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y用平面向量基本定理(公开课)

时间:2018-05-23


平面向量基本定理

2018年5月23日星期三

一、课前准备: 复习1: 共线向量定理: (思考:为什么限定 a ? 0 向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有唯一一个
实数? , 使b ? ? a.

?)

(若a ? 0,当b ? 0时,?不唯一;当b ? 0时,?不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能
否作出向量2e1 ? 3e2 ?
d ? 2e1 ? 3e 2
向 量 的 合 成

e2 e1

d

2018年5月23日星期三

如:已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量,a 是这一平面内的任一向量. ? 探究: a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ?

a
e2

2018年5月23日星期三

学生活动:

OC ? OM ? ON ? ?1OA ? ?2 OB


a ? ?1 e1 ? ?2 e2
M
e1
A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2018年5月23日星期三

知识点一
1. 如果

平面向量基本定理
是同一平面内的两个不共线向量,

e1 , e2

那么对于这一平面的任意向量

a,
a ? ?1 e1 ? ?2 e2

有且只有 一对实数 ?1 , ?2 ,使 存 唯 在 性
把不共线的向量 基底。


叫做表示这一平面内所有向量的一组

ee
1



2

2.平面向量基本定理的几点说明 ⑴ 若 a ? 0, 则有且只有 ?1 ? ?2 ? 0,


使a ? ?1e1 ? ?2 e2
使a ? ?1e1 ? ?2 e2

a

与 e1 (e2 ) 共线,则 ?2 ? 0(?1 ? 0),

(2)



ee,
1 2

是平面内的一组基底,当

?1e1 ? ?2 e2 ? 0

恒有?1 ? ?2 ? 0,

2018年5月23日星期三

思考1 平面内用来表示一个向量的基底有 多少组? (有无数组)
B

M

B

M

a
e1

a
A

x
O

O

e2

y

A

练习:下列说法是否正确?
1.在平面内只有一对基底. ×
2.在平面内有无数对基底. 3.零向量不可作为基底. 4.平面内不共线的任意一 对向量,都可作为基底.

√ √ √

知识点二、向量的夹角与垂直: 两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a ,
OB ? b ,则?AOB ? ?
叫做向量
特别的: O

?

B

b

?

a和 b
A

O ? A a 注意:两向量必须 的夹角. 是同起点的
a
B A
b

a
?

? ?0

b B

B b

? ? 180

O

?

?

O

a

a 与 b 同向

夹角的范围:00 ,1800

?

a 与 b 反向

?

? ? 90

A
?

记作 a ? b a 与 b 垂直,

例3.在等边三角形中,求 (1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。 C

C

'

120
A

0

60

?

B

新课引入 G与F1,F2有什么关系?
F1 G F2

G=F1+F2 G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地,由平面向量的基本定理,对平面上的 任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2

若两个不共线向量互相垂直时

λ2 a2

a

把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ 1a 1

F1 G

F2

正交分解

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基 底时,会为我们研究问题带来方便。

我们知道,在平面直角坐标系, 每一个点都可用一对有序实数(即它 的坐标)表示,对直角坐标平面内的 每一个向量,如何表示?

y yj j O i a

xi

分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫 做a在y轴上的坐标

a = ( x, y )
y

i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )

yj j O i

a x

xi

y

a
A (x,y)

如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作OA=a,则点A的位 置由a唯一确定。

y
j O i

设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标; x
反过来,点A的坐标(x,y)也就是 向量OA的坐标。

x

因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。

练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.

(1)a ? (1, 2)
解:
y

(2)b ? (?1, 2)
B(?1, 2)
y

. A(1, 2)
a
x

.

o

b

o

x

例1、如图,用基底i,j分别表示向量a、b、c、

d ,并求出它们的坐标.
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1

解: 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,

a=(2,3) 同理,b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)

-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5

i1 2 3 4 x d

d=2i-3j=(2,-3)


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