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浙江省严州中学2015届高三仿真考试数学(理)试题

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严州中学 2015 届高三仿真考试数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的。
2 1.已知集合 A ? x y ? ln(1 ? 2 x ) , B ? x x ≤ x ,则 CA? B ( A ? B)= ( ▲ )

?

?

?

?

A. ( ??, 0)

B. (? ,1]

1 2

C. ( ??, 0) ?[ ,1]

1 2

D. (? , 0] ▲ )

1 2

2.已知 l , m 为两条不同的直线, ? 为一个平面。若 l / / m, 则 l / /? 是 m / /? 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? 小正周期为 ? ,则( