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高中数学竞赛平面几何基本定理

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平面几何基础知识(基本定理、基本性质)
1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理) (广义勾股定理)(1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边 和另一边在这边上的射影乘积的两倍. (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边 在这边上的射影乘积的两倍. 2. 射影定理(欧几里得定理) 3. 中线定理(巴布斯定理)设△ABC 的边 BC 的中点为 P,则有 AB 2 + AC 2 = 2( AP 2 + BP 2 ) ; 中线长: m a =

2b 2 + 2 c 2 ? a 2 . 2
2 2 2 2

4. 垂线定理: AB ⊥ CD ? AC ? AD = BC ? BD . 高线长: ha =

2 a

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) =

bc sin A = c sin B = b sin C . a

5. 角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 如△ABC 中,AD 平分∠BAC,则 BD = AB ; (外角平分线定理) . DC AC 角平分线长: t a = 6. 正弦定理:

2 2bc A . bcp( p ? a) = cos (其中 p 为周长一半) b+c b+c 2

a b c (其中 R 为三角形外接圆半径) . = = = 2R , sin A sin B sin C
2

7. 余弦定理: c

= a 2 + b 2 ? 2ab cos C .

8. 张角定理: sin ∠ BAC = sin ∠ BAD + sin ∠ DAC . AD AC AB 9. 斯特瓦尔特(Stewart)定理:设已知△ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D,则有 AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC= BC·DC·BD. (圆外角如何转化?) 10. 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半. 11. 弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角. 12. 圆幂定理: (相交弦定理:垂径定理:切割线定理(割线定理) :切线长定理: ) 13. 布拉美古塔(Brahmagupta)定理: 在圆内接四边形 ABCD 中,AC⊥BD,自对角线的交点 P 向一边作垂线,其延 长线必平分对边. 14. 点到圆的幂:设 P 为⊙O 所在平面上任意一点,PO=d,⊙O 的半径为 r,则 d2-r2 就是点 P 对于⊙O 的幂.过 P 任作一直线与⊙O 交于点 A、B,则 PA·PB= |d2-r2|. “到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线, 如果此二圆相交,则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴” .三个圆两两的根 轴如果不互相平行,则它们交于一点,这一点称为三圆的“根心” .三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相 交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点. 15. 托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和,即 AC·BD=AB·CD+AD·BC,(逆命题成 立) . (广义托勒密定理)AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 16. 蝴蝶定理:AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦 CD、EF 经过点 M,CF、DE 交 AB 于 P、Q,求证:MP=QM. 17. 费马点:定理 1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离;不在等边三角 定理 形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理 2 三角形每一内角都小于 120°时,在三 定理 角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是 120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点” ,当三角形有 一内角不小于 120°时,此角的顶点即为费马点.

18. 拿破仑三角形:在任意△ABC 的外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,则 AE、AB、CD 三线共点,并且 AE =BF=CD,这个命题称为拿破仑定理. 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接 圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 的圆心构成的△——外拿破仑的三角形,⊙C1 、⊙A1 、⊙B1 三圆共点,外拿破仑三角形是 一个等边三角形;△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙C2 、⊙ A2 、⊙B2 的圆心构成的△——内拿破仑三角形,⊙C2 、⊙A2 、⊙B2 三圆共点,内拿破仑三角形也是一个等边三 角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心. 19. 九点圆(Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆) :三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以 及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,九点圆具有许多有趣的性质,例如: (1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; (2)九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; (3)三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 . 20. 欧拉(Euler)线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上. 21. 欧拉(Euler)公式:设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,外心与内心的距离为 d,则 d2=R2-2Rr. 22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和. 23. 重心:三角形的三条中线交于一点,并且各中线被这个点分成 2:1 的两部分; G ( x A + x B + xC , y A + y B + y C )

3

3

重心性质: (1)设 G 为△ABC 的重心,连结 AG 并延长交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点,则 AG : GD (2)设 G 为△ABC 的重心,则 S ?ABG

= 2 :1;

1 = S ?BCG = S ?ACG = S ?ABC ; 3 DE FP KH 2 DE FP KH = = = ; + + = 2; BC CA AB 3 BC CA AB

(3)设 G 为△ABC 的重心,过 G 作 DE∥BC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,过 G 作 PF∥AC 交 AB 于 P,交 BC 于 F,过 G 作 HK∥AB 交 AC 于 K,交 BC 于 H,则 (4)设 G 为△ABC 的重心,则

+ 3GA 2 = CA 2 + 3GB 2 = AB 2 + 3GC 2 ; 1 2 2 2 2 2 2 ② GA + GB + GC = ( AB + BC + CA ) ; 3 2 2 2 2 2 2 2 ③ PA + PB + PC = GA + GB + GC + 3PG (P 为△ABC 内任意一点) ; 2 2 2 ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心,即 GA + GB + GC 最小;
① BC
2

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心;反之亦然(即满足上述条件之一,则 G 为△ABC 的重心) .

a b c a b c xA + xB + xC yA + yB + yC cos B cos C cos B cos C 24. 垂心:三角形的三条高线的交点; H ( cos A , cos A ) a b c a b c + + + + cos A cos B cos C cos A cos B cos C
垂心性质: (1)三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍; (2)垂心 H 关于△ABC 的三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上; (3)△ABC 的垂心为 H,则△ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆; (4)设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则 ∠BAO

= ∠HAC , ∠CBO = ∠ABH , ∠BCO = ∠HCA .

25. 内心:三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心,即内心到三角形各边距离相等;

I(

ax A + bx B + cxC ay A + by B + cyC , ) a+b+c a+b+c

内心性质: (1)设 I 为△ABC 的内心,则 I 到△ABC 三边的距离相等,反之亦然;

1 1 1 ∠A, ∠AIC = 90° + ∠B, ∠AIB = 90° + ∠C ; 2 2 2 (3) 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等; 反之, ∠A 平分线交△ABC 若
(2)设 I 为△ABC 的内心,则 ∠BIC

= 90° +

外接圆于点 K,I 为线段 AK 上的点且满足 KI=KB,则 I 为△ABC 的内心; (4)设 I 为△ABC 的内心, BC

= a, AC = b, AB = c, ∠A 平分线交 BC 于 D,交△ABC 外接圆于点 K,则

AI AK IK b + c ; = = = ID KI KD a , (5)设 I 为△ABC 的内心, BC = a , AC = b, AB = c, I 在 BC, AC, AB上的射影分别为 D E, F ,内切圆半径为 r ,


