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成才之路·人教A版数学选修课件2-2 2.1.2_图文

时间:2015-03-01

成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2

第二章
推理与证明

第二章

推理与证明

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第二章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理

第二章

推理与证明

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第二章

2.1

2.1.2

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自主预习学案

第二章

2.1

2.1.2

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理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的形式,并能用它们 进行一些简单的推理,了解合情推理与演绎推理的联系与区 别.

第二章

2.1

2.1.2

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重点:演绎推理的含义及演绎推理规则.

难点:演绎推理的应用.

第二章

2.1

2.1.2

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演绎推理 思维导航 日常生活中我们经常接触这样的推理形式:“所有金属都

导电,因为铁是金属,所以铁导电”,它是合情推理吗?这种
推理形式正确吗?

第二章

2.1

2.1.2

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新知导学 1.演绎推理 一般性的原理 出 发 , 推 出 __________ 某个特殊 情 况 下 的 结 从 ________________ 论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由 一般到特殊 的推理. _____________

第二章

2.1

2.1.2

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2.演绎推理与合情推理的主要区别与联系 (1)合情推理与演绎推理的主要区别:归纳和类比都是常用 部分 到 ______ 整体 、 的合情推理,从推理形式上看,归纳是由 ______ 个别 到 ______ 一般 的推理,类比是由 ______ 特殊 到 _______ 特殊 的推理; ______ 特殊 的推理.从推理所得的结论 一般 到_______ 而演绎推理是由_______ 来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步的证明;演 绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正 确.

第二章

2.1

2.1.2

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(2)人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取 经验;也需要辨别它们的真伪,或将积累的知识加工、整理, 使之条理化、系统化.合情推理和演绎推理分别在这两个环节 中扮演着重要角色.

(3)就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系
的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合 情推理.因此,我们不仅要学会证明,更要学会猜想.

第二章

2.1

2.1.2

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3.三段论
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 一般原理 ; ①大前提——已知的__________ 特殊情况 ; ②小前提——所研究的__________ 判断 ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的________ .

其一般推理形式为
大前提:M是P. 小前提:S是M. S是P 结 论:__________.

第二章

2.1

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(2)利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都 S中所有元素也都具有 具有性质P,S是M的一个子集,那么______________________ 性质P ___________. (3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提

或小前提的表述方式.对于复杂的论证,总是采用一连串的三 结论 作为下一个三段论的前提. 段论,把前一个三段论的_______

第二章

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4.其他演绎推理形式
(1)假言推理:“若p?q,p真,则q真”. (2) 关系推理:“若 aRb , bRc ,则 aRc”R 表示一种传递性 关系,如a∥b,b∥c?a∥c,a≥b,b≥c?a≥c等. 注:假言推理、关系推理在新课标中未给定义,但这种推

理形式是经常见到的,为表述记忆方便,我们也一块给出,以
供学生扩展知识面. (3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推 理规则.

第二章

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2.1.2

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牛刀小试 1 . (2014· 微山一中高二期中 )关于下面推理结论的错误: “因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),又 y=log1 x 是对
2

数函数(小前提), 所以 y=log1 x 是增函数(结论). ”下列说法正
2

确的是(

)

A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误
第二章 2.1 2.1.2

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[答案] A [ 解析 ] 大前提错误,因为对数函数 y = logax(0 < a < 1) 是 减函数,故选A.

第二章

2.1

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2.(2013·天津红桥区高二质检 )“所有9的倍数都是 3的倍 数,某奇数是 9 的倍数,故某奇数是 3 的倍数.”上述推理是 ( ) A.完全正确

B.推理形式不正确
C.错误,因为大小前提不一致 D.错误,因为大前提错误 [答案] A

第二章

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3.(2014·郑州一中期中,厦门六中高二期中)有一段“三 段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0 是函数f(x)的极值点.因为f(x)=x3在x=0处的导数值 f′(0)=0, 所以x=0是f(x)=x3的极值点.以上推理中( )

A.大前提错误
C.推理形式错误 [答案] A [解析]

B.小前提错误
D.结论正确

∵f′(x0)=0是f(x)在x=x0取得极值的必要条件,而

不是充分条件,∴大前提是错误的.

第二章

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4.补充下列推理,使其成为完整的三段论. (1)因为互为相反数的两个数的和为0. 又因为a与b互为相反数且________,所以b=8. (2) 因为 ________ ,又因为 e = 2.71828?是无限不循环小

数,所以e是无理数.
[答案] (1)a=-8,(2)无限不循环小数都是无理数

第二章

2.1

2.1.2

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5.给出下列结论: ①演绎推理的特征为,前提为真时,结论一定为真. ②演绎推理的特征为,前提为真时,结论可能为真. ③由合情推理得到的结论一定为真.

