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数列通项公式的完整求法_还有例题详解[1]

时间:2015-08-31

一. 观察法 例 1:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,…(2) 1

1 4 9 16 , 2 , 3 , 4 , ? (3) 1, 2 5 10 17

2 , 3

1 , 2

2 , ? (4) 5

1 2 , ? , 2 3

3 4 , ? ,? 4 5

解: (1)变形为:101-1,102―1,103―1,104―1,…… ∴通项公式为: an

? 10n ? 1

n2 ; (2) a n ? n ? 2 n ?1
(3 ) a n

?

2 ; n ?1 ? (?1) n ?1 ? n .点评:关键是找出各项与项数 n 的关系。 n ?1

(4) a n

二、公式法:当已知条件中有 a n 和 s n 的递推关系时,往往利用公式:
an =?

? ? s1 (n ? 1) 来求数列的通项公式。 * ? ? sn ? sn ?1 (n ? 2, n ? N )

例 1: 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数列,若函 数 f (x) = (x-1)2,且 a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公 式; 解:(1)∵a 1=f (d-1) = (d-2)2,a 3 = f (d+1)= d 2,∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d, ∴d=2,∴an=a1+(n-1)d = 2(n-1);又 b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q-1)=(q-2)2, ∴

b3 ( q ? 2) 2 2 - - =q ,由 q∈R,且 q≠1,得 q=-2,∴bn=b·qn 1=4·(-2)n 1 ? 2 b1 q
等差数列

例 2. ( ) (A)

?an ? 是递减数列,且 a2 ? a3 ? a4 =48, a2 ? a3 ? a4 =12,则数列的通项公式是
(B)

an ? 2n ? 12

a n ? 2n ? 4

(C)

an ? ?2n ? 12

(D)

an ? ?2n ? 10

解析:设等差数列的公差位 d,由已知 ?

?(a3 ? d ) ? a3 ? (a3 ? d ) ? 48 , ? 3a3 ? 12


解 得

? a3 ? 4 ? ?d ? ?2

, 又

?an ?

是 递 减 数 列 ,

d ? ?2



a1 ? 8

, ∴

an ? 8 ? (n ? 1)(?2) ? ? 2n ? 10 ,故选(D)。
例 3. 已知等比数列

?an ? 的 首 项 a1 ? 1 , 公 比 0 ? q ? 1 , 设 数 列 ?bn ? 的 通 项 为

bn ? an?1 ? an?2 ,求数列

?bn ? 的通项公式。
1

解析:由题意, bn?1

? an?2 ? an?3 ,又 ?an ? 是等比数列,公比为 q



bn?1 an?2 ? an?3 ? ? q ,故数列 ?bn ? 是等比数列, b1 ? a2 ? a3 ? a1q ? a1 q 2 ? q(q ?1) ,∴ bn an?1 ? an?2

bn ? q(q ?1) ? q n?1 ? q n (q ?1)
点评:当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公 差公比。

例 4: 已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项 公式? 【解析】 :? Sn ? 1 ? an ,? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 ,? an ?1 ?

1 1 an ,又 a1 ? , 2 2

?1? ? an ? ? ? . ?2?
反思:利用相关数列 ?a n ? 与 ?Sn ? 的关系: a1 ? S1 , an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 与提设条件, 建立递推关系,是本题求解的关键. 跟踪训练 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ,满足关系 lg
? Sn ?1?

n

? n (n ? 1, 2 ???) .试证数列

?an ? 是等比数列.
例 5:已知数列

?an ?前 n 项的和为 s

n



3 2

a n -3,求这个数列的通项公式。

分析:用 a n 替换 s n -s n?1 (n ? 2)得到数列项与项的递推关系来求。 解:? a 1 =

?


