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2010年高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案.doc

时间:2017-03-30

1、向量的概念及运算 一、考纲要求: (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量 和向量相等的含义,理解向量的几何表示; (2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义; ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两 个向量共线的含义; ③了解向量的线性运算性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义; 二、知识梳理: 1.向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有 向线段的起点与终点的大写字母表示,如: AB .几何表示法 AB , a ; 坐标表示法 a ? xi ? y j ? ( x, y) 。向量的大小即向量的模(长度) ,记作 | AB |.即向量的大小,记作| a |。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量 长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行.
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零向量 a = 0 ? | a |=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于 任何向量, 故在有关向量平行 (共线) 的问题中务必看清楚是否有“非 零向量”这个条件。 (注意与 0 的区别) ③单位向量 模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1。 ④平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。 任意一组平行向量都可以移到同一 直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作 a ∥ b 。由于 向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一 直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点 可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的 “共线” 、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平 行”是不一样的. ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合, 记为 a ? b 。大小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ? 2.向量的运算 (1)向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。 规定:
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? x1 ? x 2 。 ? y1 ? y 2

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(1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向 量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线, 而差向量是另一条对 角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接” ,由第一个向量的起点 指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和; 差向量是 从减向量的终点指向被减向量的终点. 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首 尾连接时,用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 。 AB ? BC ? CD ??? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”

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(2)向量的减法 ①相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向 量. 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量。 关于相反向量有: (i)
? ? ? (?a ) = a ;
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(ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ; (iii) 若 a 、 b 是 互 为 相 反 向 量 , 则
? ? ? ? ? ? ? a =? b ,b =? a ,a +b =0 。

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②向量减法 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,
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记作: a ? b ? a ? (?b ) .求两个向量差的运算,叫做向量的减法. ③作图法: (a 、 a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量
? 。 b 有共同起点)

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(3)实数与向量的积 ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向 规定如下:
? (Ⅰ) ?a ? ???a;

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(Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的 方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律. 3.两个向量共线定理:
? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。

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4.平面向量的基本定理 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的 任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使:a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向 量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
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三、课前小题训练 1、已知向量 a,b 且 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则向量 x=_____ 2 、 如 图 , 设 点
A

???

P,Q

是 线 段

BC

的 三 等 分 点 ,

B

C P Q

若 AB ? b, AC ? c, 则 AP ? _______, AQ ? _______ (用 b, c 表示) 3、已知 e1 , e2 是两个不共线的向量, a ? 2e1 ? e2 , b ? ke1 ? e2 , 若 a 与 b 是共 线向量,则实数 k=__________. 4、 ( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位: 牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F2 成 600 角,且 F1 , F2 的大 小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 _____
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5.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP , 则下面结论正确的是______ ①. PA ? PB ? 0 ② PC ? PA ? 0
??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ?

③. PB ? PC ? 0 ④. PA ? PB ? PC ? 0
▲ .

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? ? ? ? ? ? 6、 (江苏卷 5) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ?

??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 2 1 7、在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? b ? c 3 3

四、例题分析 题型一、向量的基本概念 1、判断下列命题的真假; (1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量; (2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件; (3)向量 AB 与 DC 是共线向量,则 A,B,C,D 必在同一直线上。 (4) a与b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线。 (5)四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB ? DC . 练习 1. (1)给出下列命题: ①若| a |=| b |,则 a = b ; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a = b , b = c ,则 a = c ; ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ; 其中正确的序号是 。
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( 2 )设 a 0 为单位向量, ( 1 )若 a 为平面内的某个向量,则 则 a =| a |·a 0 ; (3) 若 a 与 a 0 平行且| a |=1, a =| a |·a 0 ;(2)若 a 与 a0 平行, 则 a = a 0 。上述命题中,假命题个数是_____________ 题型二:平面向量的运算法则 例 2. (1)如图所示,已知正六边形 ABCDEF,O 是它的中心, 若 BA = a , BC = b ,试用 a , b 将向量 OE , BF , BD , FD 表示出来。
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(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则, 用向量 a , b 来表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三 角形的边即可。 因为六边形 ABCDEF 是正六边形,所以
A F

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它的中心 O 及顶点 A,B,C 四点构成平行四 边形 ABCO, 所以 BA ? BC ? BA ? AO ? BO , BO = a + b ,
??? ? ??? ? ? ? OE = BO = a + b ,
??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ?
?
B

a O b C D E

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由于 A,B,O,F 四点也构成平行四边形 ABOF,所以 BF = BO +
? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? OF = BO + BA = a + b + a =2 a + b ,

