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2017届高三理科数学(重点班)一轮复习课件:第3篇第7节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系_图文

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第7节 圆锥曲线的综合问题 最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关 系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单 应用. 3.理解数形结合的思想. 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 知识链条完善 把散落的知识连起来 【教材导读】 若直线和圆锥曲线只有一个公共点,则直线和圆锥曲线相切吗? 提示:不一定相切,如图(1)、(2)所示. 即与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点;与抛物线对 称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点,但此时它们的位置关系是 相交而不是相切. 知识梳理 1.直线和圆锥曲线的位置关系 已知直线 l:ax+by+c=0,圆锥曲线 M:f(x,y)=0. ?ax ? by ? c ? 0, 联立方程组 ? 消去 y,整理得 Ax2+Bx+C=0. ? f ( x, y) ? 0, (1)若 A=0 且 B≠0,则直线 l 和圆锥曲线 M 只有一个公共点. ①当曲线为双曲线时,直线 l 与双曲线的 渐近线 平行; ②当曲线为抛物线时,直线l与抛物线的 对称轴 平行或重合. (2)若A≠0,则Δ =B2-4AC. ①当Δ >0时,直线和圆锥曲线M有 两个不同的 ③当Δ <0时,直线和圆锥曲线M 没有 公共点. 公共点; ②当Δ =0时,直线和圆锥曲线M相切,只有 一个 公共点; 2.直线被圆锥曲线截得的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 = (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ] 1 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] (k 为直线斜率). 2 k 3.直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法 = (1 ? (1)涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,采用设而不求,利用弦长公 式计算弦长. (2)涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标,弦中点 坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化. (3)特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的,不要忽略 判别式,判别式 大于零 是检验所求参数的值是否有意义的依据. 【重要结论】 1.直线与椭圆位置关系的有关结论 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论 (1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切 线和一条与对称轴平行或重合的直线; (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切 线和一条与对称轴平行或重合的直线; (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与 对称轴平行或重合的直线. 3.直线与双曲线位置关系的有关结论 (1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交 点,两条切线和两条与渐近线平行的直线; (2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点,一条切线 和两条与渐近线平行的直线; (3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,两条与渐 近线平行的直线. 夯基自测 x2 y 2 1.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 9 4 A ) (A)相交 (C)相离 (B)相切 (D)不确定 解析:y=kx-k+1=k(x-1)+1, 显然直线恒过点A(1,1),而点A在椭圆内, 故直线和椭圆总相交. x2 y 2 2.双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k, a b 则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( D (A)k>(C)k> b a ) (B)k< (D)- b a b b 或 k<a a b b <k< a a b b <k< . a a 解析:由双曲线渐近线的几何意义知- 3.过抛物线 y=2x2 的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2 等于 ( D ) (B)2 (A)-2 1 2 2 (C)-4 (D)- 1 16 解析:由 y=2x 得 x = 与 y=2x 交于 A(2 1 1 1 y,故抛物线的焦点坐标为 F(0, ),取直线 y= ,则其 2 8 8 1 1 1 1 1 1 1 , ),B( , ),所以 x1x2=(- )? =- . 4 8 4 8 4 4 16 4.已知圆 C 的圆心在抛物线 y =4x 上,且与直线 x+1=0 相切,则圆 C 必过定点 ( 2 A ) (A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1) 解析:抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,而动圆C与直线x+1=0相切, 即圆心C到准线的距离等于圆的半径r,故圆C过焦点F(1,0). x2 y 2 5.(2015 河南二模)过椭圆 + =1 的中心任作一直线交椭圆于 A,B 两 25 16 点,F 是椭圆的一个焦点,则△ABF 面积的最大值是 x2 y 2 解析: + =1,a=5,b=4,c=3, 25 16 . 如图,S△ABF=S△OBF+S△AOF, 则当直线与 y 轴重合时,面积最大, 故最大面积为 1 ?3?8=12. 2 答案:12 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】 (1)若过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,则这样 的直线有( (A)1 条 ) (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 解析:(1)满足题意的直线共有3条;直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的 直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).故选C.

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