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数列通项公式的十种求法[1]

时间:2012-07-31


数列通项公式的十种求法

一、公式法 例 1 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 2 , a 1 ? 2 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n

解:a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 2 两边除以 2
n

n ?1

,得

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 2

,则

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 2

,故数列 {

an 2
n

}是 3 2



a1 2
1

?

2 2

? 1 为首项, 以

3 2

为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, 得
3 2 1 2
n

an 2
n

? 1 ? ( n ? 1)



所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? ( n ?

)2 。 a n ?1 2
n ?1

n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 2 转化为
{ an 2
n

?

an
n

?

3

,说明数列

} 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出

an 2
n

2 2 3 ? 1 ? ( n ? 1) ,进而求出数列 2

{ a n } 的通项公式。

二、累加法 例 2 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1, a1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。 解:由 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 得 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 则
a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 ? [ 2 ( n ? 1) ? 1] ? [ 2 ( n ? 2 ) ? 1] ? ? ? ( 2 ? 2 ? 1) ? ( 2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 ? 2 ( n ? 1) n 2 ? ( n ? 1)( n ? 1) ? 1 ? n
2

? ( n ? 1) ? 1

所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? n 。
2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 转化为 a n ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 ,进而求 出 ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 { a n } 的通项公式。

例 3 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1, a1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n







a n ?1 ? a n ? 2 ?

n

?

3



1

a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1
n



a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3 ? 2 (3 ? 2
n ?1

? 1) ? ( 2 ? 3
n?2

n?2

? 1) ? ? ? ( 2 ? 3 ? 1) ? ( 2 ? 3 ? 1) ? 3
2 1 1

n ?1

?3

? ? ? 3 ? 3 ) ? ( n ? 1) ? 3
2

3(1 ? 3
n

n ?1

)

1? 3

? ( n ? 1) ? 3

? 3 ? 3 ? n ?1? 3 ? 3 ? n ?1
n

所以 a n ? 3 ? n ? 1 .
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1 转化为 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 3 ? 1 ,
n n

进而求出 a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 , 即得数列 { a n } 的通 项公式。 例4 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 3 a n ? 2 ? 3 ? 1, a1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n n

解: a n ? 1 ? 3 a n ? 2 ? 3 ? 1 两边除以 3 则
a n ?1 3
n ?1

n ?1

,得

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

2 3

? 3

1
n ?1



?

an 3
n

?

2 3

? 3

1
n ?1

,故

an 3
n

?( ?( ?

an 3 2 3
n

?

a n ?1 a n ?1

)?( 2 3 1 3
n

a n ?1 a n ?1

?

an?2 3
n?2

)?( ? 3 ? 3

an?2 3 1
n?2 n?2

?

an?3 3
n?3

)?? ? ( 2 3 ? 1 3
2

a2 3
2

?

a1 3
1

)?

a1 3

?

1 3
n

)?( ?(

? 3 ?

1
n ?1

)?( 1 3

2 3

)?? ? ( ?? ? 1 3
2

)?

3 3

2 ( n ? 1) 3

1 3
1
n

?

1
n?2

n ?1

)?1

因此

an 3
n

?

2 ( n ? 1) 3

? 3

n

(1 ? 3 1? 3
n

n ?1

) ?1?

2n 3

?

1 2

?

1 2?3
n



则 an ?

2 3

?n?3 ?
n

1 2

?3 ?

1 2

.

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? 3 a n ? 2 ? 3 ? 1 转化为
n

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

2 3

? 3

1
n ?1



进而求出 (

an 3
n

?

a n ?1 3
n ?1

)?(

a n ?1 3
n ?1

?

an?2 3
n?2

)?(

an?2 3
n?2

?

an?3 3
n?3

)?? ? (

a2 3
2

?

a1 3
1

)?

a1 3

,即得数列 ?

