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2016高考数学大一轮复习 8.1空间几何体学案 理 苏教版

时间:2015-12-15


第八章 学案 38

立体几何 空间几何体

导学目标: 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描 述现实生活中简单物体的结构.2.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.

自主梳理 1.多面体的结构特征 (1) 棱柱的上下底面 ________ ,侧棱都 ________ 且 __________ ,上底面和下底面是 ________的多边形. 侧棱和底面________的棱柱叫做直棱柱. 底面为________的直棱柱叫正 棱柱. (2) 棱锥的 底面 是任意 多边 形, 侧面是 有一 个 ________ 的三 角形 .棱 锥 的底 面是 ________,且顶点在底面的正投影是________,这样的棱锥为正棱锥. (3) 棱 台 可 由 ________________ 的 平 面 截 棱 锥 得 到 , 其 上 下 底 面 的 两 个 多 边 形 ________.________被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫正棱台. 2.旋转体的结构特征 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的 直线旋转一周, 形成的几何体分别叫做________、 ________、 ________, 这条直线叫做____. 垂 直于轴的边旋转而成的圆面叫做________. 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做________, 球面围成的几何体 叫做________,简称____. 3.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用________画法,其规则是: (1)在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴, 两轴交于 O 点, 再取 z 轴, 使∠xOz=90°, 且∠yOz=90°. (2)画直观图时把它们画成对应的 x′轴、y′轴和 z′轴,它们相交于点 O′,并使∠ x′O′y′=__________________,∠x′O′z′=90°,x′轴和 y′轴所确定的平面表示 水平面. (3) 已知图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 ________________________的线段. (4)已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段,在直观图中保持原长度________,平行于 y 轴的线段,长度变为____________. 自我检测 1.下列四个条件能使棱柱为正四棱柱的是________(填序号). ①底面是正方形,有两个侧面是矩形; ②底面是正方形,有两个侧面垂直于底面; ③底面是菱形,具有一个顶点处的三条棱两两垂直; ④每个侧面都是全等矩形的四棱柱. 2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是________. 3. 如果圆锥的侧面展开图是半圆, 那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角) 是________. 4.长方体 AC1 中,从同一个顶点出发的三条棱长分别是 a,b,c,则这个长方体的外接 球的半径是________.

1

5.如图所示,直观图四边形 A′B′C′D′是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原平面图形的面积是________.

探究点一 空间几何体的结构 例 1 给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②用一个 平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其 三个侧面也两两垂直; ④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面, 则该四棱柱为直四棱柱; ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体;⑥棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________. 变式迁移 1 下列结论正确的是________(填序号). ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥; ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥; ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥; ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 探究点二 空间几何体的直观图

例 2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四 边形的面积等于________. 变式迁移 2 等腰梯形 ABCD,上底 CD=1,腰 AD=CB= 2,下底 AB=3,以下底所在直 线为 x 轴,则由斜二测画法画出的直观图 A′B′C′D′的面积为________. 探究点三 简单组合体的有关计算 例 3 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面 如图所示,求图中三角形(正四面体的截面)的面积.

变式迁移 3 如图,一个正方体内接于高为 40 cm,底面半径为 30 cm 的圆锥,则正方体 的棱长是________cm.

2

1.熟练掌握几何体的结构特征与对应直观图之间的相互转化,正确地识别和画出空间 几何体的直观图是解决空间几何体问题的基础和保证.

?直棱柱底面为正多边形 ― ― → 正棱柱 2.棱柱的分类(按侧棱与底面的位置关系):棱柱? ?斜棱柱
3.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半 径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决. 4.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点,弄清旋转轴、旋转面、轴截 面. 5.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积 S′与原平面图形的面积 S 之间的关 2 系是 S′= S. 4

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.下列命题正确的是________(填序号). ①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱; ②有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体叫棱锥; ③有两个面平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的 几何体叫棱柱. 2.如图为一个简单多面体的表面展开图(沿虚线折叠即可还原)则这个多面体的顶点数 为________.

3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm ,母线与 轴的夹角为 45°,则这个圆台的高为________cm,母线长为________cm,上、下底面半径 分别为________cm 和________cm.

2

4.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为 顶点的圆锥而得到的, 现用一个平面去截这个几何体, 若这个平面垂直于圆柱底面所在的平 面,那么所截得的图形可能是图中的________.(把所有可能的图的序号都填上)

3

5. 已知水平放置的△ABC 的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为 2a 的正三角形, 则原△ABC 的面积为_________________________________________________________. 6. 棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E、 F 分别是棱 AA1、 DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为________.

