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第六章 求总量的问题——定积分 1 定积分的起源 积分思想出现在求面积、体积等问题 中,在中国、古希腊、古巴比伦、古埃 及的早期数学文献中都有涉及这类问题 的思想和方法. 2 中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》(公元 263年)中,对于计算圆面积提出了著名的“割圆 术”,他解释说:“割之弥细,所失弥少.割之又 割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.” 3 如:古希腊的阿基米德(公元前 287―前212)用边数越来越多的正多边 形去逼近圆的面积,称为“穷竭法”. 他运用穷竭法还解决了大量的几何图形 的面积、体积、弧长等计算问题。 4 16世纪以后,欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方 法求面积、体积等问题,并不断加以改进.天文学 家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型.他注意 到,酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确,他努 力探求计算体积的正确方法,写成《测量酒桶体积 的新科学》一书,他的方法的精华就是用无穷多小 元素之和来计算曲边形的面积或体积. 5 第一节 特殊和式的极限—定积分的概念 主要内容: 一、定积分概念的两个现实原型 二、定积分的概念 三、可积条件 四、定积分的性质 6 一、抽象定积分概念的两个现实原型 原型Ⅰ (求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线y ? f ( x)( f ( x) ? 0), x轴与两直线x ? a,x ? b所围成. y y ? f (x) A?? oa bx 7 曲边梯形的面积的解决思路: “分割--近似--求和--取极限” 第一步 分割; 将曲边梯形的底,即[a ,b]进行分割(用垂 直于x轴的直线).记?xi ? xi ? xi?1 . y y ? f (x) o a x1 x2 b xi?1 xi xn?1 x 8 第二步 近似; 取出典型小区域,用矩形面积近似曲边梯形 面积. y y ? f ( x) 典型小区域面积 ?Si 高 f (?i ) ?i o a x1 x2 b xi?1底xi xn?1 x ?xi ?Si ? f (?i )?xi . 用矩形面积近似 小曲边梯形面积 9 第三步 求和; 将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似, 并将所有的小矩形面积加起来. n n ? ? ?Si ? f (?i )?xi . i ?1 i ?1 矩形面积和 y y ? f (x) 与曲边梯形 面积不相等 o a?1x1?2 x2 b x x x i?1 ?i i ?nn?1?1 ?n 有误差 x 10 第四步 取极限. 当对曲边梯形底的分割越来越细时,矩形面积之 和越近似于曲边梯形面积. y y ? f (x) o a bx ?xi ? 0, i ? 1, 2, , n ? max{?xi } ? 0 ? 11 曲边梯形面积的近似值为: n n ? ? A ? ?Si ? f (?i )?xi i ?1 i ?1 ? f (?1)?x1 ? f (?2 )?x2 ? f (?3 )?x3 ? ? f (?n )?xn , 当分割无限加细,即小区间的最大长度 ? ? max{?x1, ?x2 , 曲边梯形面积为 n ? A ? lim ? ?0 i ?1 f (?i )?xi , ?xn }趋近于零 (? ? 0) 时, ? lim[ ? ?0 f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ? f (?3 )?x3 ? ? f (?n )?xn ] . 12 原型Ⅱ (求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v ? v(t ) 是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 , 且 v(t) ? 0,求物体在这段时间内所经过的路程. 思路: 因为速度 v( t )连续,所以在充分短的时间间隔 里可以“以匀速代变速”。如果物体作匀速运 动那么 路程=速度×时间。 分割 近似 求和 取极限 13 (1)分割 T1 ? t0 ? t1 ? t2 ? ? ? tn?1 ? tn ? T2 (2)近似 ?si ? v(?i )?ti ?ti ? ti ? ti?1 部分路程值 某时刻的速度 (3)求和 n ? s ? v(?i )?ti i ?1 (4)取极限 ? ? max{?t1, ?t2 , , ?tn } ? 0 n ? 路程的精确值 s ? lim ??0 i ?1 v(?i )?ti 14 二、 定积分的定义 定义 设f ( x)是定义在区间[a, b]上的有界函数,用点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ... ? xn?1 ? xn ? b将区间[a, b]任意 分割成n个子区间[ xi?1, xi ](i ? 1, 2, ...),这些子区间及 其长度均记作?xi ? xi ? xi?1(i ? 1, 2, ..., n).在每一子 区间?xi上任取一点?i ,作n个乘积f (?i )?xi的和式 n 以直代曲 ? f (?i )?xi . 求和 i ?1 15 如果当最大子区间的长度? ? max{?xi } ? 0 取 ?n 时,和式 f (?i )?xi的极限存在,则该极限值 极 限 i ?1 称为函数f ( x)区间在[a, b]上的定积分,记作 : 积分上限 ? ? 即 bff((xx))dx ? lim n a ? ?0 i?1 f (?i )?xi 积分和 积分下限 被 积 函 数 被积 积分 表变 达 式 量 [a, b] 为积分区间 16 注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与 积分变量的字母无关. ? ? ? b f (x)dx ? b f (t)dt ? b f (

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