nbhkdz.com冰点文库

数列求和及极限

时间:

数列求和及极限
【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法: (1)公式法; (2)通项转移法; (3)倒序相加法; (4)裂项相消法; (5)错项消法; (6)猜想、证明(数学归纳法) 。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限;求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中,除等差、等比的求和公式外,还应掌握自然数方幂数列的求和公式, 如:+++…+=
n(n ?1)(2n ?1) ;2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列,可通 6

过对数列通项结构特点的分析研究,将 2 其分解为若干个易求和的新数列的和、差;3、将 一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项易求和,这样 的数列常用倒序相加,如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到;4、利用裂项变 换改写数列的通项公式,通过消去中间项达到求和的目的;5、若通项是由一个等差数列与 一个等比数列相乘而得的数列, 其求和的方法类似于推导等比数列前 n 项和公式的方法, 通 过乘于等比数列的公比,在错位相减,转化为等比数列的求和问题;6、通过对、 、…进行归 纳,分析,寻求规律,猜想出,然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和:+++…+ (2n ?1) 2

【分析】这是一个通项为 (2n ?1) 2 的数列求前 n 项和,对通项公式展开可得:= 4n 2 ? 4n ?1 , 所以对原数列求和分解为 3 个新数列求和,可用方法 2 求和。 【简解】+++…+ (2n ?1) 2 =( 4 ?12 ? 4 ?1?1 )+( 4 ? 2 2 ? 4 ? 2 ?1 )+…+( 4n 2 ? 4n ?1 )=4(+++… +)–4· (1+2+3+…+n)+n=4。
n(n ?1)(2n ?1) n(n ?1) n(2n ?1)(2n ?1) 。 ? 4? ?n? 6 2 3

例2

2 求和: 1? 4 ? 7 ? 10 …+ 3nn? 5 25 125 5 ?1

2 的数列求前 n 项和,观察通项,不难发现它是一个等差数列 【分析】这是一个通项为 3nn? 5 ?1

与一个等比数列的积,可用方法 5 求和。
2 , 则 1 S = 1 ? 4 + … + 3n ? 5 ? 3n ? 2 , 所 以 【 简 解 】 设 = 1? 4 ? 7 ? 10 … + 3nn? ?1 5 25 125 5 n 5 25 5 5 n?1 5n
(1? 1 ) S n =1+ 3 ? 3 5 5 52

+ … +

3 ? 3n ? 2 =1+ 3 (1? 1 ? 1 ? … ? 1 5 5 52 5 5n 5 n?2
n ?1



2 =1+ 3 ? – 3n ? n 5 5

1? ( 1 ) n ?1 2 = 7 ? 12n ? 7 ,所以= 35 ? 12n ? 7 。 5 – 3n ? n 1 4 4?5 n 16 16?5 n?1 5 1? 5

例3

7 求 3 ,…的前 n 项和 , 5 , 12 12 ? 2 2 12 ? 2 2 ? 3 2
1 1 ) ,它属 2n ?1 2n ?1 = ? 6 = 6( ? 2 2 n n ?1 n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) n ( n ? 1 ) 1 ? 2 ??? n 6
2

【分析】先写出此数列的通项 a n ?

于用方法 4,即裂项求和。 【简解】因为 a n ?
6(2n ?1) 1 1 ) ,所以 =6[ ( 1- 1 ) + 2n ?1 = ? 6 = 6( ? 2 2 n n ?1 2 n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) n ( n ? 1 ) 1 ? 2 ??? n
2

( 1 - 1 )+…+( 1 - 1 )]= 6n 。 2 3 n n ?1 n ?1 例4 若= (?1) n (5n ? 3) ,求

【分析】由于所求的和与 n 的奇偶有关,所以按 n 的奇偶分两类分别求和。 【简解】= –2+7–12+17–22+27–…+ (?1) n (5n ? 3) ,当 n 为奇数时,= n 为偶数时,= n ? 5 = 5n 。 2 2 例5 在等比数列{}中, lim =( a1 ? a 2 ? a3 ??? a n )= 1 ,则的取值范围是多少? 4 n ??
n ?? n ??