1 p = (a + b + c) ,则① S ?ABC = pr ;② AE = AF = p ? a; BD = BF = p ? b; CE = CD = p ? c ;③ 2 abcr = p ? AI ? BI ? CI .
sin 2 Ax A + sin 2 Bx B + sin 2CxC sin 2 Ay A + sin 2 By B + sin 2Cy C , ) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C sin 2 A + sin 2 B + sin 2C
= 2∠A 或 ∠BOC = 360° ? 2∠A ;

26. 外心:三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等;

O(

外心性质: (1)外心到三角形各顶点距离相等; (2)设 O 为△ABC 的外心,则 ∠BOC

(3) R = abc ; (4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和. 4S ? 27. 旁心: 一内 角平分 线与 两外 角平分 线交 点—— 旁切 圆圆 心;设△ABC 的三边

BC = a, AC = b, AB = c, 令

1 ( a + b + c) ,分别与 BC , AC , AB 外侧相切的旁切圆圆心记为 I A, I B , I C ,其半径分别记为 r A , rB , rC . 2 1 1 旁心性质: (1) ∠BI A C = 90° ? ∠A, ∠BI B C = ∠BI C C = ∠A, (对于顶角 B,C 也有类似的式子) ; 2 2 1 (2) ∠I AI B I C = (∠A + ∠C ) ; 2 p=
(3)设 AI A 的连线交△ABC 的外接圆于 D,则 DI A

= DB = DC (对于 BI B , CI C 有同样的结论) ;

(4)△ABC 是△IAIBIC 的垂足三角形,且△IAIBIC 的外接圆半径 R ' 等于△ABC 的直径为 2R. 28. 三角形面积公式:S ?ABC

=

1 1 abc a2 + b2 + c2 aha = ab sin C = = 2 R 2 sin A sin B sin C = 2 2 4R 4(cot A + cot B + cot C )

= pr =

其中 ha 表示 BC 边上的高, 为外接圆半径, 为内切圆半径,p = 1 ( a + b + c) . r R p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , 2

29. 三角形中内切圆,旁切圆和外接圆半径的相互关系:

r = 4 R sin
ra =

A B C A B C A B C A B C sin sin ; ra = 4 R sin cos cos , rb = 4 R cos sin cos , rc = 4 R cos cos sin ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

r r r 1 1 1 1 ,r = ,r = ; + + = . B C b A C c A B ra rb rc r tan tan tan tan tan tan 2 2 2 2 2 2

30. 梅涅劳斯(Menelaus)定理:设△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点 分别为 P、Q、R 则有

BP CQ AR ? ? = 1. (逆定理也成立) PC QA RB

31. 梅涅劳斯定理的应用定理 1:设△ABC 的∠A 的外角平分线交边 CA 于 Q,∠C 的平分线交边 AB 于 R,∠B 的平分 线交边 CA 于 Q,则 P、Q、R 三点共线. 32. 梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意△ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、CA、AB 的延 长线交于点 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线. 33. 塞瓦(Ceva)定理:设 X、Y、Z 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 上的一点,则 AX、BY、CZ 所在直线交于一点的充 要条件是 AZ BX CY · · =1. ZB XC YA

34. 塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC 的边 BC 的直线与两边 AB、AC 的交点分别是 D、E,又设 BE 和 CD 交于 S, 则 AS 一定过边 BC 的中点 M. (略) 35. 塞瓦定理的逆定理: 36. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 1:三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线 交于一点. 37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设△ABC 的内切圆和边 BC、CA、AB 分别相切于点 R、S、T,则 AR、BS、CT 交于一点. 38. 西摩松(Simson)定理:从△ABC 的外接圆上任意一点 P 向三边 BC、CA、AB 或其延长线作垂线,设其垂足分别 (这条直线叫西摩松线 Simson line) . 是 D、E、R,则 D、E、R 共线, 39. 西摩松定理的逆定理: (略) 40. 关于西摩松线的定理 1:△ABC 的外接圆的两个端点 P、Q 关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上. :在一个圆周上有 4 点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角 41. 关于西摩松线的定理 2(安宁定理) 形的西摩松线,这些西摩松线交于一点. 设△ABC 的垂心为 H, 其外接圆的任意点 P, 这时关于△ABC 的点 P 的西摩松线通过线段 PH 的中心. 42. 史坦纳定理: 43. 史坦纳定理的应用定理:△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于边 BC、CA、AB 的对称点和△ABC 的垂心 H 同在一条 (与西摩松线平行的)直线上.这条直线被叫做点 P 关于△ABC 的镜象线. 44. 牛顿定理 1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线.这条直线叫做这个 四边形的牛顿线. 45. 牛顿定理 2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线. 46. 笛沙格定理 1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交于一 点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线. 47. 笛沙格定理 2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A 和 D、B 和 E、C 和 F)的连线交 于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线. 48. 波朗杰、腾下定理:设△ABC 的外接圆上的三点为 P、Q、R,则 P、Q、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是:弧 AP+弧 BQ+弧 CR=0(mod2 π ) . 49. 波朗杰、腾下定理推论 1:设 P、Q、R 为△ABC 的外接圆上的三点,若 P、Q、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点, 则 A、B、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点. 50. 波朗杰、腾下定理推论 2:在推论 1 中,三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的 垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点. 51. 波朗杰、腾下定理推论 3:考查△ABC 的外接圆上的一点 P 的关于△ABC 的西摩松线,如设 QR 为垂直于这条西摩 松线该外接圆的弦,则三点 P、Q、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点. 52. 波朗杰、腾下定理推论 4:从△ABC 的顶点向边 BC、CA、AB 引垂线,设垂足分别是 D、E、F,且设边 BC、CA、 AB 的中点分别是 L、M、N,则 D、E、F、L、M、N 六点在同一个圆上,这时 L、M、N 点关于关于△ABC 的西摩 松线交于一点.

