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1996年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

时间:2016-04-14


1996年全国初中数学联赛试题 第一试
一、选择题 1 1 a b 1. 实数a、b满足ab=1,记M= + ,N= + ,则的关系为 [ 1+a 1+b 1+a 1+a A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 ]

2. 设正整数a、m、n满足 a 2 ? 4 2 = m ? n ,则这样的a、m、n的取值[ A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在

]

3.如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦BC∥OA, 连结AC,则阴影部分的面积等于 [ ] C B (A)

2? 9

(B)

? 6

(C)

?

3 ? 6 8

3 (D) ? 4 8

?

O

A

4.设x?、x?是二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x?3-4x?2+19的值等于 [ A.-4 B .8 C .6 D.0

]

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的 [ ] A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [ ] A.4个 二、填空题 B.8个 C.12个 D.24个

1 ? ?y ? 1. 已知实数 x?、y?是方程组 ? 的解,则 x?+y?=______. x ? ? y ?| x | ?1
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM, BN=a,则N点到边BC的距离等于______.

A

N

M B C

3.设 1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且
3

1995 x3 ? 1996 y 3 ? 1997 z 3 ? 3 1995 ? 3 1996 ? 3 1997 ,则x+y+ z =______.

1

1 1

4.如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转 60°至 A B′C′D′的位置,则 这两个正方形重叠部分的面积是______. C B B′

D C ′

A

第二试

D′

1. 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的 m 个男生和 11 个女生的捐款总数与乙班的 9 个男人和 n 个女生的捐款总数相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的捐款数相 同,且都是整数元,求每人的捐款数.

2.设凸四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点为 M,过点 M 作 AD 的平行线分别交 AB、 CD 于点 E、F,交 BC 的延长线于点 O,P 是以 O 为圆心 OM 为半径的圆上一点(位置如图 所示) ,求证:∠OPF=∠OEP.

D F

O C M

P

A

E

B

3. 已知 a、b、c 都是正整数,且抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交点 A、B,若 A、B 到原点的距离都小于 1,求 a+b+c 的最小值.

1996年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1.B 二、填空题 1. 5

2.A

3.B

4.D

5.A

6.C

2.

3 a 2

3. 1

4. 2- 3

第二试 1. 据题意m+11=n+9,且整除mn+9m+11n+145, 而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得

?m ? 12 ?m ? 35 ① 或 ? ② ? ?n ? 14 ?n ? 37
在①时,得每人捐款25元;在②时,每人捐款47元 综上可知,每人捐款数为25元或47元.

2. 作AD、BO的延长线相交于G,∵OE∥GA, OF GD ∴在△CGA中有 = , OM GA 且在△BGA中 OM GD OF OM = ,由此可得 = , OE GA OM OE OF OP = ,∴ △POF ∽△POE , OP OE G

而OM是⊙O的半径,等于OP,∴ ∴∠OPF=∠OEP

D F M

O C

P

A

E

B

3. 据题意,方程ax3+bx+c=0有两个相异根,都在(-1,0)中,故 c a-b+c>0, <1,且 b2-4ac>0 ①,可见 a-b+c≥1 ②,且 a>c ③ a 所以 a+c≥b+1>2 ac +1,可得( a ? c )2>1,由③得 a > c +1 ∴a>4 ,又 b>2 ac ≥2 5 ?1 >4 现分别取 a、b、c 的最小整数 5,5,1 经检验,符合题意,∴ a+b+c=11 最小.


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