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2019高考数学突破三角函数与解三角形问题中的套路专题04解三角形学案理

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专题 04 知识必备 一、正弦定理 1.正弦定理 解三角形 在 △ ABC 中,若角 A , B , C 对应的三边分别是 a , b , c ,则各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c = = .正弦定理对任意三角形都成立. sin A sin B sin C 2.常见变形 (1) sin A a sin C c sin B b ? , ? , ? , a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B; sin B b sin A a sin C c (2) a b c a?b a?c b?c a ?b?c ? ? ? ? ? ? ; sin A sin B sin C sin A ? sin B sin A ? sin C sin B ? sin C sin A ? sin B ? sin C (3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C; (4)正弦定理的推广: 3.解决的问题 (1)已知两角和任意一边,求其他的边和角; (2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角. 4.在 △ABC 中,已知 a , b 和 A 时,三角形解的情况 a b c = = =2 R ,其中 R 为 △ABC 的外接圆的半径. sin A sin B sin C 二、余弦定理 1.余弦定理 1 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B,c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C. 2.余弦定理的推论 从余弦定理,可以得到它的推论: b2 ? c 2 ? a 2 c 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 . cos A ? , cos B ? , cos C ? 2bc 2ca 2ab 3.解决的问题 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角. 4.利用余弦定理解三角形的步骤 三、三角形的面积 1.三角形的面积公式 设 △ABC 的三边为 a,b,c,对应的三个角分别为 A,B,C,其面积为 S. 1 ah (h 为 BC 边上的高); 2 1 1 1 (2) S ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C ; 2 2 2 1 (3) S ? r (a ? b ? c ) ( r 为三角形的内切圆半径). 2 (1) S ? 2.三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA. 核心考点 考点一 直接利用正、余弦定理解三角形 【例 1】(正弦定理)设 △ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 A ? 60? , B ? 75? , c ? 8 , 则 a ? A. 4 7 C. 4 5 B. 4 6 D. 4 2 2 【答案】B 【解析】 故选 B. 【例 2】 (余弦定理) 已知 a, b, c 分别是 △ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 且 a ? 1, b ? 3, A ? C ? 则c ? A. 2 C. 3 【答案】B B.1 D. A ? 60? , B ? 75? , ? C ? 45? , 由正弦定理 a c 8 a ? ? ,? a ? 4 6 . 得 sin A sin C sin

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