(n ?1) ?5 –5n+3= 5n ?1 ,当 2 2

【分析】无穷等比数列的各项和是指前 n 项和的极限 lim 。当|q|<1 时, lim =

a1 ;当|q| 1? q

≥1 时,这一极限不存在。即在无穷等比数列中,|q|<1(q≠0)是 lim 存在的充
n ??

要条件。所以特别要注意公式 S= lim =
n ??

a1 a 的含义及适用范围。因此由 1 = 1 可 1? q 1? q 4

得:q=1-4,因为 0<|q|<1,所以 0<|1-4|<1,即:0<< 1 ,且≠ 1 。 2 4 【简解】得的取值范围是(0, 1 )∪( 1 , 1 ) 。 4 4 2 【复习练习】 一、 选择题 1、等差数列{}、{}的前 n 项和分别为与,若 A、1 B、
6 3
Sn a ? 2n ,则 lim n n ?? bn Tn 3n ?1

等于( ) D、 4 9 ( ) )A、

C、 2 3

2、等差数列{}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 130 B、170 C、210 D、260 3、等比数列{}中,>1,且前 n 项和满足 lim = 1 ,则的取值范围是( a1 n ??

A、 (1、+∞) B、 (1、4) C、 (1、2) D、 (1、 ) 4、根据时常调查结果,预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量(万件)近 似地满足= n (21n ? n 2 ? 5) (n=1,2,…,12) 。按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 90 万件的月份是 ( )

A、5 月、6 月 B、6 月、7 月 C、7 月、8 月 D、8 月、9 月 5、若一个等差数列的前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这 个数列有 ( ) A、13 项 B、12 项 C、11 项 D、10 项 二、填空题
n ?1 1、设 a>1,则 lim 1? a n ?1 = n ?? 1? a

。 = ? a a1 ?1 ,则 nlim ??
i ?1 i i n

2、已知等差数列{}的公差 d >0 ,首项>0,=



3、已知等比数列{}(∈R) , a1 ? a 2 =9, a1 ? a 2 ? a 3 =27,且= a1 ? a 2 ? a3 ??? a n (n=1、2…) , 则 lim =
n ??


4b n = a n ?b n

4、设 0<a<b,则 lim 5、若数列{}的通项为

n ??

。 。

1 (n∈N) ,则 lim ( a1 ? n 2 a n )= n(n ?1) n ??

三、解答题 8?1 , 8? 2 , 8n 1、 已知数列 2 …, , … 为其前 n 项的和, 计算得= 8 , = 24 , 2 2 2 2 2 9 25 1 ?3 3 ?5 (2n ?1) (2n ?1) = 48 ,= 80 。观察上述结果,推测计算的公式,并用数学归纳法证明。 49 81 2、设数列{}的前 n 项和为,若对所有的正自然数 n,都有=
n(a1 ? a n ) 。证明:{}是等差数 2

列。 3、 {}是正数组成的数列,前 n 项和为,且对所有 n∈,与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中 项。 (1)写出数列{}的前 3 项; (2)求数列{}的通项公式(写出推证过程) ; ( 3)令 a a = 1 ( n?1 + n ) ( n∈),求 lim(++…+-n)。 2 an a n?1 4、 设{}是正数组成的等比数列,前 n 项和为。 (1)证明: 否存在常数 c>0,使得
lg S n ? lg S n ? 2 < lg S n ?1 ; (2)是 2

lg(S n ? c) ? lg(S n ? 2 ? c) = lg(S n ?1 ? c) 成立?并证明你的结论。 2

5、 设{}为等比数列,= na1 ? (n ?1)a 2 ??? 2a n?1 ? a n ,已知=1,=4。 (1)求数列{}的首项和公 比; (2)求数列{}的通项公式。 6、 已知{}是首项为 2,公比为 1 的等比数列,前 n 项和为。 (1)用表示 S n ?1 ; (2)是否存 2 在自然数 c 和 k,使得
S k ?1 ? c >2 成立。 Sk ?c