? an ? n ? ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 { a n } 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2( n ? 1)5 ? a n, a1 ? 3 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n

解:因为 a n ? 1 ? 2( n ? 1)5 ? a n, a1 ? 3 ,所以 a n ? 0 ,则
n

a n ?1 an

? 2 ( n ? 1)5 ,故
n

an ?

an

?

a n ?1

?? ?

a n ?1 a n ? 2
n ?1

a3 a2 ? ? a1 a 2 a1 ][ 2 ( n ? 2 ? 1)5
n?2

? [ 2 ( n ? 1 ? 1)5 ? 2

n ?1

] ? ? ? [ 2 ( 2 ? 1) ? 5 ][ 2 (1 ? 1) ? 5 ] ? 3
2 1

[ n ( n ? 1) ? ? ? 3 ? 2 ] ? 5
n ( n ? 1) n ?1

( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 2 ? 1

?3

? 3? 2

?5

2

? n!
n ( n ? 1)

所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 3 ? 2

n ?1

?5

2

? n !.

评注: 本题解题的关键是把递推关系 a n ? 1 ? 2 ( n ? 1)5 ? a n 转化为
n

a n ?1 an

? 2 ( n ? 1)5 , 进而求
n



an

?

a n ?1

?? ?

a3 a2

?

a2 a1

a n ?1 a n ? 2

? a 1 ,即得数列 { a n } 的通项公式。

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 { a n } 满足
a1 ? 1, a n ? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ( n ? 1) a n ?1 ( n ? 2 ) ,求 { a n } 的通项公式。

解:因为 a n ? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ( n ? 1) a n ?1 ( n ? 2) 所以 a n ? 1 ? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ( n ? 1) a n ?1 ? na n 用②式-①式得 a n ? 1 ? a n ? n a n . 则 a n ? 1 ? ( n ? 1) a n ( n ? 2 ) ②





a n ?1 an

? n ? 1( n ? 2 )

所以 a n ?

an

?

a n ?1

?? ?

a3 a2

a n ?1 a n ? 2

? a 2 ? [ n ( n ? 1) ? ? ? 4 ? 3] a 2 ?

n! 2

a2.



由 a n ? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ( n ? 1) a n ?1 ( n ? 2) ,取 n ? 2 得 a 2 ? a1 ? 2 a 2 ,则 a 2 ? a1 ,又知
a 1 ? 1 ,则 a 2 ? 1 ,代入③得 a n ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?

n! 2



所以, { a n } 的通项公式为 a n ?

n! 2

.

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? ( n ? 1) a n ( n ? 2 ) 转化为

a n ?1 an

? n ? 1( n ? 2 ) ,

进而求出

an

?

a n ?1

?? ?

a3 a2

a n ?1 a n ? 2

? a2 , 从而可得当 n ? 2时 , a n 的表达式, 最后再求出数列 { a n } 的

通项公式。 四、待定系数法 例 7 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 5 , a1 ? 6 ,求数列 ? a n ? 的通项公式。
n

解:设 a n ? 1 ? x ? 5

n ?1

? 2(an ? x ? 5 )
n



将 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 5 代入④式,得 2 a n ? 3 ? 5 ? x ? 5
n n

n?1

? 2a n ? 2x ? 5 ,等式两边消去
n

2an , 得 3 ? 5 ? x ? 5
n

n? 1

? 2 ? 5 , 两 边 除 以 5 , 得 3 ? 5x ? 2x 则 x ? ? 1 代 入 ④ 式 得 x , ,
n

n

a n ?1 ? 5

n ?1

? 2( a n ? 5 )
n


n ?1 n

由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 a n ? 5 ? 0 ,则
1 n

a n ?1 ? 5 an ? 5
n

? 2 ,则数列 { a n ? 5 } 是以
n

a1 ? 5 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 ? 2
1

n ?1

,故 a n ? 2

n ?1

?5 。
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 5 转化为 a n ? 1 ? 5
n n n

n ?1

? 2( a n ? 5 ) ,
n

从而可知数列 { a n ? 5 } 是等比数列,进而求出数列 { a n ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列

{ a n } 的通项公式。

例 8 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 3 a n ? 5 ? 2 ? 4, a1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n

解:设 a n ? 1 ? x ? 2

n ?1

? y ? 3( a n ? x ? 2 ? y )
n



将 a n ? 1 ? 3 a n ? 5 ? 2 ? 4 代入⑥式,得
n

3an ? 5 ? 2 ? 4 ? x ? 2
n

n ?1

? y ? 3( a n ? x ? 2 ? y )
n

整理得 (5 ? 2 x ) ? 2 ? 4 ? y ? 3 x ? 2 ? 3 y 。
n n

令?