53. 卡诺定理:通过△ABC 的外接圆的一点 P,引与△ABC 的三边 BC、CA、AB 分别成同向的等角的直线 PD、PE、 PF,与三边的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. 54. 奥倍尔定理:通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是 L、M、N, 在△ABC 的外接圆上取一点 P,则 PL、PM、PN 与△ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F, 则 D、E、F 三点共线. 55. 清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆的异于 A、B、C 的两点,P 点的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、 V、W,这时,QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. 56. 他拿定理:设 P、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点,点 P 的关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W, 这时,如果 QU、QV、QW 和边 BC、CA、AB 或其延长线的交点分别是 D、E、F,则 D、E、F 三点共线. (反点: P、Q 分别为圆 O 的半径 OC 和其延长线的两点,如果 OC2=OQ×OP 则称 P、Q 两点关于圆 O 互为反点) 57. 朗古来定理:在同一圆周上有 A1、B1、C1、D1 四点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点 P,作 P 点的关于这 4 个三角形的西摩松线,再从 P 向这 4 条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上. 58. 从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心. 59. 一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-1 个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点. 60. 康托尔定理 1:一个圆周上有 n 个点,从其中任意 n-2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点. 一个圆周上有 A、 C、 四点及 M、 两点, M 和 N 点关于四个三角形△BCD、 B、 D N 则 △CDA、 △DAB、 61. 康托尔定理 2: △ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上.这条直线叫做 M、N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线. 62. 康托尔定理 3:一个圆周上有 A、B、C、D 四点及 M、N、L 三点,则 M、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 L、N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、M、L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线交于一点.这个点叫做 M、 N、L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点. 63. 康托尔定理 4:一个圆周上有 A、B、C、D、E 五点及 M、N、L 三点,则 M、N、L 三点关于四边形 BCDE、CDEA、 DEAB、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上.这条直线叫做 M、N、L 三点关于五边形 A、B、C、D、E 的康 托尔线. 64. 费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切. 65. 莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一 个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形. 66. 布利安松定理:连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A 和 D、B 和 E、C 和 F,则这三线共点. 67. 帕斯卡(Paskal)定理:圆内接六边形 ABCDEF 相对的边 AB 和 DE、BC 和 EF、CD 和 FA 的(或延长线的)交点 共线. 68. 阿波罗尼斯(Apollonius)定理:到两定点 A、B 的距离之比为定比 m:n(值不为 1)的点 P,位于将线段 AB 分成 m:n 的内分点 C 和外分点 D 为直径两端点的定圆周上.这个圆称为阿波罗尼斯圆. 69. 库立奇*大上定理: (圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心 都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆. 70. 密格尔(Miquel)点: 若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点,构成四个三角形,它们是 △ABF、△AED、△BCE、△DCF,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为密格尔点. 71. 葛尔刚(Gergonne)点:△ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA 于点 D、E、F,则 AE、BF、CD 三线共点,这个 点称为葛尔刚点. 72. 欧拉关于垂足三角形的面积公式:O 是三角形的外心,M 是三角形中的任意一点,过 M 向三边作垂线,三个垂足
2 形成的三角形的面积,其公式: S ? D EF = | R ? d S ? ABC 4R 2 2

|.

2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

试题参考答案及评分标准
说明: 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 7 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合 理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 填空题( ) 1.已知复数 m 满足 m + . 2.设 f ( x ) = .

1 1 = 1 ,则 m 2008 + 2009 = m m

0



1 3 π π cos 2 x + sin x cos x + 2 , x ∈ [ ? , ] ,则 f (x ) 的值域为 2 2 6 4

3 [2, 2 ] 4



3.设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S15 > 0, S16 < 0 ,则 .

S S1 S 2 S , ,?, 15 中最大的是 8 . a1 a 2 a15 a8

4.已知 O 是锐角△ABC 的外心, AB = 6, AC = 10 ,若 AO = x AB + y AC ,且 2 x + 10 y = 5 , . 则 cos ∠BAC =

1 . 3

5.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分别是棱 A1D1 和 . CC1 的中点.则四面体 O ? MNB1 的体积为

7 . 48

6.设 A ∪ B ∪ C = {1,2,3,4,5,6} ,且 A ∩ B = {1,2} ,{1,2,3,4} ? B ∪ C ,则符合条件的 ( A, B, C ) . 共有 1600 组. (注: A, B, C 顺序不同视为不同组. )

7.设 y = sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x ,则 | y | 的最小值为 . 8 . 设 p 是 给 定 的 正 偶 数 , 集 合 A p = {x | 2 < x < 2
p p +1

2 2 ?1



, x = 3m, m ∈ N} 的 所 有 元 素 的 和 是

22 p ?1 ? 2 p ?1 .
二、解答题(本题满分 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 解答题( ) 9.设数列 {a n }( n ≥ 0) 满足 a1 = 2 ,a m + n + a m ? n ? m + n = (1)证明:对一切 n ∈ N ,有 a n + 2 = 2a n +1 ? a n + 2 ; (2)证明:

1 (a 2 m + a 2 n ) ,其中 m, n ∈ N, m ≥ n . 2

1 1 1 + +?+ < 1. a1 a 2 a 2009

证明 (1)在已知关系式 a m + n + a m ? n ? m + n = 令 n = 0 ,可得

1 ( a 2 m + a 2 n ) 中,令 m = n ,可得 a 0 = 0 ; 2


a 2 m = 4a m ? 2m
令 m = n + 2 ,可得

a2n+2 + a2 ? 2 =

1 (a 2 n + 4 + a 2 n ) 2



由①得 a 2 n + 2 = 4a n +1 ? 2( n + 1) ,a 2 = 4a1 ? 2 = 6 ,a 2 n + 4 = 4a n + 2 ? 2( n + 2) ,a 2 n = 4a n ? 2n , 代入②,化简得 a n + 2 = 2a n +1 ? a n + 2 . ------------------------------------------7 分

(2)由 a n + 2 = 2a n +1 ? a n + 2 ,得 (a n + 2 ? a n +1 ) = (a n +1 ? a n ) + 2 ,故数列 {a n +1 ? a n } 是首项为

a1 ? a 0 = 2 ,公差为 2 的等差数列,因此 a n +1 ? a n = 2n + 2 .
于是 a n =

∑ (ak ? a k ?1 ) + a0 = ∑ (2k ) + 0 = n(n + 1) .
k =1 k =1

n

n

因为

1 1 1 1 = = ? ( n ≥ 1) ,所以 a n n( n + 1) n n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ = (1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) = 1? < 1. a1 a 2 a 2009 2 2 3 2009 2010 2010
------------------------------------------14 分 10.求不定方程 x1 + x 2 + x 3 + 3 x 4 + 3 x5 + 5 x 6 = 21 的正整数解的组数. 解 令 x1 + x 2 + x 3 = x , x 4 + x 5 = y , x6 = z ,则 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 .

先考虑不定方程 x + 3 y + 5 z = 21 满足 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 的正整数解.

∵ x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 ,∴ 5 z = 21 ? x ? 3 y ≤ 12 ,∴1 ≤ z ≤ 2 .----------------------------------5 分
当 z = 1 时,有 x + 3 y = 16 ,此方程满足 x ≥ 3, y ≥ 2 的正整数解为 ( x, y ) = (10, 2), (7, 3), ( 4, 4) . 当 z = 2 时,有 x + 3 y = 11 ,此方程满足 x ≥ 3, y ≥ 2 的正整数解为 ( x, y ) = (5, 2) . 所以不定方程 x + 3 y + 5 z = 21 满足 x ≥ 3, y ≥ 2, z ≥ 1 的正整数解为

( x, y , z ) = (10, 2, 1), (7, 3, 1), (4, 4, 1), (5, 2, 2) .

