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湖北省百校大联盟2016届高三上学期10月联考数学试卷(理科) Word版含解析

时间:2016-11-26


2015-2016 学年湖北省百校大联盟高三(上)10 月联考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣6<0}, .若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. C. (﹣∞,3) B. (﹣2,3) (﹣∞,﹣2) D.[3,+∞)

2.已知函数 f(x)=

,则 f[f(﹣1)]等于(



A.

B.1

C.

D. ) ,则 sin( D. ﹣θ)等于( )

3.已知 cosθ= tan(﹣ A. B.﹣ C.

4.若

(3x2﹣2ax)dx=4 C.2 D.4

cos2xdx,则 a 等于(



A.﹣1 B.1

5.已知命题 p:若 θ 是第二象限角,则 sinθ(1﹣2cos2

)>0,则( )<0 )>0



A.命题 p 的否命题为:若 θ 是第二象限角,则 sinθ(1﹣2 cos2 B.命题 p 的否命题为:若 θ 不是第二象限角,则 sinθ(1﹣2 cos2 C.命题 p 是假命题 D.命题 p 的逆命题是假命题

6.已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ ,且 f(﹣2)=3,则曲线 f(x)在点 (1,f(1) )处的切线方程为( ) A.2x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣4=0 C.x+y﹣2=0 D.x+y﹣4=0 7.若 xlog52≥﹣1,则函数 f(x)=4x﹣2x+1﹣3 的最小值为( ) A.﹣4 B.﹣3 C.﹣1 D.0 8.已知函数 f(x)=2sin(π+x)sin(x+ 函数 g(x)=cos(2x﹣φ)的图象. ( A.关于点( )对称 +φ)的图象关于原点对称,其中 φ∈(0,π) ,则 )

B.可由函数 f(x)的图象向右平移 C.可由函数 f(x)的图象向左平移 D.可由函数 f(﹣x)的图象向右平移 9.已知命题 p:? x∈R,

个单位得到 个单位得到 个单位得到 )

≤cos2.若(?p)∧q 是假命题,则命题 q 可以是(

A.若﹣2≤m<0,则函数 f(x)=﹣x2+mx 在区间(﹣4,﹣1)上单调递增 B.“1≤x≤4”是“ C.x= x≥﹣1”的充分不必要条件 sin 2x 的一条对称轴

是函数 f(x)=cos 2x﹣

D.若 a∈[ ,6) ,则函数 f(x)= x2﹣alnx 在区间(1,3)上有极值 10.已知 x= 是函数 f(x)=(b﹣ )sinx+(a﹣b)cosx(a≠0)的一个零点,则函数 g )

(x)=asinx﹣bcosx 的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

11.已知函数 f(x)=

,且函数 g(x)=loga(x2+x+2) (a>0,且 a≠1)在[﹣ ,

1]上的最大值为 2,若对任意 x1∈[﹣1,2],存在 x2∈[0,3],使得 f(x1)≥g(x2) ,则实 数 m 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣ ] B. (﹣∞, ] C.[ ,+∞) D.[﹣ ,+∞]

12.设函数 f(x)=ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x(x≥﹣2) ,若不等式 f(x)≤0 有解,则实数 α 的最小值为( ) A. B.2﹣ C.1﹣ D.1+2e2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 A={﹣2,a},B={ 2015a,b},且 A∩B={l},则 A∪B= . ﹣x 14.若“m<a”是“函数 g(x)=5 +m 的图象不过第一象限”的必要不充分条件,则实数 a 的取 值范围是 .

15.若 x∈[﹣



],则 f(x)=

的最大值为



16.已知函数 f(x)=sin(x﹣ )﹣ + ,当 <x< 时,不等式 f(x)?log2(x﹣2m+ ) >0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=Asin(4x+φ) (A>0,0<φ<π)在 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; (3)若 , ,求 的值. 时取得最大值 2.

18.函数 f(x)=lg[﹣x2+(3a+2)x﹣3a﹣1]的定义域为集合 A. (1)设函数 y=x2﹣2x+3(0≤x≤3)的值域为集合 B,若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围; (2)设集合 B={x|(x﹣2a) (x﹣a2﹣1)<0},是否存在实数 a,使得 A=B?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 19.已知函数 f(x)=(sinx+ cox)2﹣2. (1)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的单调递增区间; , ]上单调递减,求实数 λ 的

(2)若函数 g(x)=﹣(1+λ)f2(x)﹣2f(x)+1 在[﹣

取值范围. 20.某市政府欲在如图所示的矩形 ABCD 的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园(如图中 阴影部分) ,形状为直角梯形 OPRE(线段 EO 和 RP 为两条底边) ,已知 AB=2km,BC=6km, AE=BF=4km,其中曲线 AF 是以 A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分. (1)以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,求曲线 AF 所在抛物线的方程; (2)求该公园的最大面积.

