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数列大题解题策略

时间:2016-06-03


数列大题解题策略 2016.5.28
一、题型定位:
2015 年高考数列为第五道解答题(第 20 题) ,作为压轴题,难度比较大; 2016 年高考数列可能仍为压轴题,难度一如既往比较大,但是也可能为第三道解答题(第 18 题) ,难度会低一些,得分必须在 12 分以上。 1、第三道解答题(第 18 题) : 以求通项求和为基础,求参数的取值范围以及简单的不等式证明。 2、第五道解答题(第 20 题) 根据给出的递推关系证明不等式,数列的通项公式一般不能求出来,难度比较大 递推关系主要有二次函数、一次分式函数、耐克函数、根式函数、三次函数 基本出发点:根据数列递推关系确定通项的单调性和范围(不动点) 。

二、数列求通项、求和以及最值范围问题:
主要考查等差数列,等比数列的定义,通项公式,求和公式及分组求和,裂项相消,错位 相减求和法的应用 第一问:根据给定条件,求 an , S n 等 1) 明确告知是等差或是等比数列,即列方程组进行基本量的运算; 2) 给出两项或三项之间的递推关系或是 an 与 S n 的递推关系,先证明一个新的数列为等差或是 等比数列,然后求通项或是求和,此时要恰当的进行变形转化,利用累加法、累乘法、待定 系数法、构造法、阶差法等手段,特别要重视“阶差法”的思想,即把一个等式变成两个等 式,从而寻找更直观的关系式。 注:常见递推公式:① an?1 ? an ? f (n) ;② an?1 ? an f (n) ,③ an?1 ? pan ? q ④ S n ? pan ? q ;⑤ an?1 ? pSn ? q 等. 第二问:不等恒成立问题、最大(小)项,最大(小)和问题、存在性问题等。特别要重视含有参数 的范围问题,注意自然数 n 是从 1 开始的特点。 例 1、 (浙江 11 年题 19)已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项 a1 为 a ( a ∈R) ,设数列的前 n 项和为 S n ,且

1 1 1 , , 成等比数列。 a1 a 2 a4
1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及 S n ; (2) 记 An =

1 1 1 1 1 1 1 1 + + +?+ , Bn = + + +? + , a1 a2 a22 S1 S 2 S3 Sn a 2 n ?1

当 n≥2 时,试比较 An 与 Bn 的大小。 例 2、 已知等差数列数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn }的各项均为正数,公比是 q ,且 满足: a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S2 ? 12, S2 ? b2 q . (1)求 ?an ? 与 {bn }; (2)设 cn ? 3bn ? ? ? 2 3 (? ? R) ,若 ?cn ? 满足: cn?1 ? cn 对任意的 n ? N 恒成立,
*

an

求 ? 的取值范围. 解:(Ⅰ) an ? 3n, bn ? 3n?1 (Ⅱ)由(1)知: cn ? 3bn ? ? ? 2
*

an 3

? 3n ? ? 2n .
n ?1

∵ cn?1 ? cn 对任意的 n ? N 恒成立, 即: 3

? ?? 2n?1 ? 3n ? ? ? 2n 恒成立,整理得:
n

?3? * ? ?2n ? 2? 3n 对任意的 n ? N * 恒成立,即: ? ? 2? ? ? 对任意的 n ? N 恒成立. ?2?
3 ?3? ∵ y ? 2? ? ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,? ymin ? 2?2 ? 3 ? ? ? 3 . ?2?
? ? 的取值范围为 ? ??,3? .
例 3、已知数列 ?an ? 和 ?bn ?满足 a1 ? m , an?1 ? ?an ? n , bn ? a n ?
x

2n 4 ? 3 9

(1)当 m ? 1 时,求证:对于任意的实数 ? ,数列 ?an ? 一定不是等差数列; (2)当 ?=- 时,试判断数列 ?bn ?是否为等比数列.

1 2

解析:(1)证明:当 m=1 时,a1=1,a2=λ +1,a3=λ (λ +1)+2=λ 2+λ +2.
2

假设数列{an}是等差数列,由 a1+a3=2a2,得λ 2+λ +3=2(λ +1), 即λ 2-λ +1=0,Δ =-3<0,∴方程无实根. 故对于任意的实数λ ,数列{an}一定不是等差数列. 1 1 2n 4 (2)当 λ=-2时,an+1=-2an+n,bn=an- 3 +9. 2(n+1) 4 2(n+1) 4 1 bn+1=an+1- + = ( - a +9 n+n)- 3 9 2 3 1 n 2 1 2n 4 1 =-2an+3-9=-2(an- 3 +9)=-2bn, 2 4 2 b1=a1-3+9=m-9. 2 2 1 ∴当 m≠9时,数列{bn}是以 m-9为首项,-2为公比的等比数列; 2 当 m=9时,数列{bn}不是等比数列.

