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2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《几何概型》(福建孙舒萌)

时间:2011-03-06


几何概型
高中数学必修 3 第三章第 3 节第一 课时 福建师大附中 孙舒萌

一、 教材分析 教材的地位和作用
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型,在概率论中占有相当重 要的地位, 是等可能事件的概念从有限向无限的延伸, 是为更广泛的满足随机模拟的需要而 新增加的内容,这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。《几何概型》共安排 2 课时,本 节课是第 1 课时, 注重概念的建构和公式的应用, 为第二课时的几何概型的应用以及体会随 机模拟中的统计思想打下基础。

教学重点与难点 重点:掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。 重点:掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。 难点: 难点:在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其 子区域对应,确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。 子区域对应,确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。

[理论依据] 本课是一节概念新授课,因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率 理论依据]
的计算公式作为教学重点。 教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特 定的几何区域及其子区域对应,确定适当的几何测度。此外,学生通过数学建模解决实际问 题也较为困难,因此也是本节课的难点。

二、教学目标 [知识与技能目标] 知识与技能目标] (1)体会几何概型的意义。 体会几何概型的意义。 (2)了解几何概型的概率计算公式 [过程与方法目标] 过程与方法目标]
通过古典概型的例子,稍加变化后成为几何概型,从有限个等可能结果推广到无限个 等可能结果,让学生经历概念的建构这一过程,感受数学的拓广过程。 通过实际应用,培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力,感知用图形解决概率问 题的方法。

[情感与态度目标] 情感与态度目标]
体会概率在生活中的重要作用,感知生活中的数学,激发提出问题和解决问题的勇气, 培养其积极探索的精神。

三、教学方法,教学模式,教学手段 教学方法,教学模式,
本节课采用以引导发现为主的教学方法, 以归纳启发式作为教学模式, 结合多媒体辅助 教学。

四、学法指导 通过合作交流,类比联想,归纳化归,总结提升,让学生在学习中学会怎样 发现问题、分析问题、解决问题。 五、教学过程 教学 环节 教学内容 [情境一] 情境一:飞镖游戏:如图所示, 情境一:飞镖游戏:如图所示,规定 射中红色区域表示中奖 问题:各个圆盘的中奖概率各是多少? 问题:各个圆盘的中奖概率各是多少?

以 境 激 情 , 形 成 概
(2) (1)

设计意图 对课本通过等分猜 想引入几何概型的改造, 想引入几何概型的改造, 通过学生猜想依次得到 概率。 概率。 首先是将圆盘五等 分 , 概率的求解十分容 易, 预计学生可能将飞镖 分别射在五个相同的扇 形区域作为五个等可能 基本事件, 基本事件, 从而概率的求 解仍然停留在古典概型 上。 第二种圆盘的三块区 1:2:3。 域圆心角之比为 1:2:3。 圆盘(2) (2)的求解虽然可以 圆盘(2)的求解虽然可以 由等分的观点得到答案, 由等分的观点得到答案, 分的观点得到答案 但图形淡化了等分。 但图形淡化了等分。 第三 种圆盘两圆的半径之比 1:2, 为 1:2,实现了完全的面 积化, 积化, 古典概型已经完全 淡出了学生的思考范围。 淡出了学生的思考范围。 在这一情境中, 在这一情境中, 以学 生为主体的直观知识进 行猜想, 行猜想, 设置三个环节创 造性的使用教材, 造性的使用教材, 通过三 个圆盘的变化, 个圆盘的变化, 逐步实现 从有限到无限, 从有限到无限, 从古典概 型到几何概型的过渡, 型到几何概型的过渡, 让



学生感受数学的拓广过 同时在这一情境中, 程。同时在这一情境中, 首先在学生的思维里呈 现面积这一几何测度。 现面积这一几何测度。 (3)

[情境二] 问题 1:在区间[0,9]上任取一个整数,恰好 在区间[0,9]上任取一个整数, [0 上任取一个整数 取在区间[0 3]上的概率为多少 [0, 上的概率为多少? 取在区间[0,3]上的概率为多少? 在区间[0 9]上任取一个实数 [0, 上任取一个实数, 问题 2:在区间[0,9]上任取一个实数,恰好 取在区间[0 3]上的概率为多少 [0, 上的概率为多少? 取在区间[0,3]上的概率为多少?