? ? 数列 ?a ?是以 a =6,公比 q 为 3 的等比数列. ? a =a q =6 ? 3 =2 ? 3 。
n
1
n ?1 n ?1 n

3 a 1 -3, a 1 =6 2 3 ? (n ? N ) ① ? s n = a n -3 2 3 ? s n?1 = a n?1 -3 (n ? 2 且 n ? N ) ② 2 3 3 - ②得:a n = a n - a n?1 2 2 an 1 3 ? a n = a n?1 ,即 =3(n ? 2 且 n ? N ) 2 2 a n ?1

?

n

1

例 6:已知正项数列

?an ?中,s

n



1 2

(a n +

1 an

) ,求数列

?an ? 的通项公式.
2

分析:用 s n -s n?1 (n ? 2)替换 a n 得到数列 s n 与 sn ?1 的递推关系来求较易。 解? s n =

1 2

(a n +

1 an

) ,

?a

1=
?

1 2

( a1 +

1 a1

)

?a

1 =1

又 a n = s n -s n?1 (n ? 2 且 n ? N )

?s ? ?

? s -s =1 (n ? 2 且 n? N ) ? 数列 ?sn2 ?是以 a =1 为首项,公差为 1 的等差数列。 ? s =1+(n-1) ? 1=n,即 s = n ,
2 2

1 ) s n ? s n ?1 1 2s n =s n -s n?1 + s n ? s n ?1 1 s n +s n?1 = s n ? s n ?1
n



1 2

(s n -s n?1 +

n

n ?1

?

2 1

2

n

n

当 n ? 2 时,s n -s n?1 =a n = 将 n=1 代入上式得 a n =

n - n ?1

n - n ?1 练习:数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 an =5 Sn -3( n ? N * ),求 an

三.累加法:求形如 an ?1 = an +f(n)的递推数列的通项公式的基本方法。 (其中 f(n)能求前 n 项和即可) 利用 an ? a1 ? ( a2 ? a1) ? ? ? ( ?a n ?a n ? 1 )求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如

an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法( f (n) 可求前 n 项和).
例 1.已知数列 {an } 中, a1 分析:由已知 an

? an?1 ? 2n ?1 ,得 an ? an?1 ? 2n ?1 ,注意到数列 ?an ? 的递推公式的形式与等 ? 29, an ? an?1 ? 2n ?1,(n ? 2, n ? N*) ,可得:

? 29, an ? an?1 ? 2n ?1,(n ? 2, n ? N*) ,求这个数列的通项公式。

差数列的递推公式类似,因而,可累加法求数列的通项。 解:数列 {an } 中, a1

a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1 a3 ? a2 ? 2 ? 3 ? 1 a4 ? a3 ? 2 ? 4 ? 1 ... ... an ? an ?1 ? 2n ? 1( n ? 2, n ? N *)
以上各式相加,

an ? a1 ? (2 ? 2-1 )+(2 ? 3-1)+...+2n-1 ? an ? a1 ? 2 ? (2 ? 3 ? 4 ? ...) ? (n ? 1) 整理得an ? n 2 ? 28 ? n ? 2且n ? N * ?
将 n=1 代入上式得 an

? n2 ? 28
3

练习:已知数列 {an } 中, a1

? 3, an+1 ? an ? 2n ,(n ? N*) ,求 an

例 2:已知数列 6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。 解 易 知 a n ? a n ?1 ? 2n ? 1, ∵ a 2 ? a1 ? 3,

a 3 ? a 2 ? 5,

a 4 ? a 3 ? 7,

……

a n ? a n ?1 ? 2n ? 1,
各式相加得 a n ? a1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1) 点评:一般地,对于型如 an?1 进行求和,则宜采用此方法求解。 例 3. 若在数列 ∴ a n ? n 2 ? 5 (n ? N )

? an ? f (n) 类的通项公式,只要 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 能

?an ?中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求通项 an 。

解析: 由 an?1

? an ? n 得 an?1 ? an ? n ,所以 an ? an?1 ? n ? 1,an?1 ? an?2 ? n ? 2 ,…,

a2 ? a1 ? 1 ,
将以上各式相加得: an

? a1 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? 1 ,又 a1 ? 3 所以 an =
?1? ?2?
n

n(n ? 1) ?3 2

例 4 已知无穷数列 ?a n ? 的的通项公式是 an ? ? ? , 若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , (n ? 1) , 求数列 ?bn ? 的通项公式.