21.已知函数 f(x)=

(a>0,且 a≠1)

(1)判断 f(x)的奇偶性和单调性;

(2)已知 p:不等式 af(x)≤2b(a+1)对任意 x∈[﹣1,1]恒成立;q:函数 g(x)=lnx+ (x﹣b)2(b∈R)在[ ,2]上存在单调递增区间,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 b 的 取值范围. 22.已知函数 f(x)=(x2﹣ax+1)ex(其中 e 为自然对数的底数) . (1)设 f(x)=xlnx﹣x2+ ,若 a< ,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值;

(2)定义:若函数 G(x)在区间[s,t](s<t)上的取值范围为[s,t],则称区间[s,t]为函 数 G(x)的“域同区间”,若 a=2,求函数 f (x)在(1,+∞)上所有符合条件的“域同区间”.

2015-2016 学年湖北省百校大联盟高三(上)10 月联考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣6<0}, .若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. C. (﹣∞,3) B. (﹣2,3) (﹣∞,﹣2) D.[3,+∞) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,根据 A 与 B 的交集 不为空集确定出 m 的范围即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x+2) (x﹣3)<0, 解得:﹣2<x<3,即 A=(﹣2,3) , 由 B 中 y= ,得到 x≥m,即 B=[m,+∞) , ∵A∩B≠?, ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,3) , 故选:A.

2.已知函数 f(x)=

,则 f[f(﹣1)]等于(



A.

B.1

C.

D.

【考点】分段函数的应用;函数的值. 【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可. ,则 f[f(﹣1)]=f[1﹣2﹣1]=f( )=

【解答】解:函数 f(x)=

=



故选:D.

3.已知 cosθ= tan(﹣ A. B.﹣ C.

) ,则 sin( D.

﹣θ)等于(



【考点】运用诱导公式化简求值.

【分析】由已知结合诱导公式求得 cosθ= =cosθ= . )=﹣ ,

,再由三角函数的诱导公式得 sin(

﹣θ)

【解答】解:∵cosθ= tan(﹣ ∴sin( ﹣θ)=cosθ= .

故选:B.

4.若

(3x2﹣2ax)dx=4 C.2 D.4

cos2xdx,则 a 等于(



A.﹣1 B.1

【考点】定积分. 【分析】根据定积分的计算,分别求得 (3x2﹣2ax)dx=7﹣3a,

4

cos2xdx=2sin2x

=1,可知 7﹣3a=1,即可求得 a 的值.

【解答】解:由

(3x2﹣2ax)dx=(x3﹣ax2)

=7﹣3a,

4

cos2xdx=2sin2x

=1,

∴7﹣3a=1, 解得:a=2, 故选:C. 5.已知命题 p:若 θ 是第二象限角,则 sinθ(1﹣2cos2

)>0,则( )<0 )>0



A.命题 p 的否命题为:若 θ 是第二象限角,则 sinθ(1﹣2 cos2 B.命题 p 的否命题为:若 θ 不是第二象限角,则 sinθ(1﹣2 cos2 C.命题 p 是假命题 D.命题 p 的逆命题是假命题

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】写出原命题的否命题,可判断 A,B;判断原命题的真,结合互为逆否的两个命题真 假性相同,可判断 C,D. 【解答】解:命题 p 的否命题为:若 θ 不是第二象限角,则 sinθ(1﹣2 cos2 B 错误; )≤0,故 A,

命题 p:若 θ 是第二象限角,则 sinθ(1﹣2cos2 故 C 错误,D 正确; 故选:D

)=sinθcosθ>0,为真命题,

6.已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ ,且 f(﹣2)=3,则曲线 f(x)在点 (1,f(1) )处的切线方程为( A.2x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣4=0 ) C.x+y﹣2=0 D.x+y﹣4=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由已知函数的奇偶性求出 x>0 时的解析式,求出导函数,得到 f′(1) ,然后代入直 线方程的点斜式得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)是偶函数,f(﹣2)=3, ∴f(2)=3, ∵当 x>0 时,f(x)=x+ , ∴2+ =3, ∴m=2, ∴f(1)=3, ∵f′(x)=1﹣ ,∴f′(1)=﹣1.

