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2014年北京朝阳高三二模数学(理工类)试题及答案

时间:2015-04-03


2014 年北京朝阳高三二模数学理科试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(理工类)
2014.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.

1.已知集合 A ? ?x ? R|2x ? 3≥0? ,集合 B ? x ? R|x 2 ? 3x ? 2 ? 0? ,则 A A . ? x | x≥ ?
? ? 3? 2?

?

B ?(

) .

B . ? x | ≤x ? 2?
? ? ? 3 2 ? ?

?

3 2

? ?

C. ?x |1 ? x ? 2?

D. ? x | ? x ? 2?

2.如果 a ? b ? 0 , 那么下列不等式一定成立的是 ( ) .
1 1 B . ( ) a ? ( )b 4 4

A . log3 a ? log3 b C.
1 1 ? a b

D. a 2 ? b2

3.执行如右图所示的程序框图,若输出的结果为 2 ,则输入的正整数 a 的可能取值的集 合是( ) .A. ?1,2,3,4,5? B. ?1,2,3,4,5,6? C. ?2,3, 4,5? D. ?2,3,4,5,6?

π 4.已 知 函 数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的 部 分 图 像 如 右 图 所 示 , 则 ? ? 2


A. ?

) .
π 6

B.

π 6

C. ?

π 3

D.

π 3

5.已知命题 p : 复数 z ?

1? i 在复平面内所对应的点位于第 i

四象限;命题 q : ?x ? 0 , x ? cos x ,则下列命题中为真 命题的是( ) .
A. (?p) ? (?q) B. (?p) ? q C. p ? (?q) D. p ? q

6.若双曲线 x2 ?

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 至多有一个交点, 则双曲 b2

线离心率的取值范围是( D. [ 3, ??)

) . A . (1, 2]

B . [2, ??)

C . (1, 3]

7.某工厂分别生产甲、 乙两种产品 1 箱时所需要的煤、 电以及获得的纯利润如下表所示.
煤(吨) 电(千度) 纯利润(万元)

1 箱甲产品 1 箱乙产品
利润和是( A. 60 万元 ) . B. 80 万元

3

1 1

2

1

1

若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过 120 吨,电不超过 60 千度,则可获得的最大纯 C. 90 万元 D. 100 万元
D

8.如图放置的边长为 1 的正 △ PMN 沿边长为 3 的正方形 ABCD 的各边内侧逆时针方 向滚动.当 △ PMN 沿正方形各边滚动一周后,回到初始位置时,点 P 的轨迹长度是 (
A.
8π 3

C

) .
B.
16 π 3

M A(P) N B

C. 4π

D. 5 π

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

9.已知平面向量 a ,b 满足 a ? 1 , b ? 2 ,a 与 b 的夹角为 60? , 则 2a ? b ? __________.

10. (1 ? 2 x)5 的展开式中 x 3 项的系数为___________. (用数字表示)

11.如图, AB 为圆 O 的直径, AB ? 2 ,过圆 O 上一点 M 作圆 O 的切线,交 AB 的延长 线于点 C , 过点 M 作 MD ? AB 于点 D , 若 D 是 OB 中点. 则 AC ? BC ? ___________. 12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示,则其体积是________;表 面积是_________.

D A O B C

M

13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? 4 (n ? N* ) ,则 a n =_________;数 列 ?log2 an ? 的前 n 项和为_____________.

14.若存在正实数 M , 对于任意 x ? (1 , ? ?) , 都有 f ( x) ≤M , 则称函数 f ( x) 在 (1 , +?) 上 是有界函数.下列函数 ① f ( x) ?
x 1 ln x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? ;④ f ( x) ? x sin x , x ?1 x ?1 x

其中“在 (1 , +?) 上是有界函数”的序号为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
2π , 3

15.(本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中, 角 A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c , 且A?
b ? 3 , △ ABC 的面积为

15 3 . (I)求边 a 的边长; (II)求 cos 2 B 的值. 4

16.(本题满分 13 分)某市规定,高中学生三年在校期间参加不少于 80 小时的社区服 务才合格.教育部门在全市随机抽取 200 学生参加社区服务的数据,按时间段

?75

, 80? , ?80 , 85? , ?85 , 90? , ?90 , 95? , ?95 , 100? (单位:小时)进行统计,其

频率分布直方图如图所示.