1 ?1? 【解析】 :b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? ? ? (n ? 1) ,? bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? ???(bn ? bn?1 ) =1+ + ?? + 2 ?2?

n

?1? ? ? ?2?

n ?1

?1? =2?? ? ?2?

n ?1

.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? an ? f (n) .

1 ?1? 跟踪训练 3.已知 a1 ? , an ?1 ? an ? ? ? (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 2 ?2?

n

3.累乘法:求形如 an ?1 = g(n) an 的递推数列通项公式的基本方法。 (其中 g(n)可求前 n 项
积即可) 。 利用恒等式 an

? a1

a a2 a3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通项公式的方法称为累乘法,累乘 a1 a2 an?1

法是求型如: an?1 ? g (n)a n 的递推数列通项公式的基本方法(数列 g (n) 可求前 n 项积).

4

例 1.若满足 a1

an?1 n ? (n ? N *), 求这个数列的通项公式。 an n ?1 an?1 n 分析:由 知数列 ?an ? 不是等比数列,但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似,因 ? an n ?1 ? 1,
而,可累加法求数列的通项。

解:

? a1 ? 1,

an?1 n ? (n ? N *), an n ?1

?

a2 1 ? a1 2 a3 2 ? a2 3 ... ... an n ?1 ? ? n ? 2且N * ? an ?1 n

以上各式相乘得:

an 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ... ? a1 2 3 4 n 1 将 n=1 代入上式得 an ? n

? an ?

1 (n ? 2且n ? N* ) n

变式练习:设

2, …) , ?an ? 是首项为 1 的正数组成的数列,且 (n ?1)an2?1 ? nan2 ? an?1an ? 0(n ? 1,
?
. (n+1)· a n ?1 =n· a n ,求 a n 的表达式。

则它的通项公式为 an

例 2:在数列{ a n }中, a1 =1, 解:由(n+1)·a n ?1 =n·a n 得 所以 a n

a n ?1 n a , n ? an n ? 1 a1

=

a 2 a3 a 4 · · a1 a 2 a 3



an 1 2 3 n ? 1 1 ? = ? ? ? n n a n ?1 2 3 4

?

1 n

例 3 已知数列 解 析

?an ?中,a1 ? 1 , 前 n 项和 S n 与 an 的关系是
3
: 首 先 由

S n ? n(2n ? 1)an
易 求 的 递

, 试求通项公式 an 。 推 公 式 :

S n ? n(2n ? 1)an
an 2n ? 3 ? an?1 2n ? 1

(2n ? 1)an ? (2n ? 3)an?1 ,? ?

an?1 2n ? 5 a 1 ? ??? 2 ? 将上面 n—1 个等式相乘得: an?2 2n ? 1 a1 5

a n (2n ? 3)(2n ? 5)(2n ? 7) ?3 ? 1 3 ? ? a1 (2n ? 1)(2n ? 1)(2n ? 3) ?7 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) ? an ? 1 . (2n ? 1(2n ? 1) 点评:一般地,对于型如 a n ?1 = f

(n)· a n 类的通项公式,当

f (1) ? f (2)? ? f (n) 的值可以求得时,
5

宜采用此方法。

例四 已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 【解析】 : ? an ? n(an?1 ? an ) ,? 1× × ×??? ×

an?1 n ? 1 a a a ,又有 an ? a1 2 3 ??? n (an ? 0, n ? 2) = ? an n a1 a2 an?1

2 3 1 2

n = n ,当 n ? 1 时 a1 ? 1 ,满足 an ? n ,? an ? n . n-1

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? g (n)a n . 跟踪训练 4. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) . 则

?a n? 的通项公式是.