∴曲线 y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是 y﹣3=﹣(x﹣1) . 即 x+y﹣4=0. 故选:D. 7.若 xlog52≥﹣1,则函数 f(x)=4x﹣2x+1﹣3 的最小值为( A.﹣4 B.﹣3 C.﹣1 D.0 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】由条件求得 x≥﹣log25,令 t=2x(t≥ ) ,即有 y=t2﹣2t﹣3,由二次函数的最值求法, 即可得到最小值. 【解答】解:xlog52≥﹣1,即为 x≥﹣log25, 2x≥ ,令 t=2x(t≥ ) , 即有 y=t2﹣2t﹣3=(t﹣1)2﹣4, 当 t=1≥ ,即 x=0 时,取得最小值﹣4. 故选:A. )

8.已知函数 f(x)=2sin(π+x)sin(x+ 函数 g(x)=cos(2x﹣φ)的图象. (

+φ)的图象关于原点对称,其中 φ∈(0,π) ,则 )

A.关于点(

)对称 个单位得到 个单位得到 个单位得到

B.可由函数 f(x)的图象向右平移 C.可由函数 f(x)的图象向左平移 D.可由函数 f(﹣x)的图象向右平移

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由已知可得 y=sin(x+ +φ)为偶函数.由 φ∈(0,π) ,可得 φ,从而可求 f(x) ,

g(x) ,由三角函数的图象和性质及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可得解. 【解答】解:∵y=2sin(π+x)为奇函数,函数 f(x)=2sin(π+x)sin(x+ 原点对称, ∵y=sin(x+ +φ)为偶函数. , ) , +φ)的图象关于

∴由 φ∈(0,π) ,可得 φ= ∴f(x)=﹣sin2x=cos(2x+ ∴g(x)=cos(2x﹣ ∴g( f(x﹣ ) ,

)=cos0=1,A 错误; )=﹣sin2(x﹣ )=﹣sin(2x﹣ ﹣ )=cos(2x﹣ )=g(x) ,B 正确;

同理可得 C,D 错误. 故选:B.

9.已知命题 p:? x∈R,

≤cos2.若(?p)∧q 是假命题,则命题 q 可以是(



A.若﹣2≤m<0,则函数 f(x)=﹣x2+mx 在区间(﹣4,﹣1)上单调递增 B.“1≤x≤4”是“ C.x= x≥﹣1”的充分不必要条件 sin 2x 的一条对称轴

是函数 f(x)=cos 2x﹣

D.若 a∈[ ,6) ,则函数 f(x)= x2﹣alnx 在区间(1,3)上有极值 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】由已知可得命题 p 为假命题;若(?p)∧q 是假命题,则 q 也是假命题;逐一四个答 案中命题的真假,可得答案. 【解答】解:cos2<0, >0 恒成立,

故命题 p:? x∈R,

≤cos2 为假命题;

若(?p)∧q 是假命题, 则 q 也是假命题; A 中,若﹣2≤m<0,则函数 f(x)=﹣x2+mx 在区间(﹣4,﹣1)上单调递增,为真命题; B 中,“1≤x≤4”是“ C 中,x= x≥﹣1”的充分不必要条件 sin 2x=2cos(2x+ )的一条对称轴,为真命题; >0 在区间(1,3)

是函数 f(x)=cos 2x﹣

D 中,函数 f(x)= x2﹣alnx,f′(x)=x﹣ ,当 a= 时,f′(x)=x﹣ 上恒成立,函数无极值,故 D 为假命题; 故选:D

10.已知 x=

是函数 f(x)=(b﹣

)sinx+(a﹣b)cosx(a≠0)的一个零点,则函数 g )

(x)=asinx﹣bcosx 的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】由题意知 f( )=(b﹣ )sin )=﹣ +(a﹣b)cos =0,从而解得 a= b,

(b≠0) ,从而可得 g(0)=﹣b,g( 【解答】解:∵x= ∴f( 即(b﹣ 即 a= 故 g(x)= )=(b﹣ )

b,从而确定答案. )sinx+(a﹣b)cosx(a≠0)的一个零点, =0,

是函数 f(x)=(b﹣ )sin +(a﹣b)cos

+(a﹣b) =0,

b, (b≠0) , bsinx﹣bcosx, )= b ﹣b =﹣ b,

故 g(0)=﹣b,g(

故 g(0)与 g( 故选:B.