数列求和及极限.doc

数列求和及极限 - 数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下

数列求和及极限资料.doc

数列求和及极限资料 - 雨塘 搀艘墨徊逼磷 骏丽酚攘乙 师萌遏玻循颧 长钾顿洞咸

名师推荐数列求和及极限.doc

名师推荐数列求和及极限 - 殿瓤 窿供坤蛰斌沏 篇蝉邻闪八 钱穗帝秃掏焉 裙盐王

数列求和与数列的极限专项训练.doc

数列求和与数列的极限专项训练_数学_高中教育_教育专区。数列求和与数列的极限专项训练 数列求和与数列的极限专项训练【例题精选】: 2 例 1:等差数列 200, 199 ,...

数列的求和与极限.doc

数列求和与极限 - 数列求和与极限 学习目的:掌握数列的前 n 项和,无穷等缩等比数列的各项和,以及极限的运算。 一、双基训练、 1、 1 1 1 ? ??? ? ...

求和式极限的几种常用方法.pdf

求和式极限的几种常用方法_数学_自然科学_专业资料。求和式极限的几种常用方法,等比数列求和极限方法,极限求和方法,数列求和极限方法,数列求和的常用方法,级数求和的...

数列的极限与运算.doc

不存在 【测量目标】等比数列求和、数列的极限与运算. 【考查方式】先求和,然后对和取极限. 【难易程度】中等 【参考答案】B 1 1? n 3 )? 3. 【试题...

数列、极限、数学归纳法 数列求和问题 教案.doc

数列、极限、数学归纳法 数列求和问题 教案 - 数列、极限、数学归纳法数列求和问题教案 贾光辉 教学目标 1.初步掌握一些特殊数列求其前 n 项和的常用方法. ...

数列、极限、数学归纳法数列求和问题.doc

数列、极限、数学归纳法数列求和问题 - 数列、极限、数学归纳法数列求和问题

高考数列求和的八种重要方法与例题_图文.ppt

4.裂项相消法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 5.拆项分组求和法 5.拆项分组求和法 6.并项求和法 6.并项求和法 热点题型1 递归数列与极限. ...

数列求和及极限.doc

数列求和及极限 - 抛今 谊求圈初礁笼 访寸憋尘内 集歇豆烛阎迫 邦蜒黑绎劲 胳

数列求和的八种重要方法与例题_图文.ppt

等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 5.拆项分组求和法 6.并项求和法 深化数列中的数学思想方法: 热点题型1:递归数列与极限.?...

数列与极限 (1).doc

数列与极限 (1)_数学_高中教育_教育专区。数列与极限 一、数列 1、定义:数列...[ ] ; 6 2 2 k ?1 k ?1 2、拆项求和(通项以分式形式出现) 常用的...

数列求和的几种方法(毕业论文).pdf

绪论数列是高中数学的重要内容,近十年的高考试题中,有关数列与极限的试题 约占满分的 10% .而数列求和又是考查的重点之一.许多考生对此感到无助.而且 有许...

数列求和与数列的极限专项训练.doc

数列求和与数列的极限专项训练 - 数列求和与数列的极限专项训练 【例题精选】:例

数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题).doc

数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)_高一数学_数学_高中教育...基本性质、通项公式,递推公 式、数列求和数列极限、简单的数列不等式证明等....

数列求和与数列的极限专项训练.doc

数列求和与数列的极限专项训练 - 数列求和与数列的极限专项训练 【例题精选】:

数列、极限、数学归纳法.doc

数列、极限、数学归纳法考试内容 数列.等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项...q 1? q (5)对于数列求和.主要掌握以下几种方法: ① 直接运用公式求和法;②...

数列的极限_图文.ppt

n ?? 1 n 评析:求一个数列前n项和的极限主要是确定和 的表达式.本题解题关键是先确定 ?bn ? 为等比数列,然后求和Sn的表达式, 再求极限. 归纳小结,提高...

数列求和的八种重要方法与例题_图文.ppt

相消法 5.拆项分组求和法 5.拆项分组求和法 6.并项求和法 6.并项求和法 深化数列中的数学思想方法: 深化数列中的数学思想方法: 热点题型1 递归数列与极限....