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【高考领航】高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件7.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)——空间角与距离

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第8课时 立体几何中的向量方法(Ⅱ) ——空间角与距离(理科) ? ? (一)考纲点击 能用向量方法解决直线与直线、直线与 平面、平面与平面的夹角的计算问题,了 解 向 量 方 法 在 研 究 立 体 几 何 问 题 中的 应 用. ? (二)命题趋势 ? 1.从考查内容看,本节是高考的必考内容, 主要考查利用空间向量的坐标运算解决求 空间角(异面直线所成角、直线与平面所成 角、二面角)及距离等问题. ? 2.从考查形式看,主要以解答题的形式出 现,侧重于考查空间向量的应用,属中档 题. ? 1.空间向量与空间角的关系 ? (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1, m2,则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos〈m1, m2〉|. 对点演练 (教材改编)在如图所示的正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为 10 A.- 10 C. 1 20 1 B.- 20 D. 10 10 ( ) 解析:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建系, → 设 A(2,0,0)、C(0,2,0),D1(0,0,2),E(0,1,2),AC=(-2,0,0) 10 → → (0,1,0),cos〈AC,DE〉= 10 . 答案:D → DE= ? (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分 别为m,n,则直线l与平面α所成角θ满足sin θ=|cos〈m,n〉|. 对点演练 ? 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的 射 影 的 方 向 向 量 分 别 是 a = (1,0,1) , b = (0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是 ( ) ? A.90° 解析:∵cos〈a,b〉= ? C.45° 答案:D 1 B. 130° = , 2· 2 2 又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=60° . D.60° (3)求二面角的大小 1° 如图①,AB、CD 是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直 → → 线,则二面角的大小 θ=〈AB,CD〉 . ? 2°如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β 的两个半平面α,β的法向量,则二面角的 大小θ满足cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1, n2〉. 对点演练 (1)(教材改编)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0), n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为 A.45° C.45° 或 135° B.135° D.90° ( ) m· n 1 2 解析:cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1× 2 2 即〈m,n〉=45° ,其补角为 135° , ∴两平面所成的二面角为 45° 或 135° . 答案:C (2)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD, SD=2,AD= 2.则二面角 C-AS-D 的余弦值为______. 10 答案: 5 2.点面距的求法 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量, → |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离 d= |n| . 对点演练 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=5,AB=12,那么直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离是________. 60 答案: 13 ? 1.利用平面的法向量求二面角的大小时,当 求出两半平面 α 、 β 的向量 n1 , n2 时

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