)同号,且|g(0)|>|g(

)|;

11.已知函数 f(x)=

,且函数 g(x)=loga(x2+x+2) (a>0,且 a≠1)在[﹣ ,

1]上的最大值为 2,若对任意 x1∈[﹣1,2],存在 x2∈[0,3],使得 f(x1)≥g(x2) ,则实 数 m 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣ ] B. (﹣∞, ] 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】由已知函数 g(x)=loga(x2+x+2) (a>0,且 a≠1)在[﹣ ,1]上的最大值为 2, 先求出 a 值,进而求出两个函数在指定区间上的最小值,结合已知,分析两个最小值的关系, 可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)= =31﹣x﹣m, C.[ ,+∞) D.[﹣ ,+∞]

当 x1∈[﹣1,2]时,f(x1)∈[ ﹣m,9﹣m]; ∵t=x2+x+2 的图象是开口朝上,且以直线 x=﹣ 为对称轴的抛物线, 故 x∈[﹣ ,1]时,t∈[ ,4],

若函数 g(x)=loga(x2+x+2) (a>0,且 a≠1)在[﹣ ,1]上的最大值为 2, 则 a=2, 即 g(x)=log2(x2+x+2) , x 0 3 g x 当 2∈[ , ]时, ( 2)∈[1,log214], 若对任意 x1∈[﹣1,2],存在 x2∈[0,3],使得 f(x1)≥g(x2) , 则 ﹣m≥1, 解得 m∈(﹣∞,﹣ ], 故选:A. 12.设函数 f(x)=ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x(x≥﹣2) ,若不等式 f(x)≤0 有解,则实数 α 的最小值为( ) A. B.2﹣ C.1﹣ D.1+2e2

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】化简 a≥x3﹣3x+3﹣ 从而解得. 【解答】解:f(x)≤0 可化为 ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x≤0, 即 a≥x3﹣3x+3﹣ , ,

,从而令 F(x)=x3﹣3x+3﹣

,求导以确定函数的单调性,

令 F(x)=x3﹣3x+3﹣ 则 F′(x)=3x2﹣3+

=(x﹣1) (3x+3+e﹣x) ,

令 G(x)=3x+3+e﹣x,则 G′(x)=3﹣e﹣x, 故当 e﹣x=3,即 x=﹣ln3 时, G(x)=3x+3+e﹣x 有最小值 G(﹣ln3)=﹣3ln3+6=3(2﹣ln3)>0, 故当 x∈[﹣2,1)时,F′(x)<0,x∈(1,+∞)时,F′(x)>0; 故 F(x)有最小值 F(1)=1﹣3+3﹣ =1﹣ ; 故实数 α 的最小值为 1﹣ . 故选:C. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 A={﹣2,a},B={ 2015a,b},且 A∩B={l},则 A∪B= 【考点】并集及其运算. 【分析】由 A∩B={l},可得 a=b=1,则 A∪B 可求. 【解答】解:∵A∩B={l}, ∴a=b=1. 则 A∪B={﹣2,1,2015}. 故答案为:{﹣2,1,2015}.

{﹣2,1,2015} .

14.若“m<a”是“函数 g(x)=5﹣x+m 的图象不过第一象限”的必要不充分条件,则实数 a 的取 值范围是 (1,+∞) . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据指数函数的图象和性质,以及必要不充分条件的定义即可求出 a 的范围. 【解答】解:∵函数 g(x)为减函数,且函数 g(x)的图象不经过第一象限, 则满足 g(0)=1+m≤0,即 m≤﹣1, ∵“m<a”是“函数 g(x)=5﹣x+m 的图象不过第一象限”的必要不充分条件, ∴a>1, 故答案为: (1,+∞)

15.若 x∈[﹣



],则 f(x)=

的最大值为 ﹣



【考点】三角函数的最值. 【分析】由三角函数公式化简可得 f(x)=tanx+1﹣2﹣ 的单调性可得. 【解答】解:化简可得 f(x)= ,由 x∈[﹣ , ]和函数

=

=

=

=

=tanx+1﹣2﹣ ∵x∈[﹣ , ],∴tanx∈[﹣ ,1], 为增函数,

∴函数 f(x)=tanx+1﹣2﹣ ∴最大值为 1+1﹣2﹣ =﹣ , 故答案为:﹣ .

