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蚌埠一中2011-2012学年第二学期高二年级期中考试数学试题(文)

时间:2016-07-01


蚌埠二中 2015—2016 学年度第二学期期中考试

高二数学试题(文科)
(试卷分值:150 分 考试时间:120 分钟 ) 命题人:耿晓燕 注意事项: 第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置、第Ⅱ卷的答案做在答 题卷的相应位置上,否则不予计分。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的 轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆” ,那么( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 C. 甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 2.下面说法正确的是( )

1 1 ? 成立的充要条件 x y p ? q ”为假命题,则“ ? p ? ? q ”也为假命题。 B. 设 p、q 为简单命题,若“
A.实数 x ? y 是
2 C. 命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 则 x ? 1 ”的逆否命题为真命题. D. 给定命题 p、q,若 ? p 是假命题,则“p 或 q”为真命题.

x2 y2 ? ? 1 的焦距是( 3. 双曲线 2 m ? 12 m 2 ? 4



A.4 B. 2 2 C.8 D.与 m 有关 4.命题“两条对角线不垂直的四边形不是菱形”的逆否命题是( ) A.若四边形不是菱形,则它的两条对角线不垂直 B.若四边形的两条对角线垂直,则它是菱形 C.若四边形的两条对角线垂直,则它不是菱形 D.若四边形是菱形,则它的两条对角线垂直 5.在同一坐标系中,方程

x2 y2 ? ? 1与ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是( a2 b2



-1-

6. 抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点坐标为( A.(1,0) B.(-1,0)

) C.(0,1) D.(0,-1)

7.已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,PQ 是过点 F1 的弦,且 PQ 的倾斜角为 ? , 16 9

那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为( ) A.16 B.12 C.8 D. 随 ? 大小变化 8. 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0 )

5? ? 4? ? x2 x2 ? y 2 ? 1 ;④ ? y 2 ? 1 。在曲线上存在点 P 满足 MP ? NP 的所有曲线方程是 ③ 2 2
( ) A. ①②③④
2

9.已知两点 M ?1, ? ,N ? ? 4,? ? ,给出下列曲线方程:① 4 x ? y ? 1 ? 0 ;② x 2 ? y 2 ? 3 ;

? 5? ? 4?

B. ①③

C. ②④

D.②③④

10. 双曲线

x ? y 2 ? 1(n ? 1) 的两焦点为 F1 , F2 , P 在双曲线上且满足 n ) . | PF1 | ? | PF2 |? 2 n ? 2 ,则 ?PF1F2 的面积为( 1 A. B. 1 C. 2 D. 4 2
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分) 11.命题“ ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

. .

12.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 xf ' ( ) ,则 f ' ( ) ?

?

?

3

3

13.已知双曲线

4 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 2 3 a b

.

14.如图是 y ? f ( x) 的导数的图像,则正确的判断是 (1) f ( x) 在 (?3,1) 上是增函数 (2) x ? ?1 是 f ( x) 的极小值点 (3) f ( x) 在 ( 2,4) 上是减函数,在 (?1,2) 上是增函数

-2-

(4) x ? 2 是 f ( x) 的极小值点 以上正确的序号为 .

15.在曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 10 的切线中斜率最小的切线方程是____________________. 三、解答题(本大题 6 小题,满分 75 分) 16.(12 分) 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的一个焦点, a2 b2
3 2

并于双曲线的实轴垂直, 已知抛物线与双曲线的交点为 ( , 6 ) , 求抛物线的方程和双曲线的 方程。 17. (12 分)命题 p:关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 的解集为 ? ; 命题 q:函数 y ? (2a 2 ? a) x 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围. (1)p、q 至少有一个是真命题; (2)p∨q 是真命题且 p∧q 是假命题. 18. (12 分)已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? a (1)求函数的单调递减区间; (2)若 f ( x) 在区间 ?? 2,2?上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值。 19. (13 分)已知动点 P 与平面上两定点 A(? 2,0), B( 2,0) 连线的斜率的积为定值 ? (1)试求动点 P 的轨迹方程 C ; (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M.N 两点,当 | MN |?
3 2

1 . 2

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

20. (13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? nx ? 2 的图象过点 (-1, -6) , 且函数 g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的图象关于 y 轴对称. (1)求 m 、 n 的值及函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)若函数 h( x) ? f ( x) ? ax 在(-1,1)上单调递减,求实数 a 的取值范围。

21. (13 分)设椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标 a2 b2

原点, (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。

-3-

蚌埠二中 2015-2016 学年度高二第二学期期中考试 数学(文科)参考答案
一选择题 1.B 2.D 3.C 4.D 二填空题 11. ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0
2

5.A

6.C

7.A

8. D

9.A

10. B

12. ?

1 2

13.