7.(2011·四川)如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球 的表面积与该圆柱的侧面积之差是________. 8. (2011·连云港模拟)棱长为 a 的正四面体 ABCD 的四个顶点均在一个球面上, 则此球 的半径 R 为________. 二、解答题(共 42 分) 9.(12 分)正四棱台 AC1 的高是 17 cm,两底面的边长分别是 4 cm 和 16 cm,求这个棱 台的侧棱长和斜高.

10.(14 分)用斜二测画法画出如图中水平放置的四边形 OABC 的直观图.

11.(16 分)一个圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S; (2)当 x 为何值时,S 最大?

4

学案 38

空间几何体 答案

自主梳理 1.(1)平行 平行 长度相等 全等 垂直 正多边形 (2)公共顶点 正多边形 底 面中心 (3)平行于棱锥底面 相 似 正 棱 锥 2. 圆 柱 圆 锥 圆 台 轴 底面 球 面 球 体 球 3. 斜 二 测 (2)45°(或 135°) (3)x′轴、y′轴或 z′轴 (4)不变 原来的一半 自我检测 1.③ 2.球体 3.60° 解析 设母线长为 l,底面半径为 r,则 π l=2π r. r 1 ∴ = ,∴母线与高的夹角为 30°. l 2 ∴圆锥的顶角为 60°. a2+b2+c2 4. 2 解析 长方体的外接球的直径长为长方体的体对角线长,即 2R= a +b +c ,所以 R a2+b2+c2 = . 2 5. 2+2
2 2 2

解析 把直观图还原为平面图形得: 直角梯形 ABCD 中,AB=2, BC= 2+1,AD=1, 1 ∴面积为 ×(2+ 2)×2=2+ 2. 2 课堂活动区 例 1 解题导引 解决这种判断题的关键是:①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念; ②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断,整体把握立体几何知识. 答案 ③④⑤⑥ 解析
5

①错误,因为棱柱的底面不一定是正多边形;②错误,必须用平行于底面的平面去截棱 锥, 才能得到棱台; ③正确, 因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角; ④正确, 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;⑤正确,如图所示,正方体 AC1 中的四棱锥 C1—ABC,四个面都是直角三角形;⑥正确,由棱台的概念可知.因此,正确 命题的序号是③④⑤⑥. 变式迁移 1 ④ 解析

①错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角 形,但它不是棱锥. ②错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所 得的几何体都不是圆锥.

③错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以 正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.④正确. 例 2 解题导引 本题是已知直观图,探求原平面图形,考查逆向思维能力.要熟悉 运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则, 注意直观图中的线段、 角与原图中的对应 线段、角的关系. 2 答案 2 2a 解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知, 在 x 轴上(或与 x 轴平行)的线 段,其长度保持不变;在 y 轴上(或与 y 轴平行)的线段,其长度变为原来的一半,且∠ x′O′y′=45°(或 135°),所以,若设原平面图形的面积为 S,则其直观图的面积为 S′ 1 2 2 = · ·S= S.可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 2 2 4

S′=

2 a S,本题中直观图的面积为 a2,所以原平面四边形的面积 S= =2 2a2. 4 2 4 2 2

2

变式迁移 2 解析

6

1 2 2 ∵OE= ? 2? -1=1,∴O′E′= ,E′F= , 2 4 1 2 2 ∴直观图 A′B′C′D′的面积为 S′= ×(1+3)× = . 2 4 2 例 3 解题导引 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发挥自己的 空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中的数量关系,为了增 加图形的直观性,常常画一个截面圆作为衬托. 解 如图所示,△ABE 为题中的三角形,

由已知得 AB=2,BE=2×

3 2 2 3 = 3,BF= BE= , 2 3 3 8 , 3 8 = 2. 3

AF= AB2-BF2=

4 4- = 3

∴△ABE 的面积为 1 1 S= ×BE×AF= × 3× 2 2 ∴所求的三角形的面积为 2. 变式迁移 3 120(3-2 2) 解析 作轴截面, PO=40 cm,OA=30 cm,

设 BC=x,则 O1C=

2 x, 2

2 x 2 O1C O1P 40-x ∴ = ,即 = , OA OP 30 40 ∴x=120(3-2 2). 课后练习区 1.③ 2.7 解析 沿虚线折叠还原得几何体的直观图如下,则这个多面体的顶点数为 7.