16.已知函数 f(x)=sin(x﹣ )﹣ + ,当 <x< 时,不等式 f(x)?log2(x﹣2m+ ) >0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (﹣∞,﹣2] 【考点】函数恒成立问题;正弦函数的图象. .

【分析】令 x﹣ =t(0<t<1) ,f(x)化为 sint﹣ t,求出导数,判断单调性,可得 f(x) 在 <x< 递增,即有 f(x)>0 成立,由题意可得 log2(x﹣2m+ )>0 恒成立,运用对数 函数的单调性和恒成立思想,即可得到 m 的范围. 【解答】解:令 x﹣ =t(0<t<1) , 函数 f(x)=sin(x﹣ )﹣ + =sint﹣ t, 导数为 cost﹣ , 由 0<t<1 可得 <cos1<cost<1, 即有 cost﹣ >0,则 f(x)在 <x< 递增, 即有 f(x)>0 成立,

由 f(x)?log2(x﹣2m+ )>0 恒成立, 即为 log2(x﹣2m+ )>0 恒成立, 即有 x﹣2m+ >1 在 <x< 恒成立. 则 2m<x﹣ ,由 <x﹣ <1,可得 2m≤ , 解得 m≤﹣2, 故答案为: (﹣∞,﹣2]. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=Asin(4x+φ) (A>0,0<φ<π)在 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; (3)若 , ,求 的值. 时取得最大值 2.

【考点】三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图 象确定其解析式. 【分析】 (1)根据函数表达得 ω=4,结合三角函数的周期公式即可得出 f(x)的最小正周期 的值; (2)由函数 f(x)在 得 时取得最大值 2,得 +φ= +2kπ(k∈Z) ,结合 0<φ<π 取 k=0

,从而得到 f(x)的解析式; ,结合诱导公式化简得 ,由同角三角函数

(3)由(2)求出的解析式代入 的关系结合 代入

算出 sinα=﹣ ,用二倍角的三角公式算出 sin2α、cos2α 之值, 的展开式,即可得到 的值.

【解答】解: (1)∵函数表达式为:f(x)=Asin(4x+φ) , ∴ω=4,可得 f(x)的最小正周期为 (2)∵f(x)在 ∴A=2,且 时取得最大值 2, 时 4x+φ= +2kπ(k∈Z) ,即 +φ= +2kπ(k∈Z) ,

∵0<φ<π,∴取 k=0,得 ∴f(x)的解析式是 ;

(3)由(2)得 即 ,可得 ,





,∴



∴ , ∴



=



18.函数 f(x)=lg[﹣x2+(3a+2)x﹣3a﹣1]的定义域为集合 A. (1)设函数 y=x2﹣2x+3(0≤x≤3)的值域为集合 B,若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围; (2)设集合 B={x|(x﹣2a) (x﹣a2﹣1)<0},是否存在实数 a,使得 A=B?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】集合的相等;对数函数的图象与性质. 【分析】 (1)化简集合 A,B,利用 A∩B=B,可得 B? A,即可求实数 a 的取值范围; (2)对 a 进行分类讨论后,再由 A=B 我们易构造出一个关于 a 的不等式组,解不等式组,即 可得到结论. 【解答】解: (1)A={x|(x﹣1) (x﹣3a﹣1)<0},B=[2,6], ∵A∩B=B, ∴B? A, ∴3a﹣1>6, ∴a> ; (2)由于 2a≤a2+1,当 2a=a2+1 时,即 a=1 时,函数无意义, ∴a≠1,B={x|2a<x<a2+1}.… ①当 3a+1<1,即 a<0 时,A={x|3a+1<x<1},要使 A=B 成立,则 ②当 3a+1=1,即 a=0 时,A=?,使 A=B 成立,则 2a>a2+1,无解; ③当 3a+1=1,即 a>0 时,A={x|2<x<3a+1},要使 A=B 成立,则 综上,不存在 a,使得 A=B. 19.已知函数 f(x)=(sinx+ (1)当 x∈[0, cox)2﹣2. ,无解 ,无解;

]时,求函数 f(x)的单调递增区间;

(2)若函数 g(x)=﹣(1+λ)f2(x)﹣2f(x)+1 在[﹣ 取值范围. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.