三、可求通项的数列不等式的证明:
1、列项方法: ① ③

1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k



1 1 ? ( n ? k ? n) n?k ? n k

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

2、放缩方法: ①列项:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 1 ? 2 ? ? n ? n ?1 n ? n n ?1 n
2

2n 2n ? 1 1 1 ? n ? n? n ②糖水原理: n 4 ?1 4 2 4
③构造等比数列(例 1 解法一、解法二)

2n 2n ? 1 1 1 ? n ? n? n 4n ? 1 4 2 4

例 1.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 2n?1 , n ? N ? 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

?1? an n ?1 4 ? ,记数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn .求证: Tn ? , n ? N ? 3 n ? 1 an ? bn ?
3

解: (I)由 Sn ? 2 an ?2 n?1 , n ? N ? ,当 n ? 1 时,得 a1 ? 4 , S n ? 2an ? 2 n?1 , S n?1 ? 2an?1 ? 2 n (n ? 2) , 两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ? 2 n ,an ? 2an?1 ? 2 n ,

a a n a n ?1 }是 ? n ?1 ? 1 ,所以 { n n 2n 2 2

以 2 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an ? (n ? 1) ? 2 n (n ? N * ) 。 (II)解法一: bn ? 2 ?
n

1 1 1 ? 2(2 n ?1 ? n ?1 ) ? 2(2 n ?1 ? n ?1 ) ? 2bn ?1 (n ? 2) , n 2 2 2

所以

1 1 1 1 2 4 ? (n ? 2) ,当 n ? 1 时, T1 ? ? ? , bn 2 bn?1 b1 3 3

当 n ? 2 时, Tn ? 从而 Tn ? 解法二:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ??? ? ? ( ? ??? ) ? ? Tn ? ? Tn , b1 b2 bn b1 2 b1 b2 bn?1 b1 2 3 2
综上, Tn ?
4 , n? N?。 3

4 , 3

? 4n ? 1?

3 n ? 4 ,当且仅当 n ? 1 时,取等号 4
当 n ? 1 时, Tn ?

?

n 1 2 4 ? n2 4 1 ? n ? ? ? ( )n n bn 4 ?1 3 ? 4 3 2

2 4 ? 3 3

当 n ? 2 时, Tn ? 解法三:

4 1 1 2 1 4 1 4 [ ? ( ) ? ? ? ( ) n ] ? ? (1 ? n ) ? 3 2 2 2 3 2 3

n n 1 2 2 ? 1 1 ? ? n ? n ? n? bn 4 ? 1 4 2

n

1 4

?Tn ?

1 1 1 1 ?? ? n ? ?? ? n ? 2 2 4 4

4 3

解法四:

?

1 2n 2n 1 1 ? n ? 2n?1 ? 2( n?1 ? n ) bn 4 ?1 2 2 2

4 3 2 4 8 1 1 1 1 1651 1 4 ? ? 2( 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ) ? ? n ?1 ? 当 n ? 4 时, Tn ? ? 3 15 63 2 2 2 2 1260 2 3
当 n ? 1, 2,3 时,计算得 Tn ?

4

例 2.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 C n ?

2n , Tn ? C1 ? C2 ? C3 ? ... ? Cn ,求证: Tn ? 1 a n a n ?1

1 例 3.已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , a1 ? , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1,2,?? 2

n ?1 ? (1)证明:数列 ? S n ? 是等差数列,并求 Sn ; ? ? n ?
n n 1 (2)设 b =S × 4 -(-2) × (n +1) ,数列 ?bn ?前 n 项的和为 Tn ,求证:. Tn ? n n 2

n

3

.解:由 Sn ? n an ? n(n ?1) 知,当 n ? 2 时: Sn ? n (Sn ? Sn?1 ) ? n(n ?1) , 即得到 (n ?1)Sn ? n Sn?1 ? n(n ?1) ,∴ S n ?
2 2

2

2

n2 , n ?1 bn =

1 1 ≤ n 4 -(-2) 3 ? 2n
n

1 1 (1 ? 2 ) 1 1 1 1 2 ? 1 (1 ? 1 ) ? 1 ∴ Tn = b1 + b2 +?bn ? ? ??? ? ?2 2 n 1 3? 2 3? 2 3 3 3 3? 2 2n 1? 2

四、不求通项的数列不等式的证明:
命题预测的依据 ★递推公式是二次函数的题目已经比比皆是,大有题山题海的趋势 ★递推公式是双钩函数的题目杭州市统测已有,会被重点回避 ★纵览各地的高考和模拟试题,以三次函数为背景的题目较少,尤其是浙江省取消导数后, 一直是模棱两可的内容 ★2008 年安徽的高考中出现过三次函数背景的数列试题

(一)二次函数的递推公式, 求证关于通项、前 n 项和的不等式
例 1、已知数列 ?an ? 满足: an?1 ? an ? 2an ? 2 , a1 ? 3 , an ? 0 .( n ? N )
2
*

(1)证明:数列 ?ln(an ? 1)?是等比数列;
5

(2)设 bn ?

1 1 , S n 为数列 ?bn ?前 n 项的和,求证: S n <2 ? an an ? 2

解法: (2)a n ?1 ? 2 ? a n (a n ? 2) ?

1 a n?1 ? 2

?

1 1 1 1 ?? ( ? ) 取倒数再裂项 a n ? (a n ? 2) 2 an an ? 2

?