?5 ? 2 x ? 3 x ?4 ? y ? 3 y
n ?1

,则 ?

?x ? 5 ?y ? 2

,代入⑥式得

a n ?1 ? 5 ? 2

? 2 ? 3( a n ? 5 ? 2 ? 2 )
n



由 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 2 ? 1 3 ? 0 及⑦式,
1

得 a n ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,则
n

a n ?1 ? 5 ? 2

n ?1 n

?2

an ? 5 ? 2 ? 2

? 3,

故数列 { a n ? 5 ? 2 ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,
n 1

因此 a n ? 5 ? 2 ? 2 ? 13 ? 3
n

n ?1

,则 a n ? 13 ? 3

n ?1

? 5? 2 ? 2 。
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? 3 a n ? 5 ? 2 ? 4 转化为
n

a n ?1 ? 5 ? 2

n ?1

? 2 ? 3( a n ? 5 ? 2 ? 2 ) ,从而可知数列 { a n ? 5 ? 2 ? 2} 是等比数列,进而求
n n n

出数列 { a n ? 5 ? 2 ? 2} 的通项公式,最后再求数列 { a n } 的通项公式。 例 9 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 n ? 4 n ? 5, a1 ? 1 ,求数列 { a n } 的通项公式。
2

解:设 a n ? 1 ? x ( n ? 1) ? y ( n ? 1) ? z ? 2 ( a n ? xn ? yn ? z )
2 2



将 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 n ? 4 n ? 5 代入⑧式,得
2

2 a n ? 3 n ? 4 n ? 5 ? x ( n ? 1) ? y ( n ? 1) ? z ? 2( a n ? xn ? yn ? z ) ,则
2 2 2

2 a n ? (3 ? x ) n ? (2 x ? y ? 4) n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 a n ? 2 xn ? 2 yn ? 2 z
2 2

等式两边消去 2 a n ,得 (3 ? x ) n ? (2 x ? y ? 4) n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2 xn ? 2 yn ? 2 z ,
2 2

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ? 2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 1 0 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?
a n ? 1 ? 3( n ? 1) ? 1 0 ( n ? 1) ? 1 8 ? 2 ( a n ? 3 n ? 1 0 n ? 1 8)
2 2



由 a1 ? 3 ? 1 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 a n ? 3 n ? 1 0 n ? 1 8 ? 0
2 2



a n ? 1 ? 3( n ? 1) ? 1 0 ( n ? 1) ? 1 8
2

an ? 3n ? 10 n ? 18
2

? 2 ,故数列 { a n ? 3 n ? 10 n ? 18} 为以
2

a1 ? 3 ? 1 ? 1 0 ? 1 ? 1 8 ? 1 ? 3 1 ? 3 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此
2

a n ? 3 n ? 10 n ? 18 ? 32 ? 2
2

n ?1

,则 a n ? 2

n?4

? 3n ? 10 n ? 18 。
2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ? 1 ? 2 a n ? 3 n ? 4 n ? 5 转化为
2

a n ? 1 ? 3( n ? 1) ? 1 0 ( n ? 1) ? 1 8 ? 2 ( a n ? 3 n ? 1 0 n ? 1 8) ,从而可知数列
2 2

{ a n ? 3 n ? 10 n ? 18} 是等比数列, 进而求出数列 { a n ? 3 n ? 10 n ? 18} 的通项公式, 最后再
2 2

求出数列 { a n } 的通项公式。 五、对数变换法 例 10 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? a n , a 1 ? 7 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n 5

解:因为 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? a n, a1 ? 7 ,所以 a n ? 0, a n ? 1 ? 0 。在 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? a n 式两边取
n 5 n 5

常用对数得 lg a n ? 1 ? 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 设 lg a n ? 1 ? x ( n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y )



11 ○

? 2 将 ⑩ 式 代 入 ○ 式 , 得 5 l g a n ? n l g 3 l g ? x n (? 11

? )y ? 1

5 a l g xn ? y , ) 边 消 去 (n ? 两

5 l g a n 并整理,得 (lg 3 ? x ) n ? x ? y ? lg 2 ? 5 xn ? 5 y ,则

lg 3 ? x ? ? lg 3 ? x ? 5 x ? ? 4 ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?