[ 情境二 ] 的设置是 从学生熟悉并且容易解 决的一个古典概型问题, 决的一个古典概型问题, 稍加修改, 稍加修改, 转变成为一个 几何概型的问题, 几何概型的问题, 进一步 从等可能性、 从等可能性、 无限性两方 面来区别古典概型与几 面来区别古典 概型与几 何概型, 何概型, 深化学生对几何 概型意义的体会, 概型意义的体会, 同时在 学生的思维里呈现长度 这一几何测度。 这一几何测度。

建 构 概 念

基于[情境一] 基于[情境一]和[情 境二]的分析, 境二]的分析,不难引导 学生得到几何概型的概 念, 并从两个几何概型概 率问题的解决过程中归 纳概括得到几何概型中 的概率计算公式。 的概率计算公式。 这一概 构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) = 念的形成过程符合学生 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 研究新问题—— ——产生 “ 研究新问题 —— 产生 内在需求—— ——解决新问 内在需求 —— 解决新问 的认知规律。 题” 的认知规律。而归纳 是一种重要的推理方法, 是一种重要的推理方法, 由具体结论归纳概括出 定义能使学生的感性认 识升华到理性认识, 识升华到理性认识, 培养 学生从特殊到一般的认 知方法, 知方法, 实现体会几何概 型的意义和了解几何概 型概率公式的知识与技 能目标。 能目标。

几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积)成比例, (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概 率模型,简称为几何概型. 率模型,简称为几何概型. 几何概型中事件 A 的概率计算公式

[情境三] 内有一个面积为 如图所示的边长为 的正方形区域内有一个 如图所示的边长为 2 的正方形区域内有一个面积为 1 的 在这一情境中, 在这一情境中, 用生 心形区域, 心形区域 , 现将一颗豆子随机地扔在正方形内计算它落 动的图形, 动的图形, 动态演示, 动态演示, 比 在阴影部分的概率(不计豆子的面积且豆子都能落在正 较变化, 在阴影部分的概率(不计豆子的面积且豆子都能落在正 较变化, 向学生展现几何 方形区域内) 方形区域内) 概型中随机事件的概率 大小只与该区域的长度 大小只与该区域的 长度 面积或体积)成比例, (面积或体积)成比例, 易于学生理解和接受同 时令学生印象深刻。 时令学生印象深刻。

[情境四] 请问飞镖射中靶心 A 的概率是多少

A

为 了揭示 概率 与事 件发生可能性的内在联 我在[情境四] 系, 我在[情境四]设置了 这样一个问题。 这样一个问题。 这个问题 的难点在于点的面积。 的难点在于点的面积。 为 此我借助动画, 此我借助动画, 让红色圆 面的半径不断缩短至靶 心 A 点, 直观的用极限思 想解释了事件发生区域 为一个点时, 为一个点时,半径为 0, 面积为 0,从而突破了情 境中的难点, 境中的难点, 而求解得出 的结论恰恰与学生认知 结构中概率为 0 是不可 能事件发生了强烈冲突, 能事件发生了强烈冲突, 极大的调动了学生的思 考热情, 考热情, 通过这一矛盾冲 突的解决, 延伸发展, 突的解决, 延伸发展, 揭 示出几何概型与古典概 型的一大区别, 型的一大区别, 升华了学 生的认识, 生的认识, 实现了发现问 积极探索、 题、 积极探索、 解决问题 的情感目标。 的情感目标。

古典概型

几何概型

联系 区别
求解方法

基本事件发生的 基本事件发生的等可能性 等可能性
基本事件个数的有限性 基本事件个数的有限性 概率为0 概率为0的事件是不 可能事件,概率为1 可能事件,概率为1 的事件是必然事件 基本事件个数的无限性 基本事件个数的无限性 与基本事件的位置、 与基本事件的位置、形状无关 概率为0 概率为0的事件未必是不可能 事件,概率为1 事件,概率为1的事件未必是 必然事件