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同样在平行四边形 BCDO 中, BD = BC ? CD = BC ? BO = b +( a + b )= a +2 b , FD = BC ? BA = b - a 。
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点评:其实在以 A,B,C,D,E,F 及 O 七点中,任两点为起点 和终点,均可用 a , b 表示,且可用规定其中任两个向量为 a , b , 另外任取两点为起点和终点,也可用 a , b 表示。 例 3、如图所示,OADB 是以向量 OA ? a, OB ? b 为边的平行四边形, 点 C 为对角线 AB,OD 的交点,又 BM= BC,CN= CD,试用 a , b 表示
???? ? ???? ???? ? OM , ON , MN
B D

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1 3

1 3

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O

A

例 4、如图所示,△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点,AE=2ED,
??? ? ? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? AB ? a, AC ? b (1)试用 a , b 表示向量 AD, AE, AF , BE, BF

(2)求证:B,E,F 三点共线。

(广东卷 8)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线 练习 2:1、

??? ? ??? ? ??? ? 段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F . 若 AC ? a ,BD ? b , 则 AF ? _____

2、在 △ABC 所在的平面内有一点 P, 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则△PBC 与△ABC 的面积之比是_________。 变式训练: (1) 、在△ABC 内有一点 P,满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,则 P 是△ABC 的________(填内心、外心、重心)反之是否成立? (2) 、 设 O 使△ABC 内部一点, 且 OA ? OC ? ?2OB ,则△AOB 与△AOC 的面积之比为_______。 3、△OA B 中,C 为直线 AB 上一点, AC ? ? CB ? ? ? ?1? ,求证:
??? ? ??? ? ???? OA ? ? OB OC ? 1? ?
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变式训练:在△A BC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2DB ,
??? ? ??? ? ??? ? ? CD ? ?CA ? ?CB, 则 的值为_______。 ?

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题型三、向量平行与垂直的条件 1、已知 OA, OB 不共线, OP ? aOA ? bOB .求证 A,P,B 三点共线的充要条 件是 a+b=1。 2、 (1)已知 a, b 是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量 c 满足
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? a ? b ???b ? c ? ? 0 ,求 c 的最大值。

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(2)在直角坐标系 xoy 中, i, j 分别是与 x 轴 y 轴平行的单位向量, 若直角△A BC 中, AB ? i ? j , AC ? 2i ? m j ,求实数 m 的值。 练习: 1、 (2009 江苏卷) 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30o ,| a |? 2,| b |? 3 , 则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b = 。 2、 ( 2009 全国卷Ⅰ理)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b = 0 ,则
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? a ? c? ?? b ? c? 的最小值为 __________
3 、 设 D 、 E 、 F 分 别 是 △ ABC 的 三边 BC 、 CA 、 AB 上的 点 , 且
???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (位置关 DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC __________

系) 4、 (2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且
OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA,则

点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 (A)重心 外心 垂心 (C)外心 重心 垂心 (B)重心 外心 内心 (D)外心 重心 内心

(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)
由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; 由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 ;

题型四、运用数量积求角或距离 1、已知 a ? 4, b ? 3. (1)若 a 与 b 夹角为 60。,求 ? a ? 2b ??? a ? 3b ? ;
? ? ? ? ? ? a 2 a ? 3 b ? 2 a ? b ? 61 (2)若 ,求 与 b 夹角 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a ? b ? 1. 3 a ? 2 b ? 3, 3 a ? b 的值。 b , 求 2、设向量 与 满足 ? ?

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练习:1、 (2009 陕西卷文)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足
??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? 2PM ,则 PA ? (PB ? PC) 等于_________。
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2、 (2009 全国卷Ⅰ文) 设非零向量 a 、b 、c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c , 则 ? a, b ?? —
b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 3、 ( 上 海 卷 5 ) 若 向 量 a , b 满 足 a ? 1, ? ? a?b ?

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? ,则 3

. 7

4.(北京卷 10)已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? b ? 4 ,那么 b? (2a ? b) 的 值为 _________ 0 .

5.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 600 ,a ? (2, 0) , b ? 1 则
a ? 2b ?

6.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 600 ,a=(2,0), | b | =1,则 | a+2b |=_________


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