3.14 14 2

7 21

7

解析 画出圆台的轴截面,如图,设 O′、O 分别是上、下底面的中心,作 AE⊥DC 于 E, 则有∠DAE=45°.由于下底面周长是上底面周长的 3 倍,所以下底面半径是上底面半径的 3 倍,若设 AE=x,则 DE=x,AB=x,CD=3x,AD= 2x,于是轴截面的面积为: 1 ·x·(3x+x)=392,解得 x=14,则圆台的高等于 14 cm,母线长为 14 2cm,上、下 2 底面半径分别为 7 cm 和 21 cm. 4.①③ 2 5. 6a 2 2 3 2 解析 在斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为 1∶ ,则易知 S= ( 2a) , 4 4 4 ∴S= 6a . 6. 2 解析 由题知球 O 半径为 3 1 ,球心 O 到直线 EF 的距离为 ,由垂径定理可知直线 EF 被 2 2
2

球 O 截得的线段长 3 1 d=2× - = 2. 4 4 2 7.2π R 解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为 α ,则圆柱高为 2Rcos α ,圆柱底面 2 半径为 Rsin α ,∴S 圆柱侧=2π ·Rsin α ·2Rcos α =2π R sin 2α .当 sin 2α =1 时,S 2 2 2 2 圆柱侧最大为 2π R ,此时,S 球表-S 圆柱侧=4π R -2π R =2π R . 2 2 方法二 设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R -r . 2 2 ∴S 圆柱侧=2π r·2 R -r , 2 4π r S′圆柱侧=4π R2-r2- 2 2. R -r 令 S′圆柱侧=0,得 r= 当 2 2 R.当 0<r< R 时,S′>0; 2 2

2 R<r<R 时,S′<0. 2

2 R 时,S 圆柱侧取得最大值 2π R2. 2 2 2 2 此时 S 球表-S 圆柱侧=4π R -2π R =2π R . 2 2 方法三 设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R -r , 2 2 2 2 2 ∴S 圆柱侧=2π r·2 R -r =4π r ?R -r ? r2+?R2-r2? 2 2 2 2 2 2 ≤4π =2π R (当且仅当 r =R -r , 即 r= R 时取“=”). ∴当 r= 2 2 2 R 时,S 圆柱侧最大为 2π R2. 2 2 2 此时 S 球表-S 圆柱侧=4π R -2π R =2π R . 6 8. a 4 解析 ∴当 r=

如图所示,设正四面体 ABCD 内接于球 O,由 D 点向底面 ABC 作垂线,垂足为 H,连结 AH,OA,
8

则可求得 AH=

3 a, 3

6a ? 3 ?2 , a? = 3 ?3 ? ? 3 ?2 ? 6 ?2 2 在 Rt△AOH 中,? a? +? a-R? =R , ?3 ? ?3 ?

DH=

a2-?

解得 R= 9.解

6 a. 4

如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 O1、O,B1C1 和 BC 的中点分别是 E1 和 E,连结 O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,则四边形 OBB1O1 和 OEE1O1 都是直角梯形.(4 分) ∵A1B1=4 cm,AB=16 cm, ∴O1E1=2 cm,OE=8 cm, O1B1=2 2 cm,OB=8 2 cm,(8 分) 2 2 2 2 ∴B1B =O1O +(OB-O1B1) =361 cm , E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325 cm2,(10 分) ∴B1B=19 cm,E1E=5 13 cm. 答 这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5 13 cm. (12 分) 10.解 (1)画 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.(4 分)

(2)在 O′x′轴上取 D′、B′,使 O′D′=OD,O′B′=OB(如图所示),在 O′y′轴 1 上取 C′,使 O′C′= OC. 2 在 O′x′轴下方过点 D′作 D′A′∥O′y′, 1 使 D′A′= DA.(10 分) 2 (3)连结 O′A′,A′B′,C′B′,所得四边形 O′A′B′C′就是四边形 OABC 的直观 图.(14 分) 11.

解 (1)画出圆柱和圆锥的轴截面,如图,设圆柱的底面半径为 r,则由三角形相似可 x 2-r x 得 = ,解得 r=2- .(6 分) 6 2 3 圆柱的轴截面面积
9

x S=2r·x=2(2- )·x

3 2 2 =- x +4x.(12 分) 3 2 2 2 2 (2)∵S=- x +4x=- (x-3) +6 3 3 ∴当 x=3 时,S 的最大值为 6.(16 分)

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