情境一到情境四分步骤 抓住教学重点, 抓住教学重点, 逐步深化 几何概型的意义和内涵, 几何概型的意义和内涵, 从而达到建构和完善学 生认知结构的目的。 生认知结构的目的。 配合 表格的完成和说明, 表格的完成和说明, 帮助 学生梳理概念, 学生梳理概念 , 加深印 象。

P( A) =

m n

P ( A) =

A的测度 ?的测度

ABCD例题 1: 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB 上

几何概型的概率公

任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 1 的概率为 ABCD变式 1 : 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 AA1B1B 上任取一点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 1 的概率为 ABCD变式 2: 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中任取一 点 P,则点 P 到点 A 的距离小于等于 1 的概率为

剖 析 例 题 , 深 化 巩 固

式中, 几何测度的选择是 式中, 本节课的难点之一, 本节课的难点之一, 为了 突破这一难点, 突破这一难点, 我设计以 下三个同例变式通过解 决三个具体问题, 决三个具体问题, 让学生 经历公式的应用过程, 经历公式的应用过程, 三 个例子形成梯度分散难 点, 逐步拓展学生的想象 空间, 空间, 逐一呈现了公式中 的三个几何测度。 的三个几何测度。 同时将 多媒体技术与课堂教学 有机整合, 有机整合 , 提高课堂效 教学目的性明确 实 目的性明确, 率, 教学目的性明确, 现掌握几何概型概率公 式的目标, 式的目标, 突破测度选择 的教学难点。 的教学难点。

辨析:如图所示,正方体容器内倒置一个圆柱形容器, 辨析:如图所示,正方体容器内倒置一个圆柱形容器, 随机向正方体容器内投掷一颗豆子( 随机向正方体容器内投掷一颗豆子(假设豆子都能落在 区域内且豆子面积不计) 正方形 A1B1C1D1 区域内且豆子面积不计). 试问:豆子落入圆锥形容器内的概率是多少? 试问:豆子落入圆锥形容器内的概率是多少? 辨析变式:如图所示, 辨析变式:如图所示,正方体容器内倒置一个圆锥形容 随机向正方体容器内投掷一颗豆子( 器,随机向正方体容器内投掷一颗豆子(假设豆子都能 区域内且豆子面积不计) 落在正方形 A1B1C1D1 区域内且豆子面积不计). 试问:豆子落入圆锥形容器内的概率是多少? 试问:豆子落入圆锥形容器内的概率是多少?

本 题有两 个明 显的 几何测度:面积与体积, 几何测度:面积与体积, 在测度的选取上产生了 认知冲突, 认知冲突, 利用实物模型 做实验, 做实验, 逐步引导学生做 出正确的测度选择。 出正确的测度选择。 本例 题作为一道测度选择的 辨析题, 辨析题, 能够进一步提高 学生选择测度的能力。 学生选择测度的能力。

内部的一点, 例题 2:设点 P 是三角形 ABC 内部的一点, 1 的概率. 点运动时, 当 P 点运动时,试求 S△PBC≤ S△ABC 的概率. 2 本 例题的 设置 目的 在于让学生利用已有知 转化问题, 识, 转化问题, 找到满足 点所在的区域, 条件的 P 点所在的区域,

A E B
1 2

经历基本事件发生区域 的寻找过程, 的寻找过程, 回归公式应 用的前提, 用的前提, 确定构成事件 发生的几何区域。 A 发生的几何区域。

F C

P

实 际 应 用 , 建 立 模 型

从 实际问 题中 建立 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机, 例题 3:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听 数学模型, 数学模型, 抽象数学语言 电台整点报时, 分钟的概率. 电台整点报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率. 和符号, 和符号, 是高中数学学习 的一大难点。 的一大难点。 将得出的科 学结论用于解决实际问 题, 有利于进一步巩固获 得的知识, 得的知识 , 发展数学能 力。 例题 3 是关于数学建模 的一道实际应用题。 的一道实际应用题。 首先 我分解本题的两个难点。 我分解本题的两个难点。 难点是基本事件的确定, 难点是基本事件的确定, 难点二是几何测度的优 化选择。 针对难点一, 化选择。 针对难点一, 我 全部结果构成的区域: 全部结果构成的区域:[0,60] 利用实物, 利用实物, 通过实验得出 构成事件的区域: 构成事件的区域:[50,60] 结论, 突破难点。 结论,突破难点。确定了 构成事件的区域后, 构成事件的区域后, 由于 钟表外观具有明显的几 何特征, 何特征, 我预计学生可能 会选择弧长、 圆心角、 会选择弧长、圆心角、 甚 至扇形面积等作为测度, 至扇形面积等作为测度, 当然都可以得到问题的 解决, 解决, 而当以角度作为变 量时, 量时, 弧长和面积均与角 度成正比关系, 度成正比关系, 故这三种 测度的选择在本质上是 相同的。 相同的。 为了让学生对这一 实际问题的本质有进一