(I)求抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数,并估计从 全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率; (II)从全市高中学生(人数很多)中任意选取 3 位学生,记 ξ 为 3 位学生中参加社区 服务时间不少于 90 小时的人数.试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 Eξ .

17.(本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD , E , F 分别为 PA , BD 中点, PA ? PD ? AD ? 2 .

(I) 求证: EF // 平面 PBC ; (II)求二面角 E ? DF ? A的余弦值; (III)在棱 PC 上是否存在一点 G ,使 GF ? 平面 EDF ?若存在,指出点 G 的位置; 若不存在,说明理由.

18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? e2 x ?1 ? ax ? 1, a ? R . (I)若曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? ey ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的单调区间;
1 成立,求实数 a 的取值范围. (III)设 a ? 2e3 ,当 x ? [0,1] 时,都有 f ( x)…

19.(本小题满分 14 分)
已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上, 离心率为
1 , 右焦点到到右顶点的距离为 1 . 2

(I)求椭圆 C 的标准方程;

(II)是 否 存 在 与 椭 圆 C 交 于 A , B 两 点 的 直 线 l : y ? kx ? m(k ? R) , 使 得
uur uu u r uur uu u r OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明

理由.

20.(本小题满分 13 分)
n?r r 已知 x1 , x2 是函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? t 的两个零点,其中常数 m, t ? Z ,设 Tn ? ? x1 x2 r ?0 n

( n?N ) .
*

(I)用 m, t 表示 T1 , T2 ; (II)求证: T5 ? ?mT4 ? tT3 ; (III)求证:对任意的 n ? N* , Tn ? Z .

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试(理工类)
2014.5 一、选择题(满分 40 分) 题号 答案 题号 1 B 9 2 C 10 3 C 11 4 D 12 5 D 6 A 7 C 13 8 B 14

二、填空题(满分 30 分)

答案

2 3

?80

3

8 2 3

8 3

2 n ?1

n( n ? 3) 2

②③

三、解答题(满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 S ?ABC ? 所以 c ? 5 .
2 2 2 由 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得, a ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 ? cos

1 bc sin A 得, S?ABC ? 1 ? 3 ? c sin ?? ? 15 3 . 2 2 3 4

?? ? 49 , 3
……………7 分

所以 a ? 7 . (Ⅱ)由得, , 所以 sin B ?

3 3 . 14
71 . 98
……………13 分

2 所以 cos 2 B ? 1 ? 2sin B ?

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据题意, 参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为(人) , 参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为(人) . 所以抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人. 所以从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的 概率估计为 P ? 60 ? 20 ? 80 ? 2 .

200

200

5

……………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从全市高中生中任意选取 1 人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率为 . 由已知得,随机变量 ? 的可能取值为 0,1, 2,3 .
0 0 3 所以 P (? ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ?

2 5

27 ; 125 3 54 1 2 1 P(? ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? ; 5 5 125 2 3 36 P (? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ; 5 5 125 3 8 3 2 3 P (? ? 3) ? C3 ( ) ? ( )0 ? . 5 5 125

2 5

3 5

随机变量 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P
2 5

27 125

54 125

36 125

8 125

因为 ? ~ B (3, ) ,所以 E? ? 3 ? 17. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)如图,连结 AC . 因为底面 ABCD 是正方形, 所以 AC 与 BD 互相平分. 又因为 F 是 BD 中点, 所以 F 是 AC 中点.

2 6 ? . 5 5

……………13 分

P E A D F B C

在△ PAC 中,E 是 PA 中点,F 是 AC 中点, 所以 EF ∥ PC . 又因为 EF ? 平面 PBC , PC ? 平面 PBC , 所以 EF ∥平面 PBC . (Ⅱ)取 AD 中点 O .在△ PAD 中,因为 PA ? PD , 所以 PO ? AD . 因为面 PAD ? 底面 ABCD , 且面 PAD 面 ABCD =AD , ……………4 分

所以 PO ? 面 ABCD . 因为 OF ? 平面 ABCD 所以 PO ? OF . 又因为 F 是 AC 中点, 所以 OF ? AD .

z P E A x O D F B C y

如图,以 O 为原点, OA, OF , OP 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. 因 为 P A ? P D? A D?2 , 所 以 OP ? 3 , 则 O( 0, 0, 0) , A(1, 0, 0) , B(1, 2, 0) ,

1 3 C (?1, 2, 0) , D(?1, 0, 0) , P(0,0, 3) , E ( , 0, ) , F (0,1, 0) . 2 2

于是 AB ? (0, 2,0) , DE ? ( ,0,

3 2

3 ) , DF ? (1,1,0) . 2

因为 OP ? 面 ABCD ,所以 OP ? (0,0, 3) 是平面 FAD 的一个法向量. 设平面 EFD 的一个法向量是 n = ( x0 , y0 , z0 ) .

