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【高考领航】高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件7.8立体几何中的向量方法(Ⅱ)——空间角与距离_图文

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第8课时 立体几何中的向量方法(Ⅱ) ——空间角与距离(理科) ? ? (一)考纲点击 能用向量方法解决直线与直线、直线与 平面、平面与平面的夹角的计算问题,了 解 向 量 方 法 在 研 究 立 体 几 何 问 题 中的 应 用. ? (二)命题趋势 ? 1.从考查内容看,本节是高考的必考内容, 主要考查利用空间向量的坐标运算解决求 空间角(异面直线所成角、直线与平面所成 角、二面角)及距离等问题. ? 2.从考查形式看,主要以解答题的形式出 现,侧重于考查空间向量的应用,属中档 题. ? 1.空间向量与空间角的关系 ? (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1, m2,则l1与l2所成的角θ满足cos θ=|cos〈m1, m2〉|. 对点演练 (教材改编)在如图所示的正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为 10 A.- 10 C. 1 20 1 B.- 20 D. 10 10 ( ) 解析:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建系, → 设 A(2,0,0)、C(0,2,0),D1(0,0,2),E(0,1,2),AC=(-2,0,0) 10 → → (0,1,0),cos〈AC,DE〉= 10 . 答案:D → DE= ? (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分 别为m,n,则直线l与平面α所成角θ满足sin θ=|cos〈m,n〉|. 对点演练 ? 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的 射 影 的 方 向 向 量 分 别 是 a = (1,0,1) , b = (0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是 ( ) ? A.90° 解析:∵cos〈a,b〉= ? C.45° 答案:D 1 B. 130° = , 2· 2 2 又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=60° . D.60° (3)求二面角的大小 1° 如图①,AB、CD 是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的直 → → 线,则二面角的大小 θ=〈AB,CD〉 . ? 2°如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β 的两个半平面α,β的法向量,则二面角的 大小θ满足cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1, n2〉. 对点演练 (1)(教材改编)已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0), n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为 A.45° C.45° 或 135° B.135° D.90° ( ) m· n 1 2 解析:cos〈m,n〉= = = , |m||n| 1× 2 2 即〈m,n〉=45° ,其补角为 135° , ∴两平面所成的二面角为 45° 或 135° . 答案:C (2)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,SD⊥平面 ABCD, SD=2,AD= 2.则二面角 C-AS-D 的余弦值为______. 10 答案: 5 2.点面距的求法 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量, → |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离 d= |n| . 对点演练 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=5,AB=12,那么直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离是________. 60 答案: 13 ? 1.利用平面的法向量求二面角的大小时,当 求出两半平面 α 、 β 的向量 n1 , n2 时,要根据 向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而 确定二面角与向量 n1 , n2 的夹角是相等,还 是互补. ? 2 .求点到平面距离的方法: (1) 垂面法:借 助面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点 确定已知面的垂面是关键; (2)等体积法,转 化为求三棱锥的高;(3)等价转移法;(4)法向 量法. 题型一 求异面直线所成的角 (2012· 上海)如图,在四棱锥P- ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA⊥ 底 面 ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2, ? PA=2.求: ? (1)三角形PCD的面积; ? (2)异面直线BC与AE所成的角的大小. ? 【解】 法一:(1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD.又 AD⊥ CD,所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 因为 PD= 22+?2 2?2=2 3, CD=2, 1 所以三角形 PCD 的面积为 ×2×2 3=2 3. 2 (2)如图(1), 取 PB 中点 F, 连接 EF、 AF, 则 EF∥BC, 从而∠AEF(或 其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角. 在△AEF 中, 由 EF= 2, π AF= 2,AE=2 知△AEF 是等腰直角三角形,所以∠AEF=4. π 因此,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4. 图(1) 法二:(1)如图(2),建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(2,2 2, 0),E(1, 2,1),D(0,2 2,0),P(0,0,2) → → → ∴DC=AB=(2,0,0),DP=(0,-2 2,2) → → ∴DC· DP=0,∴DC⊥DP → → ∴|DC|=2,|DP|=2 3, 1 ∴S△=2×2×2 3=2 3. → → (2)AE=(1, 2,1),BC=(0,2 2,0). → → 设AE与BC的夹角为 θ,则 → → AE· BC 4 2 π cos θ= → → = = 2 ,所以 θ=4. 2×2 2 |AE||BC| π 由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4. ? 【归纳提升】 异面直线所成角范围是(0°, 90°],若异面直线a,b的方向向量为m,n, 异面直线a,b所成角为θ,则cos θ=|cos〈m, n〉|. 解题过程

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