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2016

时间:2017-02-14


第一章

集合与函数概念

1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算

第 2 课时 补集及集合运算 的综合应用

[学习目标] 1.理解全集与补集的含义,会求给定子 集的补集(重点). 2.能用 Venn 图表达集合的关系及运 算(难点). 3.能进行集合的综合运算,并能解答有关的 简单问题(重点、难点).

[知识提炼· 梳理] 1.全集 (1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及 的所有元素,那么就称这个集合为全集. (2)记法:全集通常记作 U.

2.补集

对于一个集合A,由全集U中 不属于集合A 文字 ___________的所有元素组成的集合 语言 称为集合A相对于全集U的补集,记作 ______. 符号 ?UA=________________ {x|x∈U,且x?A}. 语言

图形 语言

温馨提示 求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的 子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.

解析:

答案:(1)× (2)√ (3)√

3.设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(?UN) ={2,4},则 N=( A.{1,2,3} C.{1,4,5} ) B.{1,3,5} D.{2,3,4}

解析: 因为 M∩(?UN)={2, 4}, 所以元素 2, 4 是?UN 中的元素,即 2,4 一定不是 N 中的元素,故选项 A、C、 D 错误.
答案:B

4.已知全集 U={6,7,8},且?UA={6},则集合 A 的真子集有________个. 解析:因为 U={6,7,8},?UA={6}, 所以 A={7,8},A 的真子集为{7},{8},?,共 3 个. 答案:3

5.设 U=R,A={x|a≤x≤b},?UA={x|x>5 或 x<1}, 则 a+b=________. 解析:因为?UA={x|x>5 或 x<1},所以 A={x|1≤x ≤5},所以 a=1,b=5,a+b=6. 答案:6

类型 1 补集的简单运算(自主研析) [典例 1] (1)若全集 M={-1,0,1,2,3},N={x|x2 =1,x∈Z},则?MN=( A.? C.{-1,1} ) B.{0,2,3} D.{0,1,2,3}

(2)已知全集 U={a,b,c,d,e},集合 A={b,c, d},B={c,e},则(?UA)∪B=( A.{b,c,e} C.{a,c,e} )

B.{c,d,e} D.{a,c,d,e}

解析:(1)因为 M={-1,0,1,2,3}, N={x|x2=1,x∈Z}={-1,1}, 根据补集的定义,得?MN={0,2,3}.

(2)由 U={a,b,c,d,e},A={b,c,d},得?UA ={a,e},又 B={c,e},所以(?UA)∪B={a,c,e}. 答案:(1)B (2)C

归纳升华 1. 根据补集定义, 当集合中元素离散时, 可借助 Venn 图;当集合中元素连续时,可借助数轴,利用数轴分析法 求解. 2.解题时要注意使用补集的几个性质:?UU=?, ?U?=U,A∪(?UA)=U.

[变式训练] 已知全集 U={x|x≤5},集合 A={x|- 3≤x<5},则?UA=______________. 解析:将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上(图略), 由补集的定义可知?UA={x|x<-3 或 x=5}. 答案:{x|x<-3 或 x=5}

类型 2 补集的简单应用 [典例 2] (1)若全集 U={2,4,a2-a+1},A={a+ 4,4},?UA={7},则实数 a=________. (2)已知全集 U=R, 集合 A={x|x<-1}, B={x|2a<x<a +3},且 B??RA,则 a 的取值范围是________.

解析:(1)因为?UA={7},所以 7∈U 且 7?A, 所以 a2-a+1=7,解得 a=-2 或 a=3. 当 a=3 时,A={4,7}与 7?A 矛盾,故 a=-2 满足 题意,所以 a=-2.
(2)由题意得?RA={x|x≥-1}. ①若 B=?,则 a+3≤2a,即 a≥3,满足 B??RA. ②若 B≠?,则由 B??RA,得 2a≥-1 且 2a<a+3,

1 即- ≤a<3. 2 1 综上可得 a≥- . 2 答案:(1)-2
? ? 1? (2)?a?a≥-2? ? ? ?

归纳升华 1.解答此类问题的关键在于合理使用补集运算的性 质,必要时对含有参数的集合进行分类讨论,转化为与之 等价的不等式(组)求解. 2.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视, 注意检验.

[变式训练] (1)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2 +mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. (2)已知全集 U=R,A={x|x<a},B={x|1<x<2},A ∪(?UB)=R,则实数 a 的取值范围是________.
解析:(1)因为 U={0,1,2,3},?UA={1,2}, 所以 A={0,3}.又 0,3 是方程 x2+mx=0 的两根, 所以 m=-3.

(2)因为 B={x|1<x<2},所以?UB={x|x≤1 或 x≥2}, 因为 A∪(?UB)=R,所以 a≥2. 答案:(1)-3 (2){a|a≥2}

类型 3 并集、交集、补集的综合运算 [典例 3] 设 A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+ 2a=0},A∩B={2}. (1)求 a 的值及 A,B; (2)设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB); (3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集.