步的认识, 步的认识 , 优化测度选 择, 我圆盘形钟表换成了 电子钟, 电子钟, 突破课本的设计 理念, 引导学生认识到弧 理念, 引导学生认识到弧 角度、 长、 角度、面积这些测度 本质上就是时间区域的 长度,从形到数的转变, 长度,从形到数的转变, 实现了测度的优化选择, 实现了测度的优化选择, 揭示出数学的本质, 揭示出数学的本质, 突破 了难点二。 了难点二。

梳 理 知 识 , 归 纳 总 结

概念、 概念、知识点表格

在这一环节, 在这一环节, 通过学 生回顾, 生回顾, 教师加以适当总 结和提炼, 结和提炼, 突出本节课的 重点, 重点, 加深学生对所学知 识的印象。 识的印象。 同时注重引导 学生对解题思路和方法 的总结, 的总结, 让学生知道理解 概念是关键, 概念是关键, 掌握公式是 前提,实际应用是深化。 前提,实际应用是深化。

分 层 作 业 , 启 迪 升 华

1、探究题:甲、乙、丙三人做游戏,游戏规则如下:要 探究题 丙三人做游戏,游戏规则如下: 将一枚质地均匀的铜板扔到一个小方块上 块上, 将一枚质地均匀的铜板扔到一个小方块上,已知铜板的 1/2, 直径是方块边长的 1/2, 谁能将铜板完整的扔到这块方块 上就可以晋级下一轮。已知,甲一扔, 上就可以晋级下一轮。已知,甲一扔,铜板落在小方块 作业的布置采取分 且没有掉下来,问他能晋级下一轮的概率有多大? 层作业, 分为必做题, 上,且没有掉下来,问他能晋级下一轮的概率有多大? 层作业, 分为必做题, 目 2、 必做题:P142 A 组 1、2 必做题 的在于区别古典概型与 几何概型, 几何概型, 熟悉几何概型 选做题 如图所示, 计算公式; 3、 选做题:如图所示, 计算公式; 选做题是关于 巩固测度选择的练习; 巩固测度选择的练习; 探 究题, 究题, 让学有余力的学生 课后思考。 课后思考。 设置分层作业 目的在于巩固概念落实 基础的同时, 基础的同时, 利用弹性作 业使不同层次的学生都 有所收获。 在等腰直角三角形 ABC 中, 在线段 AB 上取一点 M, 求 有所收获。 AM<AC 的概率? 的概率? 变式: CM, 变式: 过直角顶点 C 在 ABC 内部作一条射线 CM, 与线 的概率如何计算? 段 AB 交于点 M,则 AM<AC 的概率如何计算?

六、评价分析 1、评价教学目标的完成情况
本节课创造性的使用教材,揭示矛盾,创设问题的情境,在问题情境中让古典概型自然 地向几何概型的过渡, 抓住了几何概型与古典概型的几大本质区别, 让学生获得新知的同时 体会了数学知识的拓广过程。例题设置变式拓展,层层递进,突破教材设计理念,结合多媒 体和实物模型的使用,形象直观,丰富课堂形式,实现掌握重点突破难点的目的以达到更好 的教学效果。同时注重各种数学思想方法的渗透。最后以生活中的实例结束,让学生认识到 数学源于生活,又应用于生活,生活中处处有数学。

2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力 评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、
教学过程注意观察学生是否置身于数学学习活动中,是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积 极,通过学生回答问题,学生举例,归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用,教师根 据反馈信息适时点拨, 同时从新课标评价理念出发, 鼓励学生发表自己的观点、 给学生表达、 交流思想的机会,充分质疑,并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬,树立自信 心。


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