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高考数学一轮复习 用立体几何中向量方法——求空间角与距离03课件

时间:2018-08-08


求空间距离
例 4 在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA= SC=2 3,M、N 分别为 AB、SB 的中点, 如图所示. 求点 B 到平面 CMN 的距离.
由平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC,BA=BC,可知本题可以取 AC 中点 O 为坐标原点,分别以 OA,OB,OS 所在直线为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求解.



取 AC 的中点 O,连结 OS、OB.

∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SO,AC⊥BO.

∵平面 SAC⊥平面 ABC, 平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC, 又∵BO?平面 ABC,∴SO⊥BO.
如图所示,建立空间直角坐标系 O—xyz, 则 B(0,2 3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 2), M(1, 3,0),N(0, 3, 2).

→ → → ∴CM=(3, 3,0),MN=(-1,0, 2),MB=(-1, 3,0). 设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量, ?→ ?CM· n=3x+ 3y=0 则? → ? n=-x+ 2z=0 ?MN· ,取 z=1,

则 x= 2,y=- 6,∴n=( 2,- 6,1).
→ |n· MB| 4 2 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d= = . |n| 3

探究提高
点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它的理论基础仍出 → → 于几何法. 如本题, 事实上, 作 BH⊥平面 CMN 于 H.由BH=BM → → → +MH及BH· n= n · BM, → → → ∴|BH· n|=|n· BM|=|BH|· |n|, → → | n · BM | | n · BM | → ∴|BH|= ,即 d= . |n| |n|

变式训练 4
如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角 形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD, AB=2 3.求点 A 到平面 MBC 的距离.
解 取 CD 中点 O,连结 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD, 则 MO⊥平面 BCD. 取 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴、
y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图. OB=OM= 3,则各点坐标分别为
C(1,0,0),M(0,0, 3), B(0,- 3,0),A(0,- 3,2 3).

设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, → → 则BC=(1, 3,0),BM=(0, 3, 3), → → 由 n⊥BC得 x+ 3y=0;由 n⊥BM得 3y+ 3z=0.
→ 取 n=( 3,-1,1),BA=(0,0,2 3), → |BA· n| 2 3 2 15 则 d= = = . |n| 5 5

答题模板
利用空间向量求空间角
(14 分)如图,已知在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,AA1 =1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30° ,AE 垂直 BD 于点 E,F 为 A1B1 的中点.

(1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值; (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)的余弦值.

审题视角
(1)研究的几何体为长方体,AB=2,AA1=1. (2)所求的是异面直线所成的角和二面角. (3)可考虑用空间向量法求解.

规范解答 解 以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AA1 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(如图所示).

由于 AB=2,BD 与平面 AA1B1B 所成角为 30° , 2 3 即∠ABD=30° ,∴AD= , 3

[2 分]

? ? 2 3 ? ? ∴A(0,0,0),B(2,0,0),D?0, ,0?,F(1,0,1). 3 ? ?

又 AE⊥BD,故由平面几何知识得 AE=1, ?1 ? 3 ? 从而 E? , ,0? , ? 2 ?2 ?
? 3 → ? → ?1 ? (1)因为AE=? , ,0?,BF=(-1,0,1), 2 ?2 ? ? 1 3 → → ? ?1 ? ∴AE· BF=? , ,0?· (-1,0,1)=- , 2 2 2 ? ? → → |AE|=1,|BF|= 2,

[4 分]

[6 分]

设 AE 与 BF 所成角为 θ1, ? 1? ?- ? → → |AE· BF| ? 2? 2 则 cos θ1= = = . → → 1× 2 4 |AE||BF|

[8 分]

2 故异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为 . 4

(2)设平面 BDF 的法向量为 n=(x,y,z), ? → ?-x+z=0 ? n· ? BF=0 由? ,得? 2 3 → -2x+ y=0, ? ? n · BD = 0 3 ? ? ∴z=x,y= 3x,取 x=1,得 n=(1, 3,1).
求得平面 AA1B 的一个法向量为 ? 2 3 → ? ? ? m=AD=?0, , 0 ?. 3 ? ? 设平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的大小为 θ2. |m· n| 则 cos θ2=|cos〈m,n〉|= |m||n| |0+2+0| 15 = = . 5 2 3 × 5 3

[10 分]

[14 分]

答题模板
第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.

批阅笔记

(1)利用向量求角是对口升学的热点,几乎每年必考,主要是突出 向量的工具性作用. (2)本题易错点是学生在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和 坐标轴,导致建系不规范. (3)将向量的夹角转化成空间角时, 要注意根据角的概念和图形特 征进行转化,否则易错.

方法与技巧
1.若利用向量求角,各类角都可以转化为向量的夹角来运算. (1)求两异面直线 a、b 的夹角 θ,须求出它们的方向向量 a,b 的夹角,则 cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)求直线 l 与平面 α 所成的角 θ 可先求出平面 α 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 的夹角. 则 sin θ=|cos〈n,a〉|. (3)求二面角 α—l—β 的大小 θ,可先求出两个平面的法向量 n1,n2 所成的角,则 θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉 . 2.求点到平面的距离,若用向量知识,则离不开以该点为端点的 平面的斜线段.

失误与防范

1.利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因 为向量夹角与各空间角的定义、范围不同. 2.求点到平面的距离,有时利用等积法求解可能更方便.


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