]上单调递减,求实数 λ 的

【分析】 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+

) ,由 ],

k∈Z 可解得函数 ( f x) , 的单调递增区间, 结合范围 x∈[0,

即可得解. (2)由(1)可知:f(x)在[﹣ ﹣2t+1 在[﹣ , , ]上单调递增,令 t=f(x) ,则 g(t)=﹣(1+λ)t2

]单调递减,根据二次函数的图象和性质分类讨论,从而解出实数 λ 的取 cox)2﹣2

值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)=(sinx+ 2 2 =sin x+3cos x+2 sinxcosx﹣2 = =cos2x+ =2sin(2x+ ∴由 2kπ﹣ kπ+ +3× sin2x ) , ≤2x+ ≤2kπ+ +

sin2x﹣2

,k∈Z 可解得函数 f(x)的单调递增区间为:[kπ﹣



],k∈Z, ]时,求函数 f(x)的单调递增区间为:[0, , ].

∴当 x∈[0,

(2)由(1)可知:f(x)在[﹣ ﹣2t+1 在[﹣ , ]单调递减,

]上单调递增,令 t=f(x) ,则 g(t)=﹣(1+λ)t2

①当 λ=﹣1 时,g(t)=﹣2t+1 满足; ②当﹣(1+λ)>0 时,即 λ<﹣1 时, 所以可得:﹣1>λ≥ , ≤﹣ ,解得 λ≤﹣1+ , ,可解得 λ≥ ,

③当﹣(1+λ)<0 时,即 λ>﹣1 时, 所以可得:﹣1<λ≤﹣1+ 综上可得: , .

≤λ≤﹣1+

20.某市政府欲在如图所示的矩形 ABCD 的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园(如图中 阴影部分) ,形状为直角梯形 OPRE(线段 EO 和 RP 为两条底边) ,已知 AB=2km,BC=6km, AE=BF=4km,其中曲线 AF 是以 A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分. (1)以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,求曲线 AF 所在抛物线的方程; (2)求该公园的最大面积.

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)设 AF 所在抛物线的方程为 y=ax2(a>0) ,代入点(2,4) ,解得 a,即可得到 所求 AF 所在抛物线的方程; (2)求得直线 CE 的方程,设 P(x,x2) (0<x<2) ,运用梯形的面积公式,可得公园的面积, 求出导数,求得单调区间和极值,也为最值,可得公园面积的最大值. 【解答】解: (1)设 AF 所在抛物线的方程为 y=ax2(a>0) , 2 F 2 4 4=a 2 a=1 ∵抛物线过 ( , ) ,∴ ? ,得 , ∴AF 所在抛物线的方程为 y=x2; (2)又 E(0,4) ,C(2,6) ,则 EC 所在直线的方程为 y=x+4, 2 设 P(x,x ) (0<x<2) , 2 则 PO=x,OE=4﹣x ,PR=4+x﹣x2, ∴公园的面积 ∴S'=﹣3x2+x+4,令 S'=0,得 或 x=﹣1(舍去负值) , (0<x<2) ,

当 x 变化时,S'和的变化情况如下表: x S' S + ↑ 0 极大值 ﹣ ↓



时,S 取得最大值

.故该公园的最大面积为



21.已知函数 f(x)=

(a>0,且 a≠1)

(1)判断 f(x)的奇偶性和单调性;

(2)已知 p:不等式 af(x)≤2b(a+1)对任意 x∈[﹣1,1]恒成立;q:函数 g(x)=lnx+ (x﹣b)2(b∈R)在[ ,2]上存在单调递增区间,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 b 的 取值范围. 【考点】复合命题的真假;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】 (1)①由函数 f(x)= (a>0,且 a≠1) ,可得 x∈R.计算 f(x)±f(﹣

x) ,即可判断出奇偶性.f′(x)=

=

,对 a 分类讨论即可判

断出单调性. (2)若命题 p 是真命题:由于函数 f(x)在 R 是单调递增,且不等式 af(x)≤2b(a+1)对 任意 x∈[﹣1,1]恒成立,当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值,可得 af(1)≤2b(a+1) ,即 可解出. 若命题 q 是真命题:g′(x)= +2(x﹣b) ,由于函数 g(x)=lnx+(x﹣b)2(b∈R)在[ , 2]上存在单调递增区间,可得 g′(2)>0,即可解出.根据 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可得 p 真 q 假,或 p 假 q 真. 【解答】解: (1)①由函数 f(x)= (a>0,且 a≠1) ,可得 x∈R.

