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高中数学人教A版选修2-1课件:3.1.2 空间向量的数乘运算_图文

时间:2017-10-21

3.1.2 空间向量的数乘运算

-1-

1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律,了解共线(平行)向 量的意义. 2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,会证明空间三点 共线与四点共面问题.

1.向量共线的充要条件及其应用 剖析:(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们 说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条 直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,a∥a;也具有对称性,即若a∥b,则 b∥a. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明 a(或b)上有一点不在b(或a)上. (4)用上述结论证明(或判断)三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实 数 λ,使 = (或 = )即可;也可用“对空间任意一点 O,有 = + (1 ? )”来证明三点共线.

2.向量共面的充要条件及其应用 剖析:(1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是:存在有序 实数对(x,y),使 = + . 满足这个关系式的点P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式.这个充要 条件常用来证明四点共面. (2)共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据,也可 用来把已知共面条件转化为向量式,以便应用向量这一工具.另外,在 许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z),使得对于空间任意一 点 O,都有 = + + , 且x+y+z=1 成立,则 P,A,B,C 四 点共面”作为判定空间中四点共面的依据.

题型一

题型二

题型三

题型四

空间向量的数乘运算 【例1】 已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外的一点,P在平 面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点,求 下列各式中x,y的值:

(1) = + + ; (2) = + + .
分析:画出图形,根据向量的加减和数乘运算解题.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)如图所示, = + ,

1 由向量加法的平行四边形法则可得 = ( + ), 2 1 1 故 = ? ? , 2 2 1 1 ∴ = + = ? ? . 2 2
∴x=? 2 , = ? 2.
(2)∵ = + = + 2 = + 2( ? ) = + 2 ? 2. ∴x=2,y=-2.
反思对于这类题目,应结合图形,充分利用向量平移来处理向量的 加减运算和数乘运算.
1 1

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 若 A 是△BCD 所在平面外一点,点 G 是△BCD 的重心,求证: = ( + + ).
1 3

证明:如图,连接 BG,延长后交 CD 于点 E,由 G 为△BCD 的重心,知 = . 由题意知 E 为 CD 的中点,则
2 3

1 1 = + , 2 2

2 = + = + 3 1 = + ( + ) 3 1 = + ( ? + ? ) 3 1 = ( + + ). 3

题型一

题型二

题型三

题型四

向量共线与三点共线问题
【例 2】 如图所示,已知四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不 共面,M,N 分别是 AC,BF 的中点,判断 与是否共线.

分析:要判断 与是否共线,就是看是否存在实数 x,使 = .

题型一

题型二

题型三

题型四

解:∵M,N 分别是 AC,BF 的中点,且四边形 ABCD,ABEF 都是平行四 边形,

1 1 ∴ = + + = + + . 2 2
又 = + + + =? + ? ? ,
1 2 1 2 1 + 2

∴2 = 2 +
即 = 2. ∴ 与共线.

1

? + ? ? = ,

1 2

1 2

反思判断两个向量a,b是否共线,就是寻求是否存在一个非零实数x, 使a=xb.要充分运用空间向量的运算法则,结合图形得出a=xb,从而 a∥b.而证明空间三点共线可转化为证明空间两个向量共线.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 已知四边形 ABCD 是空间四边形,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 上的点,且 = , = . 求证: 四边形是梯形.
2 3 2 3

证明:∵E,H 分别是 AB,AD 的中点,

1 1 ∴ = , = , 2 2 1 1 1 = ? = ? = ( ? ) 2 2 2 1 1 1 3 3 = = ( ? ) = - 2 2 2 2 2 3 3 = ( ? ) = , 4 4 3 ∴ ∥ , 且|| = | | ≠ | |. 4
∴四边形 EFGH 是梯形.

题型一

题型二

题型三

题型四

三个向量共面与四点共面问题 【例3】 如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是四边形 ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为 △PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.

(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面; (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证 明你的判断.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)证明:如图,分别延长PE,PF,PG,PH交对边于点M,N,Q,R.

因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R为所在边的 中点,顺次连接M,N,Q,R得到的四边形MNQR为平行四边形,且有

2 2 = , = , 3 3 2 2 = , = . 3 3

题型一

题型二

题型三

题型四

因为四边形 MNQR 是平行四边形,所以 = + = ( ? ) + ( ? )

3 3 = ( ? ) + ( ? ) 2 2 3 = ( + ). 2
3 2 3 2 3 2

又因为 = ? = ? = , 所以 = ( + ), 即 = + , 由共面向量定理知,E,F,G,H 四点共面.

3 2

3 2

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)平行.证明:由(1)得 =

3 , 2

故 ∥ . 又因为 MQ?平面 ABCD,EG?平面 ABCD, 所以 EG∥平面 ABCD. 因为 = ? = ? = , 所以 MN∥EF. 又因为 MN?平面 ABCD,EF?平面 ABCD, 所以 EF∥平面 ABCD. 因为 EG 与 EF 交于点 E, 所以平面 EFGH∥平面 ABCD.
3 2 3 2 3 2

题型一

题型二

题型三

题型四

反思(1)空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面. (2)用共线向量定理证明线线平行,从而证明面面平行,可使问题 简单化. (3)要学会用向量的知识来解决立体几何问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 如图所示,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在 的平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且 BM= ,

1 = . 求证: 向量, , 共面. 3
证明:因为点 M 在 BD 上,且 BM= , 所以 = = + . 同理 = 所以 = + +
1 3 1 3 1 3 1 + . 3 1 3 1 3

1 3

1 1 1 1 = + + + + 3 3 3 3 2 1 2 1 = + = + . 3 3 3 3

又与 不共线,根据向量共面的充要条件可知, , 共面.

题型一

题型二

题型三

题型四

易错辨析 易错点 混淆了平面与空间致错

【例 4】 已知非零向量 e1,e2 不共线,如果 =e1+e2, = 2e1+8e2, = 3e1-3e2,那么下列结论正确的是 ( ) A.A,B,C,D 四点共线 B.A,B,C,D 四点共面 C.A,B,C,D 四点不共面 D.无法确定 错解: ∵ =e1+e2, + = 5e1+5e2=5, ∴A,B,C,D 四点共线.故选 A.

题型一

题型二

题型三

题型四

错因分析:混淆了平面向量基本定理和空间向量基本定理. 由 = ( + ) = + , 知与 和 共面. 正解:B 解析:由错解知 =
1 5 1 + , 则, , 共面. 5 1 5 1 5 1 5

从而 A,B,C,D 四点共面.

反思在平面向量中,若a=λb(b≠0),则a与b共线;在空间向量中,若 a=λb+μc(b与c不共线),则a,b,c共面.


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