5 3

14. (2) (3)

15 . 3x ? y ? 11 ? 0 三解答题 16. 解:由题意可知,抛物线的焦点在 x 轴,又由于过点 ( , 6 ) ,所以可设其方程为 ∴ p =2 所以所求的抛物线方程为 y 2 ? 4 x 所以所求双曲线的一个焦点为(1,0) ,所以 c=1,所以,设所求的双曲线方程为

3 2

y 2 ? 2 px( p?0)

?6 ? 3 p

3 ( )2 3 ( 6)2 而点 ( , 6 ) 在双曲线上,所以 2 2 ? ?1 2 a 1? a2 4 2 2 所以所求的双曲线方程为 4 x ? y ? 1 . 3
x2 y2 ? 2? ?1 a 1? a2
17.解:p 命题为真时,?= <0,即 a> ,或 a<-1.①

解得 a ?
2

1 4

q 命题为真时,2 -a>1,即 a>1 或 a<- .② (1)p、q 至少有一个是真命题,即上面两个范围的并集为 a<- 或 a> . 故 p、q 至少有一个为真命题时 a 的取值范围是 ?a a ? ?

? ?

1 1? 或a ? ? . 2 3?

(2) p∨q 是真命题且 p∧q 是假命题, 有两种情况: p 真 q 假时,<a≤1; p 假 q 真时, -1≤a<.

? 1 1? ? a ? 1或 - 1 ? a ? ? ? . 2? ? 3 2 18. 解: (1)因为 f ' ( x) ? ?3x ? 6 x ? 9 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 , 所以函数的单调递减区间为 (??,?1), (3,??) 2 (2)因为 f ' ( x) ? ?3x ? 6 x ? 9 ,且在 (?1,3) 上 f ' ( x) ? 0 , 所以 (?1,3) 为函数的单调递增区间,而 f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a, f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a ,所以 f (2) ? f (?2) 所以 f ( 2) 和 f (?1) 分别是 f ( x) 在区间 ?? 2,2?上的最大值和最小值 于是 f (2) ? 22 ? a ? 20 ,所以 a ? ?2 ,
故 p∨q 是真命题且 p∧q 是假命题时,a 的取值范围为 ?a
-4-

所以 f (?1) ? ?7 ,即函数在区间 ?? 2,2?上的最小值为 ? 7 19. 解: (1)设点 P( x, y) ,则依题意有

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

x2 ? y 2 ? 1,由于 x ? ? 2 , 整理得 2 x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ? 2) . 所以求得的曲线 C 的方程为 2
? x2 ? y 2 ? 1 ,消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 , (2)由 ? ?2 ? y ? kx ? 1 ?
解得 x1=0, x2= x1 ? 0, x2 ?

?4k ( x1 , x2 分别为 M,N 的横坐标) 1 ? 2k 2 4k 4 2 2 |? 2, 由 | MN |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 1 ? k | 2 3 1 ? 2k 得 k ? ?1 ,所以直线 l 的方程 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

20.解: (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6) ,得 m-n=-3, 3 2 2 由 f(x)=x +mx +nx-2,得 f′(x)=3x +2mx+n, 2 则 g(x)=f′(x)+6x=3x +(2m+6)x+n; 而 g(x)图象关于 y 轴对称,所以-
2

2m ? 6 =0,所以 m=-3,代入①得 n=0. 2?3

于是 f′(x)=3x -6x=3x(x-2). 由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<0, 故 f(x)的单调递增区间是(-∞,0) , (2,+∞) ; 由 f′(x)<0 得 0<x<2, 故 f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)解: 由 h' ( x) ? 3x ? 6 x ? a ? 0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x -6x 对 x∈(-1,1)恒成 2 立. ∵-1<x<1,∴3x -6x<9,∴只需 a≥9.∴a≥9.
2
2

21. 解:(1)因为椭圆 E:

2 ?4 ? 2 2 ? ?a b 所以 ? ?6 ? 1 ? ? a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2 ?1 1 ?1 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? a2 8 ? ?1 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 1 1 8 4 b ?4 ? ? ?1 ? ? ? b2 4

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 且 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 得 ? ? 1 ? 4 ?8 2 2 2 2 2 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0 4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 , ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

-5-

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? m2 ? 2 3m2 ? 8 2 2 2 2 2 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 k ? ,所以 ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 8 ? 3m ? 8 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?
8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m ? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线, 3 3 3 m m2 m2 8 2 6 2 ? ? ,r ? 所以圆的半径为 r ? ,r ? ,所求的圆为 2 2 2 3 m ? 8 1 ? k 3 3 1? k 1? 8 8 2 6 2 6 x 2 ? y 2 ? ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m? ? ,而当切线的斜率 3 3 3 x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( 不存在时切线为 x ? ? 与椭圆 ,? )或 8 4 3 3 3 ??? ? ??? ? 8 2 6 2 6 (? ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的 3 3 3 ??? ? ??? ? 任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . m2 ?

-6-


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