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高中数学数列通项公式教案、例题及习题

时间:2017-05-08

数列的通项的求法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1 已知数列 ?an ? 中, an ?1 ? an ? 2, a1 ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式.
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差 (公比)后再写出通项。

②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 ,...... 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 2. 公 式 法 : 已 知 Sn ( 即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ) 求 an , 用 作 差 法 :
练一练:已知数列 3

f (1),(n ? 1) ? ? 3.作商法:已知 a1 ? 。 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? ? f (n ? 1) 如 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, 对 所 有 的 n ? 2 都 有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , 则 ; a3 ? a5 ? ______
4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 1 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

an ?

例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1



?an ? 的通项公式。

解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1, an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2 a1 ? 2 ? (?1) ? 2 ? (?1) ??? 2 ? (?1)
2 n?1 n?1 n?2 n?1

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之, 即 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )

? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 点评: 利用公式 an ? ?

2 n?2 [2 ? (?1) n?1 ] 3

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n

?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时, 要注意对 n 分类讨论, ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

a n ? a n ?1 ? 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

1 n ?1 ? n

(n ? 2) , 则 an =________



但若能合写时一定要合并. 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

5.累乘法: 已知

an?1 a a a 用累乘法:an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 ? f (n) 求 an , an an ?1 an ? 2 a1

例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

所以 an ? 2 n?1 ? 3 .

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入 ? an n ?1

② an ? kan?1 ? bn 解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原
递推公式两边同除以 q n ?1 ,得:

上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即

a n?1 p a n 1 ? ? ? 引入辅助数列 ?bn ?(其 q n?1 q q n q

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? n ? ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? n a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4
又? a1 ?

中 bn ?

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用 an ? kan?1 ? b 的方法解决.。 n q q q
5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 ? a n ? ( ) n ?1 两 边 乘 以 2 n ?1 3 2

2 2 ,? a n ? 3 3n

例 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 解 : 在

如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an

a n ?1





6.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。
(1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定 系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。

2 n?1 ? a n?1 ?

2 n (2 ? a n ) ? 1 3

① an ? kan?1 ? b 解法:把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中
t? q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

2 2 bn ? 1 ,应用例 7 解法得: bn ? 3 ? 2( ) n 3 3 bn 1 n 1 n 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2
令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? 练一练①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ; ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ; (2)形如 an ? 例 7: a n ?

例 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故递推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
bn?1 an?1 ? 3 ? ?2 bn an ? 3

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1
1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

解:取倒数:

所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项, 2 为公比的等比数列, 则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
练一练:已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ?

an an?1 ,求 an ;

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 ,...... 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。
练一练:已知数列 3 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

公式。 2 已知数列 ?an ? 中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +1 3 已知数列 ?an ? 中,a 1 =3,a n?1 =
?

(n∈N )

5 an ?1 ,求 an ; 3 如 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, 对 所 有 的 n ? 2 都 有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , 则
②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

1 ? a n +1(n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式 2

a3 ? a5 ? ______



4 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ? 的通项公式 5 已知数列 ?an ? 中,a n ≠0,a 1 =

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 1 (n ? 2) , a n ? a n ?1 ? 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 则 an =________ n ?1 ? n 2 n a n ,求 an 。 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an
例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 例 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .



an 1 ,a n?1 = 2 1 ? 2an

(n∈N ) 求 a n

?

6 设数列 ?an ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1

若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列,求 a n

7 设数列 ?an ? 中,a 1 =2,a n?1 =2a n +1 求通项公式 a n 8 已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,2a n?1 = a n + a n ? 2

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 练一练①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;
例 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;

求 an

例 7: an ?

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1

练一练:已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ?

an an?1 ,求 an ;

1

数列通项公式课后练习 已知数列 ?an ? 中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=2(a n +1)

(n∈N )求数列 ?an ? 的通项
?


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