④演绎推理和合情推理都可以用于证明.
⑤合情推理不能用于证明,演绎推理可用于证明. 其中正确结论的序号为________. [答案] ①⑤

第二章

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6.判断下列推理是否正确?为什么? “因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提),而A、 B、C为空间三点(小前提),所以过A、B、C三点只能确定一个 平面(结论).”

[解析]

不正确,因为大前提中的“三点”不共线,而小

前提中的“三点”没有不共线的限制条件.

第二章

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典例探究学案

第二章

2.1

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演绎推理的基本形式——三段论
用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的 对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等, 则此两角不是对顶角.

[分析]

即写出推理的大前提、小前提、结论.大前提可

能在题目中给出,也可能是已经学过的知识.
第二章 2.1 2.1.2

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[解析] (1)每个菱形的对角线都相互垂直大前提 正方形是菱形小前提 正方形的对角线相互垂直结论 (2)若两个角是对顶角则两角相等大前提

∠1和∠2不相等小前提
∠1和∠2不是对顶角结论

第二章

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[方法规律总结 ]

分析演绎推理的构成时,要正确区分大

前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来. 在三段论中,“大前提”提供了一般的原理,“小前提” 指出了一个特殊场合的情况,“结论”在大前提和小前提的基

础上,说明一般原则和特殊情况间的联系,平时大家早已能自
发地使用三段论来进行推理,学习三段论后我们要主动地理解 和掌握这一推理方法.

第二章

2.1

2.1.2

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把下列演绎推理写成三段论的形式. (1) 在一个标准大气压下,水的沸点是 100℃,所以在一个 标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾; (2)因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除; (3)如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+ ∠B=180°; (4)因为函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函

数;
(5)711能被3整除.
第二章 2.1 2.1.2

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[分析]

在使用三段论推理的过程中,有时为了简便,略

去大前提或小前提,分析推理过程时,要把略去的部分补出 来,明确其大前提、小前提是什么. [ 解析 ] 100℃, (1) 大前提:在一个标准大气压下,水的沸点是

小前提:在一个标准大气压下把水加热到100℃,
结论:水会沸腾. (2)大前提:一切奇数都不能被2整除, 小前提:2100+1是奇数, 结论:2100+1不能被2整除.
第二章 2.1 2.1.2

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(3)大前提:两条直线平行,同旁内角互补,
小前提:∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角, 结论:∠A+∠B=180°. (4)大前提:一次函数都是单调函数; 小前提:函数y=2x-1是一次函数;

结论:y=2x-1是单调函数.
(5)大前提:各位数字的和能被3整除的整数,能被3整除; 小前提:711的各位数字的和能被3整除; 结论:711能被3整除.

第二章

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演绎推理的判断
指出下面推理中的错误: (1)自然数是整数(大前提) -6 是整数(小前提) 所以,-6 是自然数(结论) (2)中国的大学分布在中国各地(大前提) 北京大学是中国的大学(小前提) 所以,北京大学分布在中国各地(结论)

第二章

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(3)三角函数是周期函数(大前提) y=sinx(0<x<π)是三角函数(小前提) y=sinx(0<x<π)是周期函数(结论) [分析] 判断三段论推理是否正确.必须严格按其推理规

则进行考察,其推理规则为:
所有M都是P,S是M?S是P. 既要看大前提、小前提是否有误,也要看推理形式是否合 乎规范.

第二章

2.1

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[解析]

(1)推理形式错误,自然数是整数为大前提,小前

提应是判断某数为自然数,而不是某数为整数. (2)推理形式错误,大前提中M是“中国的大学”,它的含 义是中国的每一所大学,而小前提中的“中国的大学”仅表示

中国的一所大学,二者是两个不同的概念,犯了偷换概念错
误. (3)推理形式错误,大前提中的“三角函数”和小前提中的 “三角函数”概念不同.

第二章

2.1

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[方法规律总结] 1.判断演绎推理是否正确的方法
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到 特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方; (2) 看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质 等,注意其中有无前提条件;

(3) 看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提范围之
内; (4)看推理过程是否正确,即看由大前提,小前提得到的结 论是否正确.

第二章

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2 .在应用三段论推理中,最常见的错误是偷换概念的错 误,即大前提与小前提中同一名称的概念含义不同;其次是推 理形 式 错 误 , 大 前 提 “ 所有 M 都是 P”, 则小前应是 “ S 是 M”,而非“S是P”.

第二章

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下列推理是否正确,将有错误的指出错误之处. (1)求证:四边形的内角和等于 360° . 证明:设四边形 ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角, 有∠A+∠B+∠C+∠D=90° +90° +90° +90° =360° .所以, 四 边形的内角和等于 360° . (2)已知 2和 3都是无理数,试证: 2+ 3也是无理数. 证明:依题设, 2和 3都是无理数,而无理数与无理数的 和是无理数,所以 2+ 3也必是无理数.
第二章 2.1 2.1.2

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(3)设a=b(a≠0,b≠0). 等式两边乘以a,得a2=ab, 两边减去b2,得a2-b2=ab-b2, 两边分解因式,得(a+b)(a-b)=b(a-b),

两边除以(a-b),得a+b=b,
以b代a,得2b=b, 两边除以b,得2=1.

