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2016-2017学年高中数学人教B版选修4-4学业分层测评 第2章 2.3 圆锥曲线的参数方程 含答案 精品

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学业分层测评(七) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) ?x=3cos φ 1.曲线 C:? (φ 为参数)的离心率为( ?y= 5sin φ 2 A.3 3 C.2 【解析】 x2 y2 由题设,得 9 + 5 =1, 3 B.5 5 D. 3 ) ∴a2=9,b2=5,c2=4, c 2 因此 e=a=3. 【答案】 A α α ? ?x=sin2+cos2 2.参数方程? ? ?y= 2+sin α A.y2-x2=1 B.x2-y2=1 C.y2-x2=1(|x|≤ 2) D.x2-y2=1(|x|≤ 2) 【解析】 (α 为参数)的普通方程是( ) 因为 x2=1+sin α, 所以 sin α=x2-1. 又因为 y2=2+sin α=2+(x2-1), 所以 y2-x2=1. α α ?α π? ∵x=sin2+cos2= 2sin?2+4?, ? ? 故 x∈[- 2, 2]. ∴普通方程为 y2-x2=1,x∈[- 2, 2]. 【答案】 C 2 ?x=t ? 3.点 P(1,0)到曲线 (参数 t∈R)上的点的最短距离为( ?y=2t ) A.0 C. 2 【解析】 B.1 D.2 d2=(x-1)2+y2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2, ∴t2≥0,d2≥1,dmin=1. 【答案】 B ?x=3cos θ 4.已知曲线? (θ 为参数, 0≤θ≤π)上的一点 P, 原点为 O, 直线 PO ?y=4sin θ π 的倾斜角为4,则 P 点的坐标是( A.(3,4) C.(-3,-4) 【解析】 ) 3 2 B.( 2 ,2 2) 12 12 D.( 5 , 5 ) 由题意知,3cos θ=4sin θ, 3 3 4 ∴tan θ=4,则 sin θ=5,cos θ=5, 4 12 ∴x=3×cos θ=3×5= 5 , 3 12 y=4sin θ=4×5= 5 , 12 12 因此点 P 的坐标为( 5 , 5 ). 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) ?x=2cos t 5.已知椭圆的参数方程? (t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t ?y=4sin t π =3,点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为________. π x = 2cos =1, ? ? 3 点 M 的坐标为? π y = 4sin ? ? 3=2 3. 【解析】 2 3 直线 OM 的斜率 k= 1 =2 3. 【答案】 2 3 2 ?x=-4t +1 6.抛物线方程为? (t 为参数 ),则它在 y 轴正半轴上的截距是 ?y=4t ________. 【导学号:62790013】 【解析】 1 当 x=0 时,-4t2+1=0,t=± 2, 1 ∴在 y 轴的正半轴上的截距是 4×2=2. 【答案】 2 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 1 7.如图 231 所示,连接原点 O 和抛物线 y=2x2 上的动点 M,延长 OM 到点 P,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明是什么曲线? 图 231 【解】 ?x=2t, 抛物线标准方程为 x2=2y,其参数方程为? 得 M(2t,2t2). 2 ?y=2t . 设 P(x,y),则 M 是 OP 中点. x+0 ? 2 t = ? 2 , ∴? 2 y+0 ? ?2t = 2 , ?x=4t ∴? 2 (t 为参数), ?y=4t 1 消去 t 得 y=4x2,是以 y 轴为对称轴,焦点为(0,1)的抛物线. ?x= 3cos α, 8.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数). ?y=sin α 以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标 ? π? 方程为 ρsin?θ+4?=2 2. ? ? (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 【解】 x2 (1)C1 的普通方程为 3 +y2=1,C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. (2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( 3cos α,sin α). 因为 C2 是直线,所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值, d(α)= | 3cos α+sin α-4| π? ? ? ? = 2?sin?α+3?-2?, ? ? ? ? 2 π 当且仅当 α=2kπ+6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 2,此时 P 的直 ?3 1? 角坐标为?2,2?. ? ? x2 y2 9.如图 232 所示,求椭圆25+16=1 的内接矩形的最大面积是多少? 图 232 【解】 ?x=5cos t, 椭圆的参数方程为? ?y=4sin t. 设内接矩形在第一象限内的一个顶点为 M(x,y),由椭圆的对称性,知内接 矩形的面积为 S=4xy=4· 5cos t· 4sin t=40sin 2t. π 当 t= 时,面积 S 取得最大值 40,此时 4 π 5 π x=5cos4=2 2,y=4sin4=2 2. 5 因此,矩形在第一象限的顶点为(2 2,2 2)时,内接矩形的面积最大,为 40. 精品文档 强烈推荐

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