------------------------------------------10 分

又 方 程 x1 + x 2 + x3 = x( x ∈ N , x ≥ 3) 的 正 整 数 解 的 组 数 为 C x ?1 , 方 程
2

x 4 + x5 = y ( y ∈ N , x ≥ 2) 的正整数解的组数为 C1y ?1 ,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解
的组数为
2 2 2 C 9 C1 + C 6 C1 + C 3 C1 + C 2 C1 = 36 + 30 + 9 + 6 = 81 . ------------------------------------------15 分 1 2 3 4 1

11.已知抛物线 C: y =

1 2 x 与直线 l: y = kx ? 1 没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 2

作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明: 证明 (1)设 A( x1 , y1 ) ,则 y1 = 由y=

PM PN

=

QM QN



1 2 x1 . 2

1 2 x 得 y ′ = x ,所以 y ′ | x = x1 = x1 . 2

于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y ? y1 = x1 ( x ? x1 ) ,即 y = x1 x ? y1 . 设 P ( x 0 , kx 0 ? 1) ,则有 kx 0 ? 1 = x 0 x1 ? y1 . 设 B ( x2 , y2 ) ,同理有 kx 0 ? 1 = x 0 x 2 ? y 2 . 所以 AB 的方程为 kx 0 ? 1 = x 0 x ? y ,即 x 0 ( x ? k ) ? ( y ? 1) = 0 , 所以直线 AB 恒过定点 Q (k ,1) . (2)PQ 的方程为 y = ------------------------------------------7 分

kx0 ? 2 1 ( x ? k ) + 1 ,与抛物线方程 y = x 2 联立,消去 y,得 2 x 0 ?k x2 ? 2kx 0 ? 4 ( 2 k 2 ? 2) x 0 ? 2 k x+ = 0. x0 ? k x0 ? k

设 M ( x 3 , y 3 ) , N ( x 4 , y 4 ) ,则

x3 + x 4 =

2kx 0 ? 4 ( 2 k 2 ? 2) x 0 ? 2 k , x3 x 4 = x0 ? k x0 ? k



要证

PM PN

=

QM QN

,只需证明

x3 ? x 0 k ? x3 = ,即 x 4 ? x0 x 4 ? k

2 x3 x 4 ? (k + x0 )( x3 + x 4 ) + 2kx0 = 0
由①知,



2( 2 k 2 ? 2) x 0 ? 4 k 2kx0 ? 4 ②式左边= ? (k + x0 ) + 2kx0 x0 ? k x0 ? k = 2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k ? (k + x0 )(2kx0 ? 4) + 2kx0 ( x0 ? k ) = 0. x0 ? k
------------------------------------------15 分

故②式成立,从而结论成立.

12.设 a , b, c, d 为正实数,且 a + b + c + d = 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 + + + ≥ 4 + ( a ? b) 2 . b c d a
证明 因为 a + b + c + d = 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4( a ? b ) 2 + + + ≥ a+b+c+d + b c d a a+b+c+d
事实上,

① ----------------5 分

a2 b2 c2 d 2 + + + ? (a + b + c + d ) b c d a =(
=
分 由柯西不等式知

a2 b2 c2 d2 + b ? 2a ) + ( + c ? 2b) + ( + d ? 2c) + ( + a ? 2d ) b c d a
②----------------10

1 1 1 1 ( a ? b ) 2 + (b ? c ) 2 + ( c ? d ) 2 + ( d ? a ) 2 b c d a

[

( a ? b ) 2 (b ? c ) 2 ( c ? d ) 2 ( d ? a ) 2 + + + ]( a + b + c + d ) b c d a
③----------------15

≥ (| a ? b | + | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |) 2
分 又由 | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |≥| b ? a | 知

(| a ? b | + | b ? c | + | c ? d | + | d ? a |) 2 ≥ 4(a ? b) 2
由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.



------------------------------------20 分

蚌埠二中 2005 年省理科实验班招生加试


一 题号 一 二 1 得分 试 三 2






二 试 3 4

(本卷满分 150 分 答题时间 120 分钟 本卷满分 分钟)

总 分

3

1

2

第一试( 第一试(90 分)

阅卷人

得 分

小题, 一、选择题(本大题 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。每小题只有一个正确选 选择题( 不选、错选或多选均不得分) 项,不选、错选或多选均不得分)

1、以下说法正确的是( 、以下说法正确的是(



A、物体吸收热量,温度一定升高 、物体吸收热量, B、外界对物体做功,物体内能一定增加 、外界对物体做功, C、温度高的物体内能一定比温度低的物体内能大 、 D、做功改变物体内能的本质是内能和其他形式能之间的转化 、 2、一小车自西向东做直线运动,连续通过两段路程,第一段路程为 S,平均速度为 V1,第二段路 、一小车自西向东做直线运动,连续通过两段路程, , 则全程的平均速度为( 程为 2S,平均速度为 V2,则全程的平均速度为( , A、 、 )

2V1 + V2 2

B、 、

2V1V2 V1 + V2

C、 、

3V1V2 2V1 + V2

D、 、

3V1V2 V1 + 2V2

3、如图所示,磁带录音机既可用作录音,也可用作放音,其主要 、如图所示,磁带录音机既可用作录音,也可用作放音,

第 3 题图

部件为可匀速行进的磁带和绕有线圈的磁头,下面对于它们在录音、放音过程中主要工作原理的描述, 部件为可匀速行进的磁带和绕有线圈的磁头,下面对于它们在录音、放音过程中主要工作原理的描述, 正确的是 ( )

A、放音的主要原理是电磁感应,录音的主要原理是电流的磁效应。 、放音的主要原理是电磁感应,录音的主要原理是电流的磁效应。 B、录音的主要原理是电磁感应,放音的主要原理是电流的磁效应。 、录音的主要原理是电磁感应,放音的主要原理是电流的磁效应。 C、放音和录音的主要原理都是磁场对电流的作用。 、放音和录音的主要原理都是磁场对电流的作用。 理都是磁场对电流的作用 D、录音和放音的主要原理都是电磁感应。 、录音和放音的主要原理都是电磁感应。