第二章

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[解析] 上述推理过程都是错误的.
(1)犯了偷换论题、以偏概全的错误,在证明过程中,把论 题中的四边形改为矩形. (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”,这个 论据是假的,因为两个无理数的和不一定是无理数.因此原题

的真实性仍无法断定.
(3)所得结果显然是错误的,错误的原因在于以(a-b)除等 式两边.因为 a = b ,而 a - b = 0 ,用 0 除等式两边,这是错误 的.

第二章

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2.1.2

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(2013· 郑州高二检测 ) 已知定义域为 [0,1] 的函数 f(x)同时满足以下三个条件: ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若“当 x1≥0,x2≥0 且 x1+x2≤1 时,有 f(x1+x2)≥f(x1) +f(x2)成立”,则称 f(x)为“友谊函数”.

第二章

2.1

2.1.2

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(1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值. (2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?并 给出理由. (3) 已 知 f(x) 为 “ 友 谊 函 数 ” , 且 0≤x1<x2≤1 , 求 证 :

f(x1)≤f(x2).

第二章

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[解题思路探究] 第一步,审题. 审条件,挖掘解题信息. ①定义域[0,1],在研究函数过程中不能超出这个范围; ②“友谊函数”新定义包含三个条件,尤其条件③需严格

证明后才能确定.
审结论,明确解题目标.

第二章

2.1

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第(1)问已知f(x)为友谊函数,求f(0)可用赋值法求解;
第(2)问给出f(x)解析式和定义区间,判断f(x)是否为友谊函 数,需紧扣定义验证f(x)是否满足三个条件. 第(3)问要证f(x1)≤f(x2),需依据条件③进行变换,注意条件 ①在变形中的应用.

第二步,建联系,确定解题步骤.
先用赋值法求第 (1) 问,再依次验证 (2) 中函数满足友谊函 数的三个条件,最后,利用恒等变换技巧借助条件①③推证第 (3)问. 第三步,规范解答.
第二章 2.1 2.1.2

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[解析] (1)取x1=x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0), ∴f(0)≤0, 又由f(0)≥0,得f(0)=0. (2)显然g(x)=2x-1在[0,1]上满足①g(x)≥0;

②g(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,

第二章

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2.1.2

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则有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)] =2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)] =(2x1-1)(2x2-1)≥0. 故g(x)=2x-1满足条件①②③,

所以g(x)=2x-1为“友谊函数”.
(3)因为0≤x1<x2≤1,则0<x2-x1≤1, 所以f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1).

第二章

2.1

2.1.2

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[ 方法规律总结 ] 得出结论.

1. 应用演绎推理证明时,必须确切知道

每一步推理的依据(大前提),验证条件是否满足(小前提),然后 2 .在几何、代数证题过程中,如果每一次都按三段论写

出解答过程会很繁琐,也不必要.因此实际证题中,那些公认
的简单事实,已知的公理、定理等大前提条件可以省略,那些 前面证得的结论也可省略,但必须要保证证题过程的严密规 范.

第二章

2.1

2.1.2

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用三段论分析下列推理过程:已知空间四边形 ABCD中,

点E、F分别在AB、AD上的中点.
求证:EF∥平面BCD.

第二章

2.1

2.1.2

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证明:∵E、F分别为边AB、AD的中点,
∴EF∥BD. 又∵EF?平面BCD,BD?平面BCD, ∴EF∥平面BCD. [解析] 在上述推理过程中,两次使用了三段论,第一次

由EF是△ ABD的中位线推出 EF∥BD,省略了大前提 “三角形
的中位线平行于第三边” 第二次由EF∥BD推出 EF∥平面BCD,省略了大前提 “如 果平面外一条直线和这个平面平行,那么这条直线与这个平面 平行”.
第二章 2.1 2.1.2

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不要张冠李戴 如图所示,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证∠ACD>∠BCD.

[ 错解 ]

在△ ABC 中,因为 AC>BC , CD⊥AB ,所以 AD >

BD,所以∠ACD>∠BCD.
第二章 2.1 2.1.2

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[辨析]

错误的原因在于虽然运用的大前提正确,即在同

一个三角形中,大边对大角,但AD与BD并不是在同一个三角 形内的两条边,即小前提不成立,所以推理过程错误. [正解] 因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°,

所以∠A+ACD=∠B+∠BCD=90°,
在△ABC中,AC>BC,∴∠B>∠A, ∴∠ACD>∠BCD.

第二章

2.1

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巩固提高学案
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第二章

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备选练习
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第二章

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2.1.2


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