4.构造新数列:通过变换递推关系,可将非等差数列或等比数列转化为等差或等比数列而求得通项公式
的方法。 (待定系数法)例题 5:已知数列 式。

?an ? 中满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3(n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公

? Aan ? B( A、B为常数,A ? 0, B ? 1) 可转化为 B an ?1 ? B B A ? 1 ? A 的一个新的等比数列或消常数项转化为 an ?1 ? ? A(an ? ), 即 B A ?1 A ?1 an ? A ?1 an? 2 ? an?1 an? 2 ? an?1 ? A(an?1 ? an ),即 ? A 的一个等比数列。 an?1 ? an 解法 1:数列 ?an ? 中 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 (n ? 1 ) a ?3 ?2 ? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ? n ?1 an ? 3 a ?3 ?是以首项 a1 ? 3 ? ?2 ,公比为 2 的等比数列 ? 数列 ? n ?1 an ? 3
分析:将一阶线性递推关系形如 an?1

an?1 ? 3 ? ?2 ? 2 n?1
解法 2:? 数列

?an ?中 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3

? an ? ?2n+3 ? n ? N * ?
① ②

? an?2 ? 2an?1 ? 3 ②-①得 an? 2-an= ( 2 an?1 ? an) a ? an?1 ?2 ? n?2 an?1 ? an 又 a2 ? 2a1 ? 3 ? ?1

6

?

数列

?an ? an?1? 是以首项 a2 ? a1 ? ?2, 公比为 2 的等比数列
? ?2n +3 n ? N *

(再利用累加法可求数列的通项公式, ? an ? an?1=-2 ? 2n?1,即an ? an?1 ? ?2n , 以下解法略)可求得 an

?

?

(倒数法)例题 6:已知数列 ?an ? 中满足 a1 ? 1 , an ?1 ?
分析: 可将形如一阶分式递推公式 an ?1

an ,求数列的通项 an . 3an ? 1

?

Can ,(A、 B、 C 为满足条件的常数), 等式两边取倒数得: Aan ? B

1 B 1 A 、B’为常数)的方法来求数列的通项。 ? . ? ,又可利用求形如 an?1 ? A ' an ? B ' (A’ an ?1 C an C an 解:? 数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 1 1 1 1 1 ? ? 3 ,即 ? ?3 ? an?1 an an?1 an

?1? 1 ? 是以 ? 1, 公差为 3 的等差数列. a1 ? an ? 1 1 ? ? 1 ? (n ? 1) ? 3,即 ? 3n ? 2 an an 1 (n ? N ? ) ? an ? 3n ? 2 2an 变式练习:知数列 ?an ? 中满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ,求数列的通项. 3an ? 1

?

数列 ?

例题 7:已知数列

,求数列 ?an ? 的通项公式。 ?an ? 中满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n (n ? N?)

? q.an ? d n (q、d为非零常数,q ? 1, d ? 1) 可转化为 an ?1 q an 1 a ? . n ? ,若令 bn ? n ,则转化为形如 an?1 ? A.an ? B( A 的方法来求 、B为常数) n ?1 d d d d dn an ?1 an 1 n 数列的通项。(提示:将 an?1 ? 2an ? 2 (n ? N?) 转化为 n ?1 ? n ? ,解法略。) 2 2 2
分析:形如递推公式 an?1 另外,数列通项求法还有数学归纳猜想法,可以先求出数列的前 n 项,然后观察前 n 项的规律,再 进行归纳、猜想出通项,最后予以证明,例如:数列

