导数中恒成立问题

导数中恒成立问题
1.已知函数 f ( x) ?

x?a ，其中 a 为实数． (1)当 a ? 2 时，求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程； ln x

(2)是否存在实数 a ，使得对任意 x ? (0,1) ? (1,??) ， f ( x) ? 求出 a 的值并加以证明．

x 恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，
所以切线方程为 y ? 1 ( x ? 2)
ln 2
x ? 2 ? ln x ， 2 x

（1）a ? 2 时， f ( x) ? x ? 2 ， f ?( x) ? x ln x ? x ? 2 ， f ?(2) ? 1 ， 又 f (2) ? 0
ln x x ln 2 x ln 2

（2） 1°当 0 ? x ? 1 时，ln x ? 0 ， 则 x?a ? x ?a ? x?
ln x

x ln x 令 g ( x) ? x ? x ln x ，g ?( x) ? 2

再令 h( x) ? 2 x ? 2 ? ln x ， h?( x) ?

1 x

?

1 ? x

x ?1 ?0 x

当 0 ? x ? 1 时 h ?( x) ? 0 ，∴ h( x) 在 (0,1) 上递减，∴当 0 ? x ? 1 时， h( x) ? h(1) ? 0 ， ∴ g ?( x) ?

h( x ) 2 x

? 0 ，所以 g ( x) 在 (0,1) 上递增， g ( x) ? g (1) ? 1 ， 所以 a ? 1
x?a ? x ? a ? x ? x ln x ? a ? g ( x) ln x

2° x ? 1 时， ln x ? 0 ，则

由 1°知当 x ? 1 时 h ?( x) ? 0 ， h( x) 在 (1,??) 上递增 当 x ? 1 时， h( x) ? h(1) ? 0 ， g ?( x) ? 所以 g ( x) 在 (1,??) 上递增，∴ g ( x) ? g (1) ? 1 ∴ a ? 1 ； 由 1°及 2°得： a ? 1

h( x ) 2 x

?0

2 ax 2.已知函数 f ( x) ? ( x ? x ? )e (a ? 0) （1）求曲线 y ? f ( x)在点A(0, f (0) 处的切线方程； （2）当 a<0 时，求

1 a

函数 f ( x) 的单调区间； （3）当 a>0 时，若不等式 f ( x) ? 解： f ?( x) ? (2 x ? 1)e
ax

3 3 ? 0对x ? [? ,?? ) 恒成立，求 a 的取值范围。 a a

1 ? ( x 2 ? x ? ) ? e ax ? a ? e ax (ax ? 2)( x ? 1) a 1 1 1 1 （1） f (0) ? ? , f ?(0) ? ?2 ∴曲线 f ( x)在点 A(0,? ) 处的切线方程为 y ? ? ?2 x 即 2 x ? y ? ? 0 a a a a 2 （2）令 f ?( x) ? 0, 即(ax ? 2)( x ? 1) ? 0, 解得 x ? ? , 或x ? 1. a 2 2 2 当 a ? ?2时,? ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 得 ? ? x ? 1; 令f ?( x) ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1. a a a 2 2 f ( x)在(?? ,? ), (1,?? ) 上为减函数，在 ( ? ,1) 上增函数。 a a 2 ? ?( x) ? e ? 2 x (?2)( x ? 1) 2 ? 0 在 R 上恒成立。 f ( x)在(??, ?) 上为减函数。 当 a ? ?2时,? ? 1, f a 2 2 2 当 ? 2 ? a ? 0时,? ? 1. 令 f ?( x) ? 0, 得1 ? x ? ? ; 令f ?( x) ? 0, 得x ? 1或x ? ? a a a 2 2 f ( x)在(?? ,1), (? ,?? )上为减函数 ; 在 (1,? ) 上为增函数。 a a 2 2 综上，当 a ? ?2 时， f ( x)的单调递增区间为 (? ,1), 单调递减区间为 (?? ,? ), (1,?? ) 。 a a

当 a ? ?2时, f ( x)单调递减区间为 (??,??) 当 ? 2 ? a ? 0时, f ( x)的单调递增区间为 (1,? ). 单调递减区间为（ ? ?,1 ） ， （? （3）a>0 时，列表得：

2 a

2 ,?? ） a

x
f ?( x)
f ( x)
又 f (? ) ?

3 2 ( ? ,? ) a a
+ ↗

?