?2 1 1 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? an?1 ? 2 an an ? 2 an ? 2 an?1 ? 2 an an ? 2
? 1 1 1 1 ? ? ? ? 2?? ? ? ? an an ? 2 ? a n ? 2 a n ?1 ? 2 ?
累加求和

所以 bn ?

故 S n ? 2 ? (1 ?

1 a n ?1 ? 2

)?2

简单放缩

例 2. 【2015 高考浙江,理 20】已知数列 ?an ? 满足 a1 = (1)证明:1 ?

1 2 且 an ?1 = an - an ( n? N* ) 2

an ; ? 2( n? N* ) an ?1

2 (2)设数列 an 的前 n 项和为 S n ,证明

? ?

S 1 1 ( n ? N * ). ? n ? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)
1 ,由 an ? (1 ? an ?1 )an ?1 2

试题解析: (1)由题意得, an ?1 ? an ? ? an 2 ? 0 ,即 an ?1 ? an , an ? 得 an ? (1 ? an ?1 )(1 ? an ? 2 ) ??? (1 ? a1 )a1 ? 0 ,由 0 ? an ?

1 得, 2

an an a 1 (2)由题意得 an 2 ? an ? an ?1 , ? ? ? [1, 2] ,即 1 ? n ? 2 ; 2 an ?1 an ? an 1 ? an an ?1
∴ S n ? a1 ? an ?1 ①,由

a a 1 1 1 1 ? = n 和 1 ? n ? 2 得, 1 ? ? ? 2, an ?1 an an ?1 an ?1 an ?1 an

∴n ?

1 1 1 1 ? an ?1 ? (n ? N * ) ②,由①②得 ? ? 2n ,因此 an ?1 a1 2(n ? 1) n?2

S 1 1 . ? n ? 2(n ? 2) n 2(n ? 1)
6

(二)分式函数的递推公式, 求证关于通项、前 n 项和的不等式
例 1、已知数列{ xn }满足 x1 =
2 n 1 2x , xn ?1 ? 2 n (n ? N * ) .求证: ? ( xk ? xk ?1 ) ? 5 . 2 xn ? 1 xk xk ?1 16 k ?1

提示:利用 xk ?1 ? xk 递减,可得 xk ?1 ? xk ?
2 n n 所以 ? ( xk ? xk ?1 ) ? ? 3 ( 1 ? 1 ) xk xk ?1 xk ?1 k ?1 k ?1 10 xk

3 10

(三)耐克函数的递推公式, 求证关于通项、前 n 项和的不等式

7

(四)根式函数的递推公式, 求证关于通项、前 n 项和的不等式
20. (2016 缙中校考卷)已知数列 ?an ?(n ? N ? ) ,满足 a1 ? 1, 2an?1 ?

1 1 an ? ? an 2 3

(Ⅰ) 求证:

2 ? a n ?1 ? a n ; 3
2n 4 ? . 3 3

(Ⅱ) 设数列 ?an ?(n ? N ? ) 的前 n 项和为 S n ,证明: S n ? 解: (Ⅰ) ( 2 an?1 - ) ? (an ? ) ? 对于函数 f ( x) ?

2 3

1 2

1 3

1 3 1 1 2 ? an - ? ( ? an ? 1 ) ?2 3 2 2 3

1 ( x ? 1) 2 ? 2 ,当 x ? 1时f ( x) ? 0成立 2

a1 ? 1,

2 2 1 2 a2 - ) ? 0 , a2 ? , ? a1 ? 1 ,故 ( 3 3 3

2 1 ? a2 ? 1 ,所以 a 3 ? 成立, 3 3

所以

2 ? a n ?1 成立. ┅4 分 3

an ? an?1 ?

3 1 1 1 1 3 1 1 1 (a n ? ) ? an ? ? ? ( an ? ? ) 2 ? , 4 3 2 3 4 4 3 3 3
2 ? a n ?1 ? a n 3

因为

1 2 ? a n ? (1, ] ,所以 an ? an?1 ? 0 3 3

(Ⅱ)证法 1:因为

1 1 1 2 ? an ? ? an ? a n ? (1, ] ,所以 3 3 3 3

2an?1 ?

1 1 1 1 3 1 an ? ? an ? an ? ? an ? an ? 2 3 2 3 2 3
3 1 a n ?1 ? 2 3 3 1 a1 ? 2 3

故 2a n ? ……

2a 2 ?

累加得: 2( S n ? a n ?1 ? a1 ) ?

3 n Sn ? 2 3
8

2n 2n 2n 8 2n 4 ? 4a n ?1 ? ? 4 ? 4a n ?1 ? ?4? ? ? ┅15 分 3 3 3 3 3 3 1 1 ? ( ? an ) 1 2 a 3 证法 2:利用基本不等式放缩: ? an ? ? ? n 3 2 3 2 S n ? 4a1 ?
证法 3:构造等比数列 例 2.已知正项数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? (1)试比较 a n 与 a n ?1 的大小,并说明理由; (2)求证:

an ?

an ,n? N* 2 (n ? 1)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 an an?1 (n ? 1)

(五)三次函数的递推公式, 求证关于通项、前 n 项和的不等式
9

10

11

12


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