?an ? 满足 a =4,an =4-
1

4 (n≥2) ,求 an (理 an ?1

科要求,解略) ;还有对数变换法,例如:形如 an?1 为 lg an?1

? Can p (an ? 0, C ? 0, p ? 0且p ? 1) 可转化

? p lg an ? lg C 问题解决;当然还有特征方程法等等。

六、待定系数法: 例 10:设数列 {cn } 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若 c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求 通项公式 cn 解 : 设

cn ? a ? (n ? 1)d ? bqn ?1

7

?a ? b ? 2 ?q ? 2 ?a ? d ? bq ? 4 ?d ? 1 ? ? ?? ?? ? cn ? n ? 2n ?1 2 a ? 2 d ? bq ? 7 b ? 1 ? ? ?a ? 3d ? bq3 ? 12 ? ?a ? 1 ? b b 例 11. 已知数列 ? , c n ? b ? c n ?1 ? , cn ? 中, c1 ? 1? b 1? b 其中 b 是与 n 无关的常数,且 b ? ?1 。求出用 n 和 b 表示的 an 的关系式。
解析:递推公式一定可表示为

cn ? ? ? b(cn?1 ? ? ) 的形式。由待定系数法知: ? ? b? ?

b 1? b b b b ? b ? 1,? ? ? ,? c n ? ? b(c n ?1 ? ) 2 2 1? b 1? b 1 ? b2

故 数 列

b ? ? ?cn ? ? 1 ? b2 ? ?

是 首 项 为

c1 ?

b b2 ? 1 ? b2 b2 ?1

, 公 比 为

b

的 等 比 数 列 , 故

b b2 b n ?1 n ?1 ? b ? 1 ? b2 b2 ?1 b2 ?1 b n ?1 ? b ? cn ? 2 b ?1 cn ?
点评: 用待定系数法解题时, 常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式, 一般地, 若数列 {an } 为等差数列: 则 an
n ?1 (b、 c为常数) , 若数列 {an } 为等比数列, 则 an ? Aq , ? bn ? c ,sn ? bn2 ? cn

sn ? Aqn ? A ( Aq ? 0, q ? 1) 。
七、辅助数列法 例 12:已知数 {an } 的递推关系为 an ?1 解: ∵ an ?1 数列 ∴ bn

? 2an ? 1,且 a1 ? 1 求通项 an 。 2(an ? 1) 令 bn ? an ? 1 则辅助数列 {bn} 是公比为 2 的等比

? 2an ? 1

∴ an ?1 ? 1 ?

? b1qn ?1 即 an ? 1 ? (a1 ? 1)qn ?1 ? 2n

∴ an

? 2n ? 1
3

例 13:在数列 解析:在 a n ? 2

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n? 2 ? 2 a n?1 ? 1 a n ,求 an 。
3 ?

2 1 1 a n ?1 ? a n 两边减去 a n ?1 ,得 a n ? 2 ? a n ?1 ? ? (a n ?1 ? a n ) 3 3 3 1 ∴ ? an?1 ? an ? 是 以 a 2 ? a1 ? 1 为 首 项 , 以 ? 为 公 比 的 等 3 1 n ?1 ∴ a n ?1 ? a n ? ( ? ) ,由累加法得 3

比 数 列 ,

8

an

=

(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

=

1 (? ) n ?2 ? 3

1 ( ? ) n ?3 ? 3



1 1 ? (? ) n?1 1 3 = 3 [1 ? (? 1 ) n?1 ] ? 1 = 7 ? 3 (? 1 ) n ?1 (? ) ? 1 ? 1 = 1 3 4 3 4 4 3 1? 3
例 14: 已知数列{ an }中 a1

? 1 且 an?1 ?

an (n? N ) ,求数列的通项公式。 an ? 1


解:∵ a n ?1

?

an a ?1 1 1 ∴ ? n ? ?1, an ? 1 an?1 an an
? 1 ? 1 为首项, 1 a1

设 bn

?

1 an

,则 bn?1

? bn ? 1

故{ bn }是以 b1

为公差的等差数列 ∴ bn

? 1 ? (n ? 1) ? n



an ?