? x0 ? y0 ? 0, ? ? ?n ? DF ? 0, ? y0 ? ? x0 , ? 因为 ? 所以 ? 3 即? 3 z0 ? 0, ? ? ? z0 ? ? 3 x0 . ? x0 ? ? n ? DE ? 0, 2 ?2
令 x0 ? 1则 n = (1, ?1, ? 3) . 所以 cos ? OP, n ? ?

OP ? n OP ? n

?

?3 3? 5

?

15 . 5
15 .…10 分 5

由图可知,二面角 E-DF-A 为锐角,所以二面角 E-DF-A 的余弦值为 (Ⅲ)假设在棱 PC 上存在一点 G ,使 GF ? 面 EDF .设 G( x1 , y1 , z1 ) ,

则 FG = ( x1, y1 ?1, z1 ) . 由(Ⅱ)可知平面 EDF 的一个法向量是 n = (1, ?1, ? 3) . 因为 GF ? 面 EDF ,所以 FG = ?n . 于是, x1 ? ?, y1 ?1 ? ??, z1 ? ? 3? ,即 x1 ? ?, y1 ? 1 ? ?, z1 ? ? 3? . 又因为点 G 在棱 PC 上,所以 GC 与 PC 共线. 因为 PC ? (?1, 2, ? 3) , CG ? ( x1 +1, y1 ? 2, z1 ) , 所以

x1 ? 1 y1 ? 2 z = = 1 . ?1 2 ? 3

所以

1 ? ? ?? ? 1 ? 3? ,无解. = = ?1 2 ? 3
……………14 分

故在棱 PC 上不存在一点 G ,使 GF ? 面 EDF 成立. 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由已知得 f ?( x) ? 2e2 x?1 ? a . 因为曲线在点处的切线与直线 x ? ey ? 1 ? 0 垂直,

所以 f ?(0) ? e .所以 f ?(0) ? 2e ? a ? e . 所以 a ? e . (Ⅱ)函数的定义域是, f ?( x) ? 2e2 x?1 ? a . (1)当 a ? 0 时,成立,所以的单调增区间为. (2)当 a ? 0 时, ……………3 分

1 a 1 1 a 1 ln ? ,所以的单调增区间是 ( ln ? , ?? ) ; 2 2 2 2 2 2 1 a 1 1 a 1 令,得 x ? ln ? ,所以的单调减区间是 ( ??, ln ? ) . 2 2 2 2 2 2 综上所述,当 a ? 0 时,的单调增区间为; 1 a 1 当 a ? 0 时,的单调增区间是 ( ln ? , ?? ) , 2 2 2 1 a 1 的单调减区间是 ( ??, ln ? ) . ……………8 分 2 2 2
令,得 x ? (Ⅲ)当时, f (0) ? e ? 1 ? 1 成立, . “当时, f ( x) ? e2 x?1 ? ax ? 1 ? 1 恒成立” 等价于“当时, a ?

e 2 x ?1 恒成立. ” x

设 g ( x) ?

e 2 x ?1 ,只要“当时, a ? g ( x)min 成立. ” x

g ?( x) ?

(2 x ? 1)e2 x ?1 . x2

1 且 x ? 0 ,又因为,所以函数在上为减函数; 2 1 1 令 g ?( x) ? 0 得, x ? ,又因为,所以函数在 ( ,1] 上为增函数. 2 2 1 2 所以函数在处取得最小值,且 g ( ) ? 2e . 2
令 g ?( x) ? 0 得, x ? 所以 a ? 2e 2 . 又因为 a ? 2e3 ,
2

所以实数的取值范围 (??, 2e (Ⅲ)另解:

].

