accos B,
得 a +c =24, 联立 a +c =24 与 ac=12,解得 a=c=2. (建议用时:30 分钟) 1.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cos C= ,则 sin B=( A. 答案:B 解析:由已知根据余弦定理得 c =a +b -2abcos C=4,
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)

B.

C.

D.

∴c=2,即 B=C, ∴sin B=.
2.(2015 河北邯郸三校联考,3)在△ABC 中,如果 sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么 cos C 等于 ( A. 答案:D 解析:由正弦定理可得 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4, 可设 a=2k,b=3k,c=4k(k>0), 由余弦定理可得 cos C==-,故选 D. 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 C=120°,c=a,则( A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 答案:A 解析:由余弦定理 c =a +b -2abcos C 得 2a =a +b +ab,∴a -b =ab>0,∴a >b ,∴a>b. 4.△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,AC=6,则的值为( A.19 答案:A 解析:cos B=, B.14 C.-18 ) D.-19
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) B.C.D.-

)

∴=||||cos B=7×5×=19.
5.在不等边三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 a 为最大边,如果 sin (B+C)<sin B+sin C,则角 A 的取值范围为(
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)

3

A. C. 答案:D
2

B. D.
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解析:由题意得 sin A<sin B+sin C, 再由正弦定理得 a <b +c ,即 b +c -a >0, 则 cos A=>0,
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∵0<A<π ,∴0<A<.
又 a 为最大边,∴A>. 因此得角 A 的取值范围是. 6.已知在△ABC 中,2B=A+C,b =ac,则△ABC 的形状为 答案:等边三角形 解析:∵2B=A+C,又 A+B+C=180°,∴B=60°. 又 b =ac,由余弦定理可得 b =a +c -2accos B=a +c -2accos 60°=a +c -ac,
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.

∴有 a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0, ∴a=c,故△ABC 为等边三角形.
7.(2015 北京高考,12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则= 答案:1 解析:在△ABC 中,由正弦定理知,=2cos A·=2cos A×cos A, 再根据余弦定理,得 cos A=, 所以=1. 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+accos B+abcos C 的值 为 答案: 解析:由余弦定理得 bccos A+accos B+abcos C=. 9.在△ABC 中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2cos Asin B=sin C,试判定△ABC 的形状. 解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 得(a+b) -c =3ab, 即 a +b -c =ab.
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.

.

∴cos C=. ∵0°<C<180°,∴C=60°. ∵A+B+C=180°, ∴sin C=sin(A+B).
又∵2cos Asin B=sin C,

∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin(A-B)=0. ∵A,B 均为△ABC 的内角,∴A=B.
因此△ABC 为等边三角形. 10.在△ABC 中,C=2A,a+c=10,cos A=,求 b.

4

解:由正弦定理得=2cos A,

∴.
又 a+c=10,∴a=4,c=6. 由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 得,
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∴b=4 或 b=5.
当 b=4 时,∵a=4,∴A=B. 又 C=2A,且 A+B+C=π ,

∴A=,与已知 cos A=矛盾,
不合题意,舍去. 当 b=5 时,满足题意,∴b=5.

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