2 a

2 ( ? ,1) a
－ ↘

1 0 极小值

（1，+ ? ） + ↗

0 极大值

3 a

9 ? 2a ?3 1 3 1 e ? 0, f (1) ? ? e a ? 0, 从而，当 x ? ? 时,函数 f ( x)在x ? 1时取得最大值 f (1) ? ? e a 2 a a a a
3 3 1 3 所以得 ? e a ? ? 0, 解得 0 ? a ? ln 3 从而 a 的取值范围为 (0, ln 3] ? 0对x ? [? ,?? ) 恒成立， a a a a

由题意， 不等式 f ( x) ?

3.已知函数 f ( x) ? ln x ? 值为

a ， （1）当 a ? 0 时，判断 f ( x ) 在定义域上的单调性； （2）若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小 x

3 ，求 a 的值； （3）若 f ( x) ? x2 在 (1, ??) 上恒成立，求 a 的取值范围 2 1 a x?a 解： （1）由题意： f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ，且 f ?( x) ? ? 2 ? ． x x x2

? a ? 0,? f ?( x) ? 0 ，故 f ( x) 在 (0, ??) 上是单调递增函数．
（2）由（1）可知： f ?( x) ?

x?a x2

① 若 a ? ?1 ，则 x ? a ? 0 ，即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立，此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为增函数，

3 3 ?[ f ( x)]min ? f (1) ? ?a ? ,? a ? ? （舍去） ． 2 2
② 若 a ? ? e ，则 x ? a ? 0 ，即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立，此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为减函数，

?[ f ( x)]min ? f (e) ? 1 ?

a 3 e ? ? a ? ? （舍去） ． e 2 2

③ 若 ?e ? a ? ?1 ，令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a ， 当 1 ? x ? ? a 时， f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (1, ?a) 上为减函数， 当 ?a ? x ? e 时， f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (?a, e) 上为增函数，

?[ f ( x)]min ? f (?a) ? ln(? a) ? 1 ?
（3）? f ( x) ? x ,? ln x ?
2

3 ?a?? e 2

综上可知： a ? ? e ．

a ? x 2 ．又 x ? 0,?a ? x ln x ? x2 x
2

令 g ( x) ? x ln x ? x , h( x) ? g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x , h?( x) ?
3

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? ， x x

? h( x) 在 [1, ??) 上是减函数，? h( x) ? h(1) ? ?2 ，即 g ?( x) ? 0 ，

a ? ?1 令 a ? ?1 得 a ? g ( x ) ， ∴当 f ( x) ? x2 在 (1, ??) 恒成立时， ? g ( x) 在 [1, ??) 上也是减函数， ? g ( x) ? g (1) ? ?1 ．
4.已知函数 f ( x) ? 2 x ? ln x ? 2 ． （１）求 f ( x ) 的单调区间； （２）若不等式 数 m 的取值组成的集合．
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x?m ? x ln x

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恒成立，求实

解： （１） 由已知得 x ? 0 ． 因为 f / ( x) ? 1 ? 1 ?
x x
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x ? 1 ，所以当 x ? (0,1) ? x
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f / ( x) ? 0, x ? (1, ??), ? f / ( x) ? 0 ．

故区间 (0,1) 为 f ( x ) 的单调递减区间，区间 (1, ??) 为 f ( x ) 的单调递增区间． （２）①当 x ? (0,1) 时，

x?m ? x ? m ? x ? x ln x ． ln x

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令 g ( x) ? x ? x ln x ，则 g / ( x) ? 1 ?

ln x 1 2 x ? ln x ? 2 f ( x) ． ? ? ? 2 x x 2 x 2 x
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由（１）知当 x ? (0,1) 时，有 f ( x) ? f (1) ? 0 ，所以 g / ( x) ? 0 ，

即得 g ( x) ? x ? x ln x 在 (0,1) 上为增函数，所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ，所以 m ? 1 ． ②当 x ? (1, ??) 时，

x?m ? x ? m ? x ? x ln x ． ln x

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由①可知，当 x ? (1, ??) 时， g ( x) ? x ? x ln x 为增函数，所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ， 所以 m ? 1 ． 综合以上得 m ? 1 ．故实数 m 的取值组成的集合为 {1}
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5.已知函数 f ( x) ? loga x和g ( x) ? 2 loga (2 x ? 4), (a ? 0, a ? 1). （I）若函数 y ? f ( x)与函数y ? g ( x)的图像在 x ? x0处的切线平行 , 求x0 的值； （II）设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x),当x ? [1,4]时, F ( x) ? 2恒成立, 求实数a 的取值范围 解： （ I ） ? f ?( x) ?

1 4 log a e, g ?( x) ? log a e x 2x ? 4

?函数f ( x)和g ( x)的图象在 x ? x0 处的切线互相平行 ? x0 ? 2

? f ?( x0 ) ? g ?( x0 )

?