4、下列关于核能的说法正确的是 ( 、



A、物质是由原子组成的,原子中有原子核,所以利用任何物质都能得到核能。 、物质是由原子组成的,原子中有原子核,所以利用任何物质都能得到核能。 B、到目前为止,人们获得核能有两种途径,即原子核的裂变和聚变。 、到目前为止,人们获得核能有两种途径,即原子核的裂变和聚变。 C、原子弹和氢弹都是利用原子核裂变的原理制成的。 、原子弹和氢弹都是利用原子核裂变的原理制成的。 D、自然界中只有在人为条件下才会发生聚变。 、自然界中只有在人为条件下才会发生聚变。 5、如图所示,a、b 两盏灯都能发光,且在电路变化时灯不 、如图所示, 、 两盏灯都能发光, 向左移动时, 若滑动变阻器的触头 P 向左移动时,两盏灯亮暗的变化情况是 A、a、b 均变亮 、 、 C、a 变亮、b 变暗 、 变亮、 B、a、b 均变暗 、 、 D、a 变暗、b 变亮 、 变暗、 第 5 题图 c P b 所示。 所示。一束 光线将 a 会被烧坏, 会被烧坏, ( )

6、用厚度不计的玻璃制成一空气三棱镜,放置于水中,如图 、用厚度不计的玻璃制成一空气三棱镜,放置于水中, 侧面射出,此时, 平行底边 ab 的单色光线射向侧面 ac,并从 bc 侧面射出,此时, , 向 ( ) B、向顶角偏折 、 D、与入射光线平行,但不共线 、与入射光线平行, A、向底边偏折 、 C、不发生偏折 、

7、如图所示,物体 a、b 和 c 叠放在水平桌面上,水平为 、如图所示, 叠放在水平桌面上, 、 与 c、c 与桌面的静摩擦力的大小,则( 、 与桌面的静摩擦力的大小, A、Ff1=5N,Ff2=0,Ff3=5N 、 , , B、Ff1=5N,Ff2=5N,Ff3=0 、 , , C、Ff1=0,Ff2=5N,Ff3=5N 、 , , D、Ff1=0,Ff2=10N,Ff3=5N 、 , , 8、如图所示,一条形磁铁固定于水平桌面上,在其正上 、如图所示,一条形磁铁固定于水平桌面上, 自由移动的直导线。观察者俯视观察, 自由移动的直导线。观察者俯视观察,当导线通有水平向右 则导线将如何运动( 则导线将如何运动( ) B、顺时针转动且向下 、 A、顺时针转动且向上 、 N )

第 6 题图

Fb



5N,Fc=10N,分别作用于物体 b、c 上,a、b 和 c 仍保持静止,以 Ff1、Ff2 和 Ff3 分别表示 a 与 b、b , 仍保持静止, , 、 、 、

第 7 题图

方有一可 S 第 8 题图 的电流时, 的电流时,

C、逆时针转动且向上 、 D、逆时针转动且向下 、 填空题( 小题, 二、填空题(本题共 8 小题,其中 1-7 题每空 3 分,第 8 小题每空 2 分,共 - 阅卷人 得 分 36 分)

1、2005 年 6 月,广西梧州地区发生了洪涝灾害,国家启动应急救援措施,向该地区空投一批救援 、 广西梧州地区发生了洪涝灾害,国家启动应急救援措施, 物资。若空投物资先加速后匀速下落,那么在加速下落阶段, 物资 。 若空投物资先加速后匀速下落 , 那么在加速下落阶段 , 物资的动能将 能 (填 增大” 不变” 、 ) 。 填“增大”“不变”或“减小” ( 减小” 2、小朋友在游戏中常制作一种“土电话”的玩具,用两个圆纸盒与一根棉线组成,只要将棉线绷 、小朋友在游戏中常制作一种“土电话”的玩具,用两个圆纸盒与一根棉线组成, 紧 , 二 人 就 可 以 通 话 。 那 么 “ 土 电 话 ” 是 利 用 了 _______________________________原理制成的。 原理制成的。 原理制成的 3、如图所示,用滑轮装置将 A、B 两物体悬挂,如果不计滑轮重 、如图所示, 、 两物体悬挂, 擦,要使整个装置处于平衡,则 GA = 要使整个装置处于平衡, GB。 桶浸没 A B 5、汽车车头灯是一种特殊的灯,通常称之为双头灯。它里面有两 、汽车车头灯是一种特殊的灯,通常称之为双头灯。 丝,可由驾驶室的开关控制转换发光。灯丝前面是透光玻璃罩,灯丝后 可由驾驶室的开关控制转换发光。灯丝前面是透光玻璃罩, 来反光的凹面镜。如图所示,它的两个灯丝中,一个称为远聚 来反光的凹面镜。如图所示,它的两个灯丝中,一个称为远聚 的位置上, 丝,安装在凹面镜焦点 F 的位置上,灯丝发出的光经凹面镜反 集中向前方平行射出,照亮车前方很远的道路; 集中向前方平行射出,照亮车前方很远的道路;另一个称为近 灯丝,发出的光经凹面镜反射后仅照亮车前不远的地方。 灯丝,发出的光经凹面镜反射后仅照亮车前不远的地方。请你 中所示情形判断, 位置? 中所示情形判断,近聚光灯丝应安装在 a 位置还是 b 位置? __________。 。 6、如图所示,灯泡规格均相同,甲图中电 、如图所示,灯泡规格均相同, 6V,乙图中电压恒为 12V。分别调节 R1、R2 使 , 。 均正常发光, 均正常发光 , 那么此时电路消耗的总功率之比 P2= _________,可变电阻接入电路中的电阻值 , 比 R1∶R2=_________。 。 甲 10 第 t6 题图 t2 3 乙 t1 质量/g 压恒为 灯 P1 ∶ 之 第 5 题图 第 3 题图 个 灯 面有用 光 灯 射 后 聚 光 就 图 力与摩 , 机械

4、一重为 20N 的薄铁皮水桶装满重力为 98N 的水,用手提桶并将 、 的水, 到大水缸中(未与缸底接触) ,此时手对桶的拉力为 到大水缸中(未与缸底接触) 此时手对桶的拉力为 , N。 。

7、某一边长为 0.1m 的立方体合金 , 其密度 ρ = 、 的立方体合金,其密度ρ

第 8 题图

5.0 × 103kg/m3。用不计重力的细绳悬挂于水中,其上表面距水面 0.45m。现缓慢将其匀速提出水面,当 用不计重力的细绳悬挂于水中, 。现缓慢将其匀速提出水面, 金 属 块 下 表 面 恰 好 离 开 水 面 时 , 则 此 过 程 中 重 力 做 功 大 小 为 __________J , 拉 力 做 功 大 小 为 __________J。 。 (g=10N/kg) ( ) 8、用同一均匀的热源加热水的质量和温度变化的图线(如图所示) 请回答下列问题:由图中可 、用同一均匀的热源加热水的质量和温度变化的图线(如图所示) 请回答下列问题: ,请回答下列问题 , 的大小顺序是__________;若 t3=30s,则 t2=________s,t1=__________s。 知,加热时间 t1、t2 和 t3 的大小顺序是 ; , , 。