代入○式,得 lg a n ? 1 ? 11 由 lg a1 ? 得 lg a n ?
lg 3 4 lg 3 4
lg 3

lg 3 4

( n ? 1) ?

lg 3 16

?

lg 2 4

? 5(lg a n ? lg 3 16 lg 2 4

lg 3 4

n?

lg 3 16

?

lg 2 4

)

12 ○

?1 ?

lg 3 16

?

lg 2 4

? lg 7 ?

lg 3 4

?1 ?

?

? 0 及 12 式,



n?

lg 3 16

?

lg 2 4
lg 3 16

? 0,

lg a n ? 1 ?

( n ? 1) ? n?

?

lg 2 4 ?5,


lg a n ?

4 lg 3 4

lg 3 16

?

lg 2 4

所以数列 { lg a n ?

lg 3

n?

lg 3

?

lg 2

} 是以 lg 7 ?

lg 3

?

lg 3

?

lg 2

为首项,以 5 为公比的等

16 4 4 16 4 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ? 1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 比数列,则 lg a n ? 4 16 4 4 16 4

4 lg 3

lg a n ? (lg 7 ?

lg 3 4
1

?

lg 3 16

?
1

lg 2 4

)5

n ?1

?

lg 3 4

n?
n

lg 3 6

?

lg 2 4
1 1

1 n ?1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5
1 1 1 n ?1

? lg 3 4 ? lg 3 1 6 ? lg 2 4
1 1

n

? [lg (7 ? 3 4 ? 3 1 6 ? 2 4 )]5
1 1 1

? lg (3 4 ? 3 1 6 ? 2 4 )
n 1 1

? lg (7 ? 3 4 ? 3 1 6 ? 2 4 )5
5
n ?1

n ?1
n ?1

? lg (3 4 ? 3 1 6 ? 2 4 )
5
n ?1

?n

5

?1

?1

? lg (7 ? lg (7

5 n ?1

?3 ?3

4

?3

16
n ?1

?2
?1 4

4

)

5 n ? 4 n ?1 5 n ?1 16

5

?2
n ?1

)

则 an ? 7

5

n ?1

5 n ? 4 n ?1

5

?1

?3

16

?2

4


n 5

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? a n 转化为

lg a n ? 1 ?
{ lg a n ?

lg 3 4 lg 3
4

( n ? 1) ?
n? lg 3 16 ?

lg 3

?

lg 2 4

16 lg 2
4

? 5(lg a n ?

lg 3 4

n?

lg 3 16

?

lg 2 4

) ,从而可知数列
lg 3 4 n? lg 3 16 ? lg 2 4 } 的通项

} 是等比数列,进而求出数列 { lg a n ?

公式,最后再求出数列 { a n } 的通项公式。 六、迭代法 例 11 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n 解:因为 a n ? 1 ? a n
? an?2
3 ( n ? 1) ? n ? 2
2

3 ( n ? 1) 2

n

, a1 ? 5 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n ?1

3 ( n ? 1) 2

n

,所以 a n ? a n ?1

3 n ?2

? [an?2

3 ( n ? 1) ? 2

n?2

]

3 n ?2

n ?1

( n ? 2 ) ? ( n ?1 )

? [an?3 ? an?3 ?? ? a1 ? a1
3
n ?1 3

3 ( n ? 2 )?2

n?3

]

3 ( n ? 1) ? n ? 2

2

( n ? 2 ) ? ( n ?1 )

3 ( n ? 2 )( n ? 1) n ? 2

( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1 )

? 2 ? 3?? ( n ? 2 ) ? ( n ? 1) ? n ? 2
n ( n ?1 )

1? 2 ? ?? ? ( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ? 1 )

3

n ?1

? n !? 2

2

n ( n ?1 )

又 a 1 ? 5 ,所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 5

3

n ?1

? n !? 2

2


3 ( n ? 1) 2
n

评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 a n ? 1 ? a n 两边取常用对数得 lg a n ? 1 ? 3( n ? 1) ? 2 ? lg a n , 即
n

lg a n ? 1 lg a n

? 3( n ? 1) 2 , 再由累乘法可推知
n

lg a n ?

lg a n

?

lg a n ? 1

?? ?

lg a n ? 1 lg a n ? 2

n ?1 lg a 3 lg a 2 3 ? n !? 2 ? ? lg a 1 ? lg 5 lg a 2 lg a 1

n ( n ?1 ) 2

,从而 a n ? 5

3

n ?1

? n !? 2

n ( n ? 1) 2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ?
8( n ? 1) ( 2 n ? 1) ( 2 n ? 3)
2 2

, a1 ?