1 4 loga e ? loga e x0 2 x0 ? 4

(2 x ? 4) 2 , x ? [1,4] （II）? F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2 loga (2x ? 4) ? loga x ? loga x
令 h( x ) ?

16 4( x ? 2)( x ? 2) (2 x ? 4) 2 16 , x ? [1,4] ? 4 x ? ? 16, x ? [1,4] ? h?( x) ? 4 ? 2 ? x x2 x x
当 2 ? x ? 4时, h?( x) ? 0. h( x)在[1,2)是单调减函数 , 在(2,4] 是单调增函数。

?当1 ? x ? 2时, h?( x) ? 0,

? h( x) min ? h(2) ? 32,? h( x) max ? h(1) ? h(4) ? 36 ?当0 ? a ? 1时, 有F ( x) min ? loga 36, 当a ? 1时, 有F ( x) min ? loga 32.
?当x ? [1,4]时, F ( x) ? 2 恒成立，

? F ( x)min ? 2

? 满足条件的 a的 值满足下列不等式组 ? ?

0 ? a ?1 ?a ? 1, ② ; ①，或 ? ?log a 32 ? 2. ?log a 36 ? 2

不等式组①的解集为空集， 解不等式组②得 1 ? a ? 4 2

综上所述， 满足条件的 a的取值范围是: 1 ? a ? 4 2.

6.函数 f ( x) ? aex , g ( x) ? ln x ? ln a, 其中 a 为常数，且函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图像在其与坐标轴的交点处的切 线互相平行． （1）求函数 y ? g ( x) 的解析式； （2）若关于 x 的不等式 x ? m ?
g ( x) x

恒成立，求实数 m 的取值范围

1 ， y ? f ( x) 的图像与坐标轴的交点为 (0, a ) ， y ? g ( x) 的图像与坐标轴的交点为 x 1 ( a, 0) 由题意得 f / (0) ? g / (a), 即 a ? ，又? a ? 0 ? a ? 1 ? g ( x) ? ln x a x?m ? x ? m ? x ? x ln x （2）由题意 g ( x) ? 0 ? x ? 0, x ? 1 当 x ? (1, ??) 时， ln x
解： （1） f ( x) ? ae , g ( x) ?
/ x /

令 ? ( x) ? x ? x ln x

?? / ( x) ?

1 1 2 x? ln x? 2 / 令 h( x) ? 2 x ? ln x ? 2,? h ( x) ? (1 ? ) x x 2 x

当 x ? (1, ??) 时， h/ ( x) ? 0 ? h( x) 单调递增。? h( x) ? h(1) ? 0 由 m ? x ? x ln x 在 x ? (1, ??) 上恒成立， 得 m ? ? (1) ? 1 当 x ? (0,1) 时，

x?m ? x ? m ? x ? x ln x ln x

可得 ? ( x) ?
/

h( x ) ? 0 ?? ( x) 单调递增。 2 x
综上，可知 m ? 1

由 m ? x ? x ln x ? ? ( x) 在 x ? (0,1) 上恒成立，得 m ? ? (1) ? 1
3 2 2

7.设函数 f(x)=x +ax －a x+m(a>0).（1）求函数 f(x)的单调区间； （2）若函数 f(x)在 x∈[－1，1]内没有极 值点，求 a 的取值范围； （3）若对任意的 a∈[3,6]，不等式 f(x)≤1 在 x∈[－2,2]上恒成立，求 m 取值范围 解： （1）∵f′(x)=3x +2ax－a =3(x－ 当－a<x<
2 2

a a )(x+a),又 a>0，∴当 x<－a 或 x> 时 f′(x)>0； 3 3

a a a 时， f′(x)<0.∴函数 f(x)的单调递增区间为 （－∞， －a） ， ( ， +∞)， 单调递减区间为(－a， ). 3 3 3
2 2

? f ?(?1) ? 0 ? （2）由题设可知，方程 f′(x)=3x +2ax－a =0 在[－1，1]上没有实根∴ ? f ?(1) ? 0 ，解得 a>3. ?a ? 0 ?