阅卷人

得 分

小题, 三、设计与计算(本题共 3 小题,共 22 分) 设计与计算(

1、 分)如图所示,是某同学进行的一项实验。书和桌面之间用两根圆木筷搭成一个斜面,两圆 、 (5 如图所示,是某同学进行的一项实验。书和桌面之间用两根圆木筷搭成一个斜面, ( 木筷之间为梯形。若在斜面底端放置一个如图所示的双圆锥体,请问它能向上运动吗?试说明其原因。 木筷之间为梯形。若在斜面底端放置一个如图所示的双圆锥体,请问它能向上运动吗?试说明其原因。

第 1 题图

2、 分)用下图所示的器材,研究钨丝灯泡消耗的功率 P 与通过它的电流 I 之间的关系。已知灯 、 (8 用下图所示的器材, 之间的关系。 ( 泡的规格为“ 泡的规格为“12V 5W” 电源电压为 15V,滑动变阻器的规格为“20Ω 2A” 测量灯泡消耗的功率需 ” , ,滑动变阻器的规格为“ Ω ” , 要用到电流表、 压表。请在下面的方框中画出电路图,并将图中的器材连成实验电路。要求: 要用到电流表、电压表。请在下面的方框中画出电路图,并将图中的器材连成实验电路。要求:实验 中灯泡两端的电压变化范围为 0-12V。 - 。

3、 分)汽车以 15m/s 的速度行驶,汽油箱内还有 20kg 的汽油,发动机功率 P=35kW,效率η 、 (9 的速度行驶, 的汽油, ( = ,效率η 7 %。已知汽油的热值 远的目的地? =20%。已知汽油的热值 q=4.62 × 10 J/kg,问汽车能否行驶到 80km 远的目的地? %。 ,

第二试( 第二试(60 分)

阅卷人

得 分

1、 、 (12 分)质量为 10kg,长 2m 的不均匀细杆,两端用细绳悬于天花板上的 O 的不均匀细杆, ( , 处挂一质量为 的重物,杆恰好保持水平。 点。在距 B 端 0.3m 处挂一质量为 3kg 的重物,杆恰好保持水平。已知杆 AB o o 如图所示) ,求杆重心距 端的距离。 与两绳间夹角分别为 30 和 60 (如图所示) 求杆重心距 A 端的距离。 ,

O
30o
A 第 1 题图

60o
B

2、 、 (13 分)高血压是危害健康的一种常见病,现已查明血管内径变细是其诱因 高血压是危害健康的一种常见病, ( 之一。 我们可在简化假设下研究这一问题。 设液体通过一根一定长度的管子时, 之一。 我们可在简化假设下研究这一问题。 设液体通过一根一定长度的管子时, 成正比, (为简便起见, 受到的阻力 Ff 与流速 V 成正比,即 Ff=kv(为简便起见,设 k 与管子粗细无 。为维持血液匀速流过 关) 为维持血液匀速流过,在这段管子两端需有一定的压强差。设血管截面积为 S 时,两端所需压强 。为维持血液匀速流过,在这段管子两端需有一定的压强差。 差为 P, , 若血管截面积减小 10%, %, 为了维持在相同时间内通过同样多的液体, 为了维持在相同时间内通过同样多的液体, 压强差 P′必须变为多大? 必须变为多大?

阅卷人

得 分

3、 、 (16 分)取一个不高的横截面积是 S 的圆筒,筒内装水质量为 m,在阳光 的圆筒, ( , 垂直照射下, 垂直照射下,经过时间 t,温度升高 k。若把太阳看成黑体,已知太阳半径和 , 。若把太阳看成黑体, 地球到太阳的距离分别为 R 和 d,并考虑到阳光传播过程中的损失,地球大气 ,并考虑到阳光传播过程中的损失, 层的吸收和散射,水所能吸收的太阳能仅是太阳辐射能的一半, 层的吸收和散射,水所能吸收的太阳能仅是太阳辐射能的一半,试用所给的物理量表达太阳表面的温 (黑体单位表面积的辐射功率 与其温度的四次方成正比, 为常数, 度。 黑体单位表面积的辐射功率 J 与其温度的四次方成正比,即 J=σT4,σ为常数,水的比热容为 ( = 2 c,球面面积 S=4πr ) π

阅卷人

得 分

( 如图所示电路中, 250V, 4、 19 分)如图所示电路中,电源电压 U=250V,电路中接有电阻 R=5Ω,电 只完全相同的电热器, 200V, 路中装有 50 只完全相同的电热器,每只电热器的额定电压为 200V,额定功率 1000W,其它电阻不计,并且忽略电热器电阻随温度的变化, 为 1000W,其它电阻不计,并且忽略电热器电阻随温度的变化,问当接几只电 热器时, (1 实际使用的电热器均能正常工作?( 电热器组加热物体最快? ?(2 热器时, 1)实际使用的电热器均能正常工作?(2)电热器组加热物体最快? (

阅卷人

得 分

第 4 题图

蚌埠二中 2005 年省理科实验班招生加试









每小题只有一个正确选项,不选、错选、多选均不得分) 一、选择题(本大题共 8 小题,共 32 分,每小题只有一个正确选项,不选、错选、多选均不得分 本大题共 小题,

题号 选项

1 D

2 C

3 A

4 B

5 D

6 B

7 C

8 D

二、填空题(1-7 题每空 3 分,第 8 小题每空 2 分) 填空题( - 1、 增 大 、 减 小 、 2、 、 声波可以在固体中传播 3、 5 4、 20 N 5、 、 、 、 1∶4 6、 1∶1 、 ∶ 、 ∶ 7、 27.5 J、 22.5 J 、 、 50 s 80 s 8、 t1 > t2 > t3 、 、 、 三、计算与设计(5+8+9=22 分) 计算与设计
1、 、 双圆锥体能向上运动, 原因为: 双圆锥体从底端 A 双圆锥体能向上运动, 原因为: 的过程中, 到顶端 C 的过程中, 双圆锥体与圆木筷的接触点间的距离 在不断增加,接触点上方的圆半径逐渐减小, 在不断增加,接触点上方的圆半径逐渐减小,双圆锥体重 心逐渐降低,锥体势能减小,忽略空气等阻力, 心逐渐降低,锥体势能减小,忽略空气等阻力,其动能会 增大,因此向上运动。 增大,因此向上运动。 2、分压电路,选 0-0.6A 和 0-15V 量程,内外接法均 、分压电路, 量程, 可 3、qmη=(P/V)S 、

b

s=79.2km,所以不行 s=79.2km,所以不行

第二试( + + + = 第二试(12+13+16+19=60 分)