解:(1)因为 A∩B={2},所以 2∈A,且 2∈B, 代入可求 a=-5. 所以 A={x|2x
2

?1 ? -5x+2=0}=?2,2?, ? ?

B={x|x2+3x-10=0}={-5,2}.
? 1 ? (2)由(1)可知 U=?-5,2,2?, ? ?

?1? 所以?UA={-5},?UB=?2?, ? ? ? 1? 所以(?UA)∪(?UB)=?-5,2?. ? ?

(3)由(2)可知(?UA)∪(?UB)的所有子集为?,{-5},
?1? ? 1? ? ?,?-5, ?. 2? ?2? ?

归纳升华 1.集合的交、并、补运算是同级运算,在进行集合 的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到 右的顺序进行计算.

2.当集合是用列举法表示时,可以通过列举集合的 元素得到所求的集合;当集合是用描述法表示时,如不等 式形式表示的集合,则可借助数轴求解.

[变式训练] (1)已知全集 U={1,2,3,4,5},M={1,2},N= {2,5},则如图所示,阴影部分表示的集合是( A.{3,4,5} C.{1,2,5} B.{1,3,4} D.{3,4} )

(2)设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角 形},B={x|x 是钝角三角形},则 A∩B=____________; ?U(A∪B)=______________.

解 析 : (1) 由 图 可 知 , 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 是 ?U(M∪N).因为 M∪N={1,2,5},又 U={1,2,3,4, 5}, 所以?U(M∪N)={3,4}.

(2)根据三角形的分类可知 A∩B=?,A∪B={x|x 是 锐角三角形或钝角三角形},所以?U(A∪B)={x|x 是直角 三角形}. 答案:(1)D (2)? {x|x 是直角三角形}

类型 4 补集思想的综合应用(规范解答) [典例 4] (本小题满分 12 分)已知集合 A={x|x2-4x +2m+6=0},B={x|x<0},若 A∩B≠?,求实数 m 的 取值范围.

审题指导:要求实数 m 的取值范围,先建立关于 m 的不等式, “A∩B≠?”的对立面为“A∩B=?” .因此可 先求出 A∩B=?时 m 的取值范围, 然后在 R 中取补集即 可.

[规范解答] 先求 A∩B=?时 m 的取值范围. (1)当 A=?时,方程 x -4x+2m+6=0 无实根,(1
2

分) 失分警示:漏掉此步,则扣掉1分. 所以Δ=(-4)2-4(2m+6)<0,解得 m>-1.(3 分)

(2)当 A≠?,A∩B=?时,方程 x2-4x+2m+6=0 的根为非负实根, 失分警示:此处方程 x2-4x+2m+6=0 的根为非负 实数根是由 A∩B=?决定的,极易弄错. 设方程 x2-4x+2m+6=0 的两根为 x1,x2,

2 ? Δ=(- 4 ) -4(2m+6)≥0, ? ? ?m≤-1, ? 则?x1+x2=4≥0, 即? ? ? ?m≥-3, ? ?x1+x2=2m+6≥0,

解得-3≤m≤-1.(8 分) 综上知,当 A∩B=?时,m 的取值范围是{m|m≥- 3}.(9 分) 又因为 U=R,

失分警示:此处易忽视指明 U=R 而直接得出结论, 造成解题步骤不完整而失分.

所以当 A∩B≠?时,m 的取值范围是?R{m|m≥-3} ={m|m<-3}, 所以 A∩B≠?时,m 的取值范围是{m|m<-3}.(12 分)

归纳升华 有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不 清晰,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立 面, 即从结论的反面去思考, 探索已知和未知之间的关系, 从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路.

[变式训练] 已知集合 A={x|2m-1<x<3m+2},B ={x|x≤-2 或 x≥5},是否存在实数 m,使 A∩B≠?? 若存在,求实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:若 A∩B=?,分 A=?和 A≠?进行讨论: (1)若 A=?,则 2m-1=3m+2, 解得 m=-3,此时 A∩B=?.

(2)若 A≠?,要使 A∩B=?,则应有 ?m>-3, ? ?2m-1<3m+2, ? ? ? 1 1 ?2m-1≥-2, 即?m≥- ,所以- ≤m≤1. 2 2 ? ? ? ?m≤1, ?3m+2≤5, ? 1 综上,当 A∩B=?时,m≤-3 或- ≤m≤1. 2 1 所以当 m>1 或-3<m<- 时,A∩B≠?. 2

1.对集合中含参数的元素,要由条件先求出参数再 进行集合的运算. 2.集合是实数集的真子集时,其交、并、补运算要 结合数轴进行. 3 .有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行计 算.


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