（3）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知

a ∈[1，2]，－a≤－3 3
2

又 x∈[－2,2]

∴f(x)max=max{f(－2),f(2)} 而 f(2)－f(－2)=16－4a <0 2 ∴f(x)max=f(－2)=－8+4a+2a +m 又∵f(x)≤1 在[－2，2]上恒成立 2 2 ∴f(x)max≤1 即－8+4a+2a +m≤1 即 m≤9－4a－2a ,在 a∈[3，6]上恒成立 2 ∵9－4a－2a 的最小值为－87 ∴m ≤－87.

ln x ? x （1）求函数 f ( x) 的最大值； （2）设 m ? 0 ，求 f ( x ) 在 [m, 2m] 上的最大值； x 1? n 1? n ? ? 2 恒成立． (3) 试证明：对 ?n ? N ，不等式 ln n n 1 ? ln x ? 1 令 f '( x) ? 0 得 x 2 ? 1 ? ln x 解： （１）∵ f '( x) ? 显然 x ? 1 是上方程的解 x2 1 2 令 g ( x) ? x ? ln x ?1 ， x ? (0, ??) ，则 g '( x) ? 2 x ? ? 0 ∴函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调 ∴ x ? 1 是方程 x
8．已知函数 f ( x) ?

f '( x) ? 0 的唯一解 ∵当 0 ? x ? 1 时 f '( x) ?

1 ? ln x ? 1 ? 0 ，当 x ? 1 时 f '( x) ? 0 x2

∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ??) 上单调递减 ∴当 x ? 1 时函数有最大值 f ( x)max ? f (1) ? ?1 （２）由（１）知函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ??) 上单调递减

1 ln 2m ? 2m 时 f ( x ) 在 [m, 2m] 上单调递增 ∴ f ( x)max ? f (2m) ＝ 2 2m ln m ?m ②当 m ? 1 时 f ( x ) 在 [m, 2m] 上单调递减 ∴ f ( x)max ? f (m) ＝ m 1 ③当 m ? 1 ? 2m ，即 ? m ? 1 时 f ( x)max ? f (1) ? ?1 2 ln x ? x ? ?1 ，当且仅 （３）由（１）知当 x ? (0, ??) 时， f ( x)max ? f (1) ? ?1 ∴在 (0, ??) 上恒有 f ( x) ? x
故①当 0 ? 2m ? 1 即 0 ? m ? 当 x ? 1 时“＝”成立 ∴对任意的 x ? (0, ??) 恒有 ln x ? x( x ? 1)

1? n 1? n 1? n 1? n 1? n 1? n ? ( ? 1) ? 2 即对 ?n ? N ? ，不等式 ln ? 2 恒成立． n n n n n n 1? x , 其中 a 为大于零的常数。 （1）若函数 f ( x)在区间 9．已知函数 f ( x) ? ln x ? [1,??) 内调递增，求 a ax
∵ ∴ ln 的取值范围； （2）求函数 f ( x) 在区间[1，2]上的最小值。 （3）求证：对于任意的 n ? N , 且n ? 1时, 都有 ln n ?
*

1? n ?1 n

解： f ?( x) ?

ax ? 1 1 ( x ? 0). （1）由已知，得 f ?( x) ? 0在[1,??) 上恒成立，即 a ? 在[1,?? ) 上恒成立 2 x ax 1 又? 当 x ? [1,?? )时, ? 1, ? a ? 1.即a的取值范围为 [1,??) x

1 1 1 ? ? ? ? 成立 2 3 n

（2）当 a ? 1 时，? f ?( x) ? 0 在（1，2）上恒成立，这时 f ( x) 在[1，2]上为增函数

1 , ? f ?( x) ? 0 在（1，2）上恒成立， 2 1 1 这时 f ( x) 在[1，2]上为减函数? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ? . 当 ? a ? 1 时， 令 f ?( x) ? 0, 得x ? 1 ? (1,2). 2 2a a 1 1 又? 对于 x ? [1, )有 f ?( x) ? 0, 对于 x ? ( ,2]有f ?( x) ? 0, a a 1 1 1 1 1 ; ? f ( x) min ? f ( ) ? ln ? 1 ? . 综上， f ( x) 在[1，2]上的最小值为①当 0 ? a ? 时, f ( x) mim ? ln 2 ? 2 2a a a a 1 1 1 时, f ( x) min ? 0 ②当 ? a ? 1 时， f ( x ) min ? ln ? 1 ? . ③当 a ? 1 2 a a 1 n ? 1. （3）由（1） ，知函数 f ( x) ? ? 1 ? ln x在[1,?? ) 上为增函数，当 n ? 1时,? x n ?1 n 1 ?f( ) ? f (1), 即 ln n ? ln( n ? 1) ? , 对于 n ? N * , 且n ? 1 恒成立 n ?1 n

? f ( x) min ? f (1) ? 0 当 0 ? a ?

ln n ? [ln n ? ln(n ? 1)] ? [ln(n ? 1) ? ln(n ? 2)] ? ? ? [ln 3 ? ln 2] ? [ln 2 ? ln1]
? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . ? 对于n ? N * , 且n ? 1时, ln n ? ? ? ? ? 恒成立 n n ?1 3 2 2 3 n