O
1、取 O 为支点,设重心在 c 处 、 为支点, OB=AB·sin30°=1 米 = · ° DB=OB·sin30°=0.5 米 = · ° G 杆 L 杆= G 物 L 物 100×L 杆=30×(DB-0.3) × × - )

30o
A

CL 杆 L 物 B D 0.3m G物 G杆

60o

L 物=0.2m 解得 L 杆=0.06m LAC=1.44m 2、在相同时间流过同样多的液体, 、在相同时间流过同样多的液体, 因此: S v t =S′v′t 因此: ′ 由平衡条件可得: 由平衡条件可得:Ps=kv =kv′ p′s′=kv′ 已知: s′=0.9s 已知: 0.9s 得: p′ =

100 p ≈1.23p 81

3、水吸收热量 Q=cmk 、 k 每平方米水面吸收热功率 J′=Q/St ′ / 单位面积上的热功率与距离的平方成反比, 单位面积上的热功率与距离的平方成反比, 即:

J ' R2 = 2 , J d

由题目所给条件可知: = 由题目所给条件可知:J=σT4 联立上式可得: 联立上式可得:T =
4

2cmkd 2 σStR 2
= 200 2 = 40? 1000

4、解: )R 热= 、 (1) (

2 U额

P额

UR=U-U 额=250V-200V=50V - - = U 50V I= R = = 10A = R 5? U 200V R 热总= 额 = = 20? I 10A n= =

R热 R 热总



40? =2只 20?

(2)电热器加热物体最快,即电热器总功率最大。 )电热器加热物体最快,即电热器总功率最大。 P 热总=( 总-UR)I =(U =(250- ) =( -5I) I · 2 =-5I =- +250I

b 时为极值 2a ∴当 I=25A 时,电热器功率最大 = U 250V R 总= 总 = =10? I 25A R 热总=R 总-R=10Ω-5Ω=5Ω = Ω Ω Ω
根据 y = ax 2 + bx + c ,当 x = ?

n=

R热 R 热总



40? =8只 5?

蚌埠二中 2005 年省理科实验班招生加试









分钟) (本卷满分 150 分 答题时间 120 分钟)
三 11 12 13 14 15 总 分

题 号 得 分





参考公式: 参考公式:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ? ab + b 2 )

(a ? b) 3 = a 3 ? 3a 2 b + 3ab 2 ? b 3 a 3 ? b 3 = (a ? b)(a 2 + ab + b 2 )

阅卷人

得 分

选择题 本题共 4 小题, ( 小题, 一、 每小题 7 分, 满分 28 分。 每小题均给出了代号 A、 的四个结论,其中只有一个是正确的, B、C、D 的四个结论,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在题后 的括号内) 的括号内)

1、如图,梯形 ABCD 的对角线交于 O,过 O 作两底的平行线分别交两腰于 M、N,若 AB=4, 、如图, , 、 , = , C D CD=1,则 MN 的长为( 的长为( = , ) N A、1.2 B、1.4 、 、 O C、1.6 、 2、方程 2 x ? x 2 = 、 A、0 、 D、1.8 、 A 第 1 题图 B

2 的正根个数为( 的正根个数为( ) x B、1 C、2 、 、

D、3 、

3、若 a、b 和 c 是三个两两不同的奇质数,且方程 (b + c ) x 2 + 5 (a + 1) x + 225 = 0 有两个相等的 、 、 是三个两两不同的奇质数, 实根,则 a 的最小值是( 实根, 的最小值是( A、41 、 B、47 、 ) C、53 、 D、59 、

4、已知 y = x 3 + ax 2 + bx + c ,当 x = 5 时, y = 50 ; x = 6 时, y = 60 ; x = 7 时, y = 70 。则当 、

x = 4 时,y 的值为( 的值为(
A、30 、

) B、34 、 C、40 、 D、44 、

阅卷人

得 分

小题, 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 7 分,满分 42 分) 填空题(

5、若 0<a<1,化简 ( a + 、 < < ,

1 a

2 )?4 + ( a ?

1 a

2 )+4 得



6、已知 (2 x + 1) 9 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ? + a 9 x 9 , 、 则 (a 0 + a 2 + a 4 + a 6 + a 8 ) 2 ? (a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 ) 2 的值为 。

7、向一个三角形内加入 2005 个点,加上原三角形的三个点共计 2008 个点。用剪刀最多可以剪出 、 个点, 个点。 个点为顶点的三角形。 个以这 2008 个点为顶点的三角形。 恒成立, 8、若 2 x + 1 + 2 x ? 1 >a 对任意实数 x 恒成立,则 a 的取值范围是 、



9、如图,C 为半圆⊙O 上一点,AB 为直径,且 AB=2a,∠COA=60°。延长 AB 到 P,使 BP= 、如图, 为半圆⊙ 上一点, 为直径, = , = ° , =

1 AB,连 CP 交半圆于 D,过 P 作 AP 的垂线交 AD 的延长线于 H,则 PH 的长度为 , , , 2 C
D A O 第 9 题图 B H P



10、已知:a<0,b>0,且 2a 2 + a = 、已知: < , > ,

a 3b b + 1 2 1 + = 1 ,则代数式 的值为 b b b b



小题, 三、解答题(本题共 5 小题,满分 80 分) 解答题( 11、 本题满分 10 分) (本题满分 、 ( 阅卷人 得 分 它们的大小互不相同, 的边。 有三个含 30°角的直角三角形, °角的直角三角形, 它们的大小互不相同, 但均有一条长为 a 的边。 这三个三角形按照从大到小的顺序,求其面积比。 这三个三角形按照从大到小的顺序,求其面积比。

阅卷人

得 分

12、 本题满分 15 分) 、 (本题满分 ( 某厂现有甲种原料 360kg,乙种原料 290kg,计划用这两种原料生产 A、B 两种 , , 、 种产品, 产品共 50 件。已知生产一件 A 种产品,需用甲种原料 9kg,乙种原料 3kg,可 , ,

种产品, 获利润 700 元;生产一件 B 种产品,需甲种原料 4kg,乙种原料 10kg,可获利润 1200 元。 , , (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有几种方案?请你设计出来; ) 、 两种产品的生产件数,有几种方案?请你设计出来; (2)设生产 A、B 两种产品总利润是 y 元,其中一种产品的生产件数是 x。试写出 y 与 x 之间的 ) 、 。 函数关系式,并利用函数的性质说明( )中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少? 函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

