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2019高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形学案理

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专题 04 知识必备 一、正弦定理 1.正弦定理 解三角形 在 △ ABC 中,若角 A , B , C 对应的三边分别是 a , b , c ,则各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c = = .正弦定理对任意三角形都成立. sin A sin B sin C 2.常见变形 (1) sin A a sin C c sin B b ? , ? , ? , a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B; sin B b sin A a sin C c (2) a b c a?b a?c b?c a ?b?c ? ? ? ? ? ? ; sin A sin B sin C sin A ? sin B sin A ? sin C sin B ? sin C sin A ? sin B ? sin C (3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C; (4)正弦定理的推广: 3.解决的问题 (1)已知两角和任意一边,求其他的边和角; (2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角. 4.在 △ABC 中,已知 a , b 和 A 时,三角形解的情况 a b c = = =2 R ,其中 R 为 △ABC 的外接圆的半径. sin A sin B sin C 二、余弦定理 1.余弦定理 1 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B,c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C. 2.余弦定理的推论 从余弦定理,可以得到它的推论: b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 . cos A ? , cos B ? , cos C ? 2bc 2ca 2ab 3.解决的问题 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角. 4.利用余弦定理解三角形的步骤 三、三角形的面积 1.三角形的面积公式 设 △ABC 的三边为 a,b,c,对应的三个角分别为 A,B,C,其面积为 S. 1 ah (h 为 BC 边上的高); 2 1 1 1 (2) S ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C ; 2 2 2 1 (3) S ? r (a ? b ? c ) ( r 为三角形的内切圆半径). 2 (1) S ? 2.三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA. 核心考点 考点一 直接利用正、余弦定理解三角形 【例 1】(正弦定理)设 △ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 A ? 60? , B ? 75? , c ? 8 , 则 a ? A. 4 7 C. 4 5 B. 4 6 D. 4 2 2 【答案】B 【解析】 故选 B. 【例 2】 (余弦定理) 已知 a, b, c 分别是 △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 且 a ? 1, b ? 3, A ? C ? 则c ? A. 2 C. 3 【答案】B B.1 D. A ? 60? , B ? 75? , ? C ? 45? , 由正弦定理 a c 8 a ? ? ,? a ? 4 6 . 得 sin A sin C sin 45? sin 60? 1 B, 2 1 2 【例 3】 (正、 余弦定理的综合) 在 △ABC 中,a ,b ,c 分别为内角 A ,B ,C 的对边, 若 3sin A ? 2sin B , 4b ? 3c ,则 cos B ? A. 15 4 3 15 16 B. 3 4 D. C. 11 16 【答案】D 【解析】因为 3sin A ? 2sin B ,所以由正弦定理得 3a ? 2b ,又因为 4b ? 3c ,所以 6a ? 4b ? 3c ,令 a ? 2 m, b ? 3m, c ? 4 m,所以由余弦定理得 cos B ? 4m2 ? 16m2 ? 9m2 11 ? ,选 D. 2 ? 2m ? 4m 16 备考指南 1.利用正、余弦定理求边和角的方法: (1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形,并在图形中标出相关的位置. (2)选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式, 要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不 明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. 3 (3)在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用. 2.常见结论: (1) 三角形的内角和定理: 在 △ABC 中, A ? B ? C ? π , 其变式有:A ? B ? π ? C , (2)三角形中的三角函数关系: sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C ; A? B π C ? ? 等. 2 2 2 sin A? B C A? B C ? cos ; cos ? sin . 2 2 2 2 考点二 三角形解的个数或形状的判断 【例 4】 (三角形个数的判断)在 △ABC 中,a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对的边, 若 a=2, b= 6 ,A=45°, 则满足条件的三角形有 A. 1 个 C. 0 个 【答案】B 【解析】∵ b sin A ? B.2 个 D.无法确定 6? 2 ? 3 ,∴ b sin A ? a ? b ,∴满足条件的三角形有 2 个,故选 B. 2 备考指南 判断三角形解的个数的两种方法 1.代数法:根据大边对大角的性质、三角形内

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