8 9

, 求数列 { a n } 的通项公式。

解:由 a n ? 1 ? a n ?

8( n ? 1) ( 2 n ? 1) ( 2 n ? 3)
2 2

及 a1 ?

8 9

,得

a 2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ?

8(1 ? 1) ( 2 ? 1 ? 1) ( 2 ? 1 ? 3)
2 2

?

8 9

? 24 25

8? 2 9 ? 25 ? ?

?

24 25 ? ? 48 49 80 81

8( 2 ? 1) ( 2 ? 2 ? 1) ( 2 ? 2 ? 3)
2 2

? ?

8?3 25 ? 49 8? 4 49 ? 81

8(3 ? 1) ( 2 ? 3 ? 1) ( 2 ? 3 ? 3)
2 2

48 49

由此可猜测 a n ?

( 2 n ? 1) ? 1
2

( 2 n ? 1)

2

,往下用数学归纳法证明这个结论。

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

( 2 ? 1 ? 1) ? 1
2

( 2 ? 1 ? 1)

2

?

8 9

,所以等式成立。

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 a k ?

( 2 k ? 1) ? 1
2

( 2 k ? 1)

2

,则当 n ? k ? 1 时,

a k ?1 ? a k ?

8( k ? 1) ( 2 k ? 1) ( 2 k ? 3)
2 2

? ? ? ?

( 2 k ? 1) ? 1
2

( 2 k ? 1)
2

2

?

8( k ? 1) ( 2 k ? 1) ( 2 k ? 3)
2 2 2

[( 2 k ? 1) ? 1]( 2 k ? 3) ? 8( k ? 1) ( 2 k ? 1) ( 2 k ? 3)
2 2 2 2

( 2 k ? 1) ( 2 k ? 3) ? ( 2 k ? 3) ? 8( k ? 1)
2

( 2 k ? 1) ( 2 k ? 3)
2 2 2

2

( 2 k ? 1) ( 2 k ? 3) ? ( 2 k ? 1) ( 2 k ? 1) ( 2 k ? 3)
2 2

2

?

( 2 k ? 3) ? 1
2

( 2 k ? 3)

2

?

[ 2 ( k ? 1) ? 1] ? 1
2

[ 2 ( k ? 1) ? 1]

2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法

例 13 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? 解:令 b n ? 故 a n ?1 ?
1 24
2

1 16 1

(1 ? 4 a n ?

1 ? 2 4 a n ), a 1 ? 1 , 求数列 { a n } 的通项公式。

1 ? 24 a n ,则 a n ?

24

( b n ? 1)
2

1 24

( b n ? 1 ? 1) ,代入 a n ? 1 ?
2

1 16

(1 ? 4 a n ?

1 ? 24an ) 得

( b n ? 1 ? 1) ?

1 16

[1 ? 4

1 24

( b n ? 1) ? b n ]
2

即 4 b n ? 1 ? ( b n ? 3)
2

2

因为 b n ?

1 ? 2 4 a n ? 0 ,故 b n ? 1 ?

1 ? 2 4 a n ?1 ? 0

则 2 b n ? 1 ? b n ? 3 ,即 b n ? 1 ? 可化为 b n ? 1 ? 3 ?
1 2

1 2

bn ?

3 2



( b n ? 3) ,
1 2

所以 {b n ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 列,因此 b n ? 3 ? 2 ( )
2 an ? 1
n ?1

1 ? 24 a1 ? 3 ?