阅卷人

得 分

13、 本题满分 15 分) 、 (本题满分 ( 个连续正整数立方和的最大公约数,并证明。 试写出所有 3 个连续正整数立方和的最大公约数,并证明。

阅卷人

得 分

14、 本题满分 20 分) 、 (本题满分 ( = 如图 1,在△ABC 中,AB 边上高 CE 与 AC 边上高 BD 相交于 H 点。若 BC= , 25,BD=20,BE=7。 , = , = 。 C

的长; (1)求 DE 的长; )

D H A B

E

第 14 题图 1

(2)如图 2,若以 DE 为直径作圆,分别与 AC、AB 交于 G、F,连 AH, ) , 为直径作圆, 、 、 , , C 求证: ⊥ 。 求证:AH⊥GF。

D

第 14 题图 2

阅卷人

得 分

15、 本题满分 20 分) 、 (本题满分 ( 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ,对任意实数 x 都有

? x + 1? x ≤ ax + bx + c ≤ ? 成立。 ? 成立。 ? 2 ?
2

2

的值; (1)当 x = 1 时,求 y 的值; )

、 、 的值。 (2)若当 x = ?1 时, y = 0 ,求 a、b、c 的值。 )

蚌埠二中 2005 年省理科实验班招生加试

数 学 试 题 答 案
一、选择题 1、C 2、A 、 、 二、填空题 5、 、 3、D 、 4、B 、

2 a a

6、- 9 、-3 、-

7、4011 、

8、a<2 、 <

9、 、

3 a 3

10、 ? 、

7 8

三、解答题(如有其它正确解法,请参照给分) 解答题(如有其它正确解法,请参照给分) 11、如图,Rt△ABC、Rt△ABD、 Rt△ABE 中,有一条相等的边 AB, 、如图, 、 、 , ∠BAC=∠BAD=∠E=30°。 = = = ° E 设 AB=a,AD= = , =

AB a 2 3a = = cos 30° 3 3 2
A

C B D

BE=2a = ∴ 其斜边按从大到小的比是 2: : ∵ 三角形相似 : : ∴ 面积比 12:4:3

2 3 : 1 (5 分) 3

11 题图

(10 分)

12、 )设安排生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品为(50-x)件,根据题意,得 、 (1) 种产品为( - ) 根据题意, (

?9 x + 4(50 ? x ) ≤ 360 ? ?3 x + 10(50 ? x ) ≤ 290
是自然数, 解得 30≤x≤32。因为 x 是自然数,所以 x 只能取 30,31,32。 ≤ ≤ 。 , , 。 所以按要求可设计出三种生产方案: 所以按要求可设计出三种生产方案: 方案一: 方案一:生产 A 种产品 30 件,生产 B 种产品 20 件; 方案二: 方案二:生产 A 种产品 31 件,生产 B 种产品 19 件; 方案三: 方案三:生产 A 种产品 32 件,生产 B 种产品 18 件;

( 5 分)

(10 分)

种产品( - ) 由题意, (2)设生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(50-x)件,由题意,得 ) y=700x+1200(50-x)=- )=-500x+60000 = + ( - )=- + 的增大而减小。 因为 a<0,由一次函数的性质知,y 随 x 的增大而减小。 < ,由一次函数的性质知, 因此,在 30≤x≤32 的范围内,当 x=30 时,的范围内,当 x=30 时,取最大值,且 y 最大值= 因此, ≤ ≤ 的范围内, = 的范围内, = 取最大值, 最大值= 45000 (15 分) 13、 、 设三个连续的正整数的立方和为 f (n) = (n ? 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3 ∴ ∵ ∴ ∴ (n≥2) ≥

f (1) = 36 ; f (2) = 99 f (1) , f (2) 的最大公约数是 9 f (1) , f (2) …… f (n) 的最大公约数不超过 9 现证明 f (n) 是 9 的倍数

( 5 分)

f (n) = (n ? 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3
= 2n(n2+3)+n3 ( )

( 7 分)

= n(3n2+6) ( ) = 3n(n2-1+1+2) ( + + ) = 3n(n-1) (n+1)+9n ( - ) ( ) 整除 ∴ f (n) 能被 9 整除 ∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是 9 (15 分) (10 分) 又 ∵ 当 n≥2 时,(n-1) n(n+1)是三个连续的整数的积,所以必是 3 的倍数,所以 3n(n-1) ≥ - ( )是三个连续的整数的积, 的倍数, ( - ) (n+1)能被 9 ( )

14、由已知得 CD=15,CE=24 、 = , = 相似, (1)由题设知∠ADB=∠AEC=90°,所以△ADB 与△AEC 相似, ) = = ° 故

AD BD AB = = … ① AE CE AC 由①有
( 5 分)

? AD 5 ? AE = 6 ? AD = 15 ? AE + 7 5 ? ? ? AE = 18 ? = ? AD + 15 6
于是, 的中点, 于是,点 D 是 Rt△AEC 的中点,故 DE= =

1 AC=15 = 2

(10 分)

(2)法一:由条件知:G、F、E、D;E、D、C、B 四点共圆, )法一:由条件知: 、 、 、 ; 、 、 、 四点共圆, = = , ∥ (15 分) 则∠AFG=∠ADE=∠EBC,故 GF∥BC 法二: 中点, 或(法二:连 DF,则 DF∥CE,由(1)知 D 为 AC 中点, , ∥ , ) 中点, 故 F 为 AE 中点,所以 AF=9 ? AG= =

54 5

54 AG 9 故 = 5 = AC 30 25

AG AF AF 9 = = ? GF∥BC , ∥ AB 25 AC AB
∵H 为△ABC 垂心 ∴AH⊥BC ⊥ ∵GF∥BC ∥ ∴AH⊥GF ⊥ 15、 本题满分 20 分) (本题满分 、 ( )=1…… ① f(1)= …… ( )=



(20 分)

( 5 分)

? ? ?a + b + c = 1 ?b = ? ?? ② 由①知: ? ?a ? b + c = 0 ?c = ? ? ?
故 y = ax +
2

1 2 1 ?a 2

(10 分)

1 1 x + ?a 2 2 1 1 2 ∴ ax + x + ? a ≥x 恒成立 2 2 1 1 1 1 ? ax 2 ? x + ? a ≥0 恒成立 ? ? = ? 4a ( ? a ) ≤0 2 2 4 2 1 2 1 ? ( a ? ) ≤0 故 a = 4 4
?c= 1 4
2

(15 分)

? x + 1? 也恒成立。 代入检验 y≤ ? ≤ ? 也恒成立。 ? 2 ? ? y= 1 2 1 1 x + x+ 4 2 4
(20 分)


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