∵f(x)+f(﹣x)= ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)是奇函数. ②f′(x)= =

+

=0,



当 a>1 时,lna>0,a﹣1>0,ax+a﹣x>0, ∴f′(x)>0,∴函数 f(x)单调递增. 同理可得:当 0<a<1 时,f′(x)>0,∴函数 f(x)单调递增. 无论:a>1,还是 0<a<1,函数 f(x)在 R 上单调递增. (2)若命题 p 是真命题:∵函数 f(x)在 R 是单调递增,且不等式 af(x)≤2b(a+1)对任 意 x∈[﹣1,1]恒成立, ∴当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值,∴af(1)=a× ≤2b(a+1) ,化为 ;

若命题 q 是真命题:g′(x)= +2(x﹣b) ,∵函数 g(x)=lnx+(x﹣b)2(b∈R)在[ ,2] 上存在单调递增区间, ∴g′(2)>0,∴ >0,解得 .

∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p 真 q 假,或 p 假 q 真.



,或



解得

,或

. ∪ .

∴b 的取值范围是

22.已知函数 f(x)=(x2﹣ax+1)ex(其中 e 为自然对数的底数) . (1)设 f(x)=xlnx﹣x2+ ,若 a< ,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值;

(2)定义:若函数 G(x)在区间[s,t](s<t)上的取值范围为[s,t],则称区间[s,t]为函 数 G(x)的“域同区间”,若 a=2,求函数 f (x)在(1,+∞)上所有符合条件的“域同区间”. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理. 【分析】 (1)首先对 F(x)求导,利用导函数的零点判断原函数 F(x)的单调性,分类讨论 a 的大小来求出最大值; (2)设函数 f(x)在(1,+∞)上的“域同区间”为[s,t](1<s<t) .判断 f(x)为单调增函 数,∴ ,也就是方程(x﹣1)2ex=x 有两分大于 1 的相异实根.进而转化为判断方程

是否有两个实数根. 【解答】解: (1)F(x)=xlnx﹣ax+1,则 F'(x)=lnx﹣a+1, F'(x)=0,解得 x=ea﹣1, 则函数 F(x)在区间(0,ea﹣1)上单调递减,在区间(ea﹣1,+∞)上单调递增. 当 a≤1,即 ea﹣1≤1 时,函数 F(x)在区间[1,e]上单调递增. 则 F(x)最大值为 F(e)=e+1﹣ea; 当 1<a< ,即 1<ea﹣1<e 时,F(x)的最大值为 F(e)和 F(1)中较大者; 由 F(e)﹣F(1)=a+e﹣ae>0,得 a< ∵ < .

时,∴F(x)的最大值为 F(e)=e+1﹣ae.

综上所述,F(x)在区间[1,e]上的最大值为 F(e)=e+1﹣ea. (2)设函数 f(x)在(1,+∞)上的“域同区间”为[s,t](1<s<t) . 2 x 2 x ∵f(x)=(x ﹣2x+1)e ,∴f'(x)=(x ﹣1)e >0. 即函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,∴ ,即

也就是方程(x﹣1)2ex=x 有两分大于 1 的相异实根. 设 g(x)=(x﹣1)2ex﹣x (x>1) ,则 g'(x)=(x2﹣1)ex﹣1. 设 h(x)=g'(x) ,则 h'(x)=(x2+2x﹣1)ex. ∵在(1,+∞)上有 h'(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增.

∵h(1)=﹣1<0,h(2)=3e2﹣1>0 即存在唯一的 x0∈(1,2) ,使得 h(x0)=0. 当 x∈(1,x0)时,h(x)=g'(x)<0,即函数 g(x)在(1,x0)上是减函数; 当 x∈(x0,+∞)时,h(x)=g'(x)>0,即函数 g(x)在(x0,+∞)上是减函数. 因为 g(1)=﹣1<0,g(x0)<g(1)<0,g(2)=e2﹣2>0. 所以函数 g(x)在区间(1,+∞)上只有一个零点. 这与方程(x﹣1)2ex=x 有两个大于 1 的相异根矛盾,所以假设不成立. 所以函数 f(x)在(1,+∞)上不存在“域同区间”.


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