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2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《基本不等式》(浙江石小丽)

时间:2011-03-06


基本不等式(第一课时) 基本不等式(第一课时)
授课教师:浙江省桐乡第一中学 石小丽 教材:人教版高中数学必修 5 第三章

一、教学目标 1.通过两个探究实例,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式,了解基本不等式 的几何背景,体会数形结合的思想; 2.进一步提炼、完善基本不等式,并从代数角度给出不等式的证明,组织学生分析证 明方法,加深对基本不等式的认识,提高逻辑推理论证能力; 3.结合课本的探究图形,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合 的思想; 4.借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题,通过例 2 及其变式引导学生领会 运用基本不等式 ab ≤
a+b 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用,提 2

升解决问题的能力,体会方法与策略. 以上教学目标结合了教学实际,将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目 标融入各个教学环节. 二、教学重点和难点 重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式 ab ≤ 重点: 证明过程; 难点: 难点:在几何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式. 三、教学过程: 教学过程: 1.动手操作,几何引入 .动手操作, 如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标,会标 是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的,该图给出了迄今为止 对勾股定理最早、最简洁的证明,体现了以形证数、形数统一、代数 和几何是紧密结合、互不可分的. 探究一:在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗? 探究一
a+b 的 2

在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角 形.设直角三角形两条直角边长为 a, b , 那么正方形的边长为 a 2 + b 2 .于是, 4 个直角三角形的面积之和 S1 = 2ab , 正方形的面积 S 2 = a 2 + b 2 . 由图可知 S 2 > S1 ,即 a 2 + b 2 > 2ab . 探究二 探究二:先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角 三角形,再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个 直角三角形的直角边,多余部分折叠).假设两个正方形的面积分别 为 a 和 b ( a ≥ b ),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能 发现一个不等式吗? 通过学生动手操作,探索发现: ab ≤ 2.代数证明,得出结论 代数证明,得出结论 根据上述两个几何背景,初步形成不等式结论: 若 a, b ∈ R + ,则 a + b > 2ab .
2 2

b a

a+b 2

若 a, b ∈ R + ,则 ab ≤

a+b . 2

学生探讨等号取到情况,教师演示几何画板,通过展示图形动画,使学生直观感受不等 关系中的相等条件,从而进一步完善不等式结论: (1)若 a, b ∈ R + ,则 a 2 + b 2 ≥ 2ab ;(2)若 a, b ∈ R + ,则 ab ≤ 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明. 证法一(作差法):
a 2 + b 2 ? 2ab = ( a ? b) 2 ≥ 0 ∴ a 2 + b 2 ≥ 2ab ,当 a = b 时取等号. a+b 2

(在该过程中,可发现 a, b 的取值可以是全体实数) 证法二(分析法):由于 a, b ∈ R + ,于是

要证明 只要证明 即证 即

a+b ≥ ab , 2

a + b ≥ 2 ab ,

a + b ? 2 ab ≥ 0 ,
( a ? b ) 2 ≥ 0 ,该式显然成立,所以 a+b ≥ ab ,当 a = b 时取等号. 2

得出结论, 得出结论,展示课题内容 基本不等式: 若 a, b ∈ R + ,则 ab ≤
a+b (当且仅当 a = b 时,等号成立) 2

若 a, b ∈ R ,则 a 2 + b 2 ≥ 2ab (当且仅当 a = b 时,等号成立) 深化认识: 深化认识: 称 ab 为 a, b 的几何平均数;称 基本不等式 ab ≤
a+b 为 a, b 的算术平均数 2

a+b 又可叙述为: 2

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3.几何证明,相见益彰 几何证明, 探究三: 探究三:如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是 AB 上一点, AC = a , BC = b .过点 C 作 垂直于 AB 的弦 DE ,连接 AD, BD . 根据射影定理可得: CD =
AC ? BC = ab

D

由于 Rt ?COD 中直角边 CD < 斜边 OD , 于是有 ab <
a+b 2

A

O C E

B

当且仅当点 C 与圆心 O 重合时,即 a = b 时等号成立. 故而再次证明: 当 a > 0, b > 0 时, ab ≤
a+b (当且仅当 a = b 时,等号成立) 2

(进一步加强数形结合的意识,提升思维的灵活性) 4.应用举例,巩固提高 应用举例, 1.(1)用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少 例 1. 时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?

(2)一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽为多少时,菜 园的面积最大,最大面积是多少? (通过例 1 的讲解,总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化) 对于 x, y ∈ R + , (1)若 xy = p (定值) ,则当且仅当 a = b 时, x + y 有最小值 2 p ; (2)若 x + y = s (定值) ,则当且仅当 a = b 时, xy 有最大值
s2 . 4

(鼓励学生自己探索推导, 不但可使他们加深基本不等式的理解, 还锻炼了他们的思维, 培养了勇于探索的精神.) 2.求 例 2. y = x +
1 ( x ≠ 0) 的值域. x
1 的最小值. x?2 1 ( x ≠ 0) 的函数图象, 使学 x

变式 1. 若 x > 2 ,求 x +

在运用基本不等式解题的基础上, 利用几何画板展示 y = x + 生再次感受数形结合的数学思想. 并通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 ab ≤

a+b 的三个限制条件(一正 2

二定三相等)在解决最值问题中的作用,提升解决问题的能力,体会方法与策略. 练一练(自主练习) 练一练(自主练习): 1.已知 x > 0, y > 0 ,且
2 8 + = 1 ,求 xy 的最小值. x y

2.设 x, y ∈ R ,且 x + y = 2 ,求 3 x + 3 y 的最小值. 5.归纳小结,反思提高 归纳小结, 基本不等式:若 a, b ∈ R ,则 a 2 + b 2 ≥ 2ab (当且仅当 a = b 时,等号成立) 若 a, b ∈ R + ,则 ab ≤
a+b (当且仅当 a = b 时,等号成立) 2

(1)基本不等式的几何解释(数形结合思想); (2)运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法. 媒体展示,渗透思想: 媒体展示,渗透思想: 若将算术平均数记为 z1 =
x+ y ,几何平均数记为 z 2 = xy 2

利用电脑 3D 技术,在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景:

平面 z1 =

x+ y 在曲面 z 2 = xy 的上方 2

6.布置作业,课后延拓 布置作业, (1)基本作业:课本 P100 习题 A 组 1、2 题 (2)拓展作业:请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释,整理 并相互交流. (3)探究作业: 现有一台天平,两臂长不相等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体 放在左右托盘各称一次, 则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量. 这种说法对吗? 并说明你的结论.


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