……………13 分

(1)当 a ? 0 时,由(Ⅱ)可知, 在 [0,1] 上单调递增,所以 f ( x) ? f (0) ? e ? 1 . 所以当 a ? 0 时,有 f ( x) ? 1 成立.

(2)当 0 ? a ? 2e 时, 可得

1 a 1 ln ? ? 0 . 2 2 2 1 2 a 1 ? , ?? ) , 2 2

由(Ⅱ)可知当 a ? 0 时,的单调增区间是 ( ln

所以在 [0,1] 上单调递增,又 f ( x) ? f (0) ? e ? 1 ,所以总有成立. (3)当 2e ? a ? 2e 3 时,可得 0 ?

1 a 1 ln ? ? 1 . 2 2 2 1 a 1 1 a 1 由(Ⅱ)可知,函数在 [0, ln ? ) 上为减函数,在 ( ln ? ,1] 为增函数, 2 2 2 2 2 2 1 a 1 所以函数在 x ? ln ? 处取最小值, 2 2 2
且 f ( ln

1 2

a ln a 1 a a a a a ? ) ? e 2 ? ln ? ? 1 ? a ? ln ? 1 . 2 2 2 2 2 2 2

当时,要使成立,只需 a ?

a a ln ? 1 ? 1 , 2 2

解得 a ? 2e 2 .所以 2e ? a ? 2e2 . 综上所述,实数的取值范围 (??, 2e 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 依题意 e ?
2

].

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . a 2 b2

c 1 ? ,由右焦点到右顶点的距离为1 ,得 a ? c ? 1 . a 2 解得 c ? 1 , a ? 2 .

2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 .

所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……………4 分

(Ⅱ)解:存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?4

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , . x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

若 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立, 即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB ,等价于 OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
2 2

x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
(1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,

(1 ? k 2 ) ?

4m2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

化简得, 7m2 ? 12 ? 12k 2 .

7 2 7 m ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 , 12 12 3 2 解得, m ? . 4 12 2 2 2 又由 7m ? 12 ? 12k ? 12 , m ? , 7 12 2 2 2 21 或 m ? ? 21 . 从而 m ? ,m ? 7 7 7 2 2 21] [ 21, ??) . 所以实数 m 的取值范围是 (??, ? ……………14 分 7 7
2 将k ?

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) T1 ? ?m 由, x1 x2 ? t .因为 Tn ?
2

?x
r ?0

n

n?r r 1 2 ,所以.

x

r 2 T2 ? ? x12?r x2 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? x1 x2 ? m2 ? t . …………3 分 r ?0

(Ⅱ)由 Tk ?
5

?x
r ?0

k

k ?r r 1 2

x ,得
4

r r 5 5 T5 ? ? x15?r x2 ? x1 ? x14?r x2 ? x2 ? x1T4 ? x2 . r ?0 r ?0

即 T5 ? x1T4 ? x2 ,同理, T4 ? x1T3 ? x2 .
5 4

所以 x2T4 ? x1 x2T3 ? x2 .
5

所以 T5 ? x1T4 ? ( x2T4 ? x1 x2T3 ) ? ( x1 ? x2 )T4 ? x1x2T3 ? ?mT4 ? tT3 .……………8 分 (Ⅲ)用数学归纳法证明. (1)当 n ? 1, 2 时,由(Ⅰ)问知 Tk 是整数,结论成立. (2)假设当 n ? k ? 1, n ? k ( k ? 2 )时结论成立,即 Tk ?1 , Tk 都是整数.
k ?r r k ?1? r r r k ?1 x2 ? x1 ? x1k ?r x2 ? x2 由 Tk ? ? x1 x2 ,得 Tk ?1 ? ? x1 . r ?0 r ?0 r ?0 k k ?1 k

即 Tk ?1 ? x1Tk ? x2 . 所以 Tk ? x1Tk ?1 ? x2 , x2Tk ? x1x2Tk ?1 ? x2 .
k k ?1

k ?1

所以 Tk ?1 ? x1Tk ? ( x2Tk ? x1 x2Tk ?1 ) ? ( x1 ? x2 )Tk ? x1 x2Tk ?1 . 即 Tk ?1 ? ?mTk ? tTk ?1 . 由 Tk ?1 , Tk 都是整数,且, ,所以也是整数. 即 n ? k ? 1 时,结论也成立. 由(1) (2)可知,对于一切,的值都是整数. ………13 分


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