1 ? 24 ? 1 ? 3 ? 2 为首项,以

为公比的等比数

1 n?2 1 n?2 1 n?2 ?( ) ? 3 ,即 1 ? 2 4 a n ? ( ) ? 3 ,得 ,则 b n ? ( ) 2 2 2

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 2 4 a n 的换元为 b n ,使得所给递推关系式转化
bn ?1 ? 1 2 bn ? 3 2

形式, 从而可知数列 {b n ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {b n ? 3} 的通项公式,

最后再求出数列 { a n } 的通项公式。 九、不动点法 例 14 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ?
2 1a n ? 2 4 4an ? 1 , a 1 ? 4 ,求数列 { a n } 的通项公式。

解:令 x ?

21x ? 24 4x ?1

0 ,得 4 x ? 20 x ?24 ?
2

,则 x1 ? 2, x 2 ? 3 是函数 f ( x ) ?

21x ? 24 4x ?1



两个不动点。因为

2 1a n ? 2 4 a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 3 ? 4an ? 1 2 1a n ? 2 4 4an ? 1

?2 ? ?3

2 1a n ? 2 4 ? 2 ( 4 a n ? 1) 2 1a n ? 2 4 ? 3( 4 a n ? 1)

?

13an ? 26 9an ? 27

?

13 an ? 2 9 an ? 3

。所以数列

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4?2 1 3 n ?1 13 ? ? 2 为首项,以 ? 2( ) , 为公比的等比数列,故 n ? ? 是以 9 a1 ? 3 4?3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?

则 an ?
2(

1 13 9 )
n ?1

? 3。 ?1

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) ?
a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 3

21x ? 24 4x ?1

的不动点,即方程 x ?

21x ? 24 4x ?1

的两

个根 x1 ? 2, x 2 ? 3 ,进而可推出

?

?a ? 2? 13 an ? 2 ? ,从而可知数列 ? n ? 为等比数 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 { a n } 的通项公式。 an ? 3 ? ?
7 an ? 2 2an ? 3

例 15 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ?

, a 1 ? 2 ,求数列 { a n } 的通项公式。

解:令 x ?

7x ? 2 2x ? 3

,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ?
2

3x ?1 4x ? 7

的不动点。

因为 a n ? 1 ? 1 ?

7 an ? 2 2an ? 3

?1 ?

5an ? 5 2an ? 3

,所以

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 2 4 a n 的换元为 b n ,使得所给递推关系式转化
bn ?1 ? 1 2 bn ? 3 2

形式, 从而可知数列 {b n ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {b n ? 3} 的通项公式,

最后再求出数列 { a n } 的通项公式。 九、不动点法 例 14 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ?
2 1a n ? 2 4 4an ? 1 , a 1 ? 4 ,求数列 { a n } 的通项公式。

解:令 x ?

21x ? 24 4x ?1

0 ,得 4 x ? 20 x ?24 ?
2

,则 x1 ? 2, x 2 ? 3 是函数 f ( x ) ?

21x ? 24 4x ?1



两个不动点。因为
2 1a n ? 2 4 a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 3 ? 4an ? 1 2 1a n ? 2 4 4an ? 1 ?2 ? ?3

2 1a n ? 2 4 ? 2 ( 4 a n ? 1) 2 1a n ? 2 4 ? 3( 4 a n ? 1)

?

13an ? 26 9an ? 27

?

13 an ? 2 9 an ? 3

。所以数列

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4?2 1 3 n ?1 13 ? ? 2 为首项,以 ? 2( ) , 为公比的等比数列,故 n ? ? 是以 9 a1 ? 3 4?3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?

则 an ?
2(

1 13 9 )
n ?1

? 3。 ?1

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) ?
a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 3

21x ? 24 4x ?1

的不动点,即方程 x ?

21x ? 24 4x ?1

的两

个根 x1 ? 2, x 2 ? 3 ,进而可推出

?

?a ? 2? 13 an ? 2 ? ,从而可知数列 ? n ? 为等比数 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 { a n } 的通项公式。 ? an ? 3 ?
7 an ? 2 2an ? 3

例 15 已知数列 { a n } 满足 a n ? 1 ?

, a 1 ? 2 ,求数列 { a n } 的通项公式。

解:令 x ?

7x ? 2 2x ? 3

,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ?
2

3x ?1 4x ? 7

的不动点。

因为 a n ? 1 ? 1 ?

7 an ? 2 2an ? 3

?1 ?

5an ? 5 2an ? 3

,所以


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