1 1 ? bn n
点评:这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

五 构造新数列:
类型 1

an?1 ? an ? f (n) ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
1 ,求 an 。 n ?n
2

解法:把原递推公式转化为 an?1 例 1:已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1 , a n?1 ? a n ?
2

解:由条件知: a n ?1

? an ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分 别 令

n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1)

, 代 入 上 式 得

(n ? 1)

个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
类型 2 所以 a n

? a1 ? 1 ?

1 n

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为

9

例 2:已知数列

?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?
3

n a n ,求 an 。 n ?1

解:由条件知

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1

?

2 2 ,? a n ? 3 3n

例 3:已知 a1

? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

解: a n

?

3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2
3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。

?

变式:(2004,全国 I,)已知数列{an},满足 a1=1, an

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1

(n≥2),则

{an}的通项 a

n

?1 ?? ? ___

n ?1 n?2

解:由已知,得 an?1 当n

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan ,用此式减去已知式,得

? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an ,又 a2 ? a1 ? 1,

? a1 ? 1,
类型 3

a a a2 a n! ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n ,将以上 n 个式子相乘,得 a n ? (n ? 2) 2 a1 a2 a3 an?1

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 为等比数列求解。 例 4:已知数列

? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换元法转化 1? p

?an ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .
? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 .故递推
bn?1 an?1 ? 3 ? ? 2 .所以 ?bn ? bn an ? 3

解:设递推公式 an?1

公式为 an?1

? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

是以 b1

? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .
10

变式:(2006,重庆,文,14) 在数列

?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________
? 2n?1 ? 3 )
(或 an?1

(key: an 类型 4

( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) (其中 p, q 均为常数, 。 an?1 ? pan ? q n

? pan ? rqn ,

其中 p,q, r 均为常数) 。 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q
n ?1

,得:

a n?1 p a n 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ? (其 q n?1 q q n q

中 bn

?

an qn

) ,得: bn ?1

?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q

例 5:已知数列 解:在 a n ?1

?an ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 an 。
6 3 2

1 1 2 ? a n ? ( ) n ?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? a n?1 ? (2 n ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n n 令 bn ? 2 ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 bn 1 n 1 n 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2
类型 5 递推公式为 an? 2 。 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数)

解 ( 特征根法 ) :对于由递推公式

an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ?

给出的数列

?an ? ,方程

x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方程。
若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, 当 x1
n?1 ,其中 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2

A,B 由 a1

? ? , a2 ? ? 决定(即把

n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) ; a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2

当 x1

? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中

A,B 由 a1

? ? , a2 ? ?

决定(即把

a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。
例 6: 数列

?an ?: 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,
2

a1 ? a, a2 ? b ,求 an
2 , 3

解(特征根法) :的特征方程是: 3x

? 5 x ? 2 ? 0 。? x1 ? 1, x 2 ?

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3
11

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
练习:已知数列

故 an

2 ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 3

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an 。
3 3

key : an ?

7 3 1 n ?1 ? (? ) 。 4 4 3

变式:(2006,福建,文,22) 已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;
?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

(I)解:

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn 解法:利用

? f (an ) )


?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 )

消去

Sn

(n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例 7:数列

?an ?前 n 项和 S n ? 4 ? an ?
? 4 ? an ? 1 2
n?2

1 2
n?2

.(1)求 a n ?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an .

解: (1)由 S n 于是 S n ?1 所以 a n ?1

得: S n ?1

? 4 ? a n ?1 ?

1 2 n ?1

? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? (
? a n ? a n ?1 ? 1 2 n ?1

1 2
n?2

? a n ?1

) 2 n ?1 1 1 ? an ? n 2 2

?

1

.

(2)应用类型 4( an?1 两边同乘以 2 由 a1
n ?1

)的方法,上式 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

得: 2

n?1

an?1 ? 2n an ? 2

1 ? a1 ? 1 . 于是数列 2 n an 2 n 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1? 2

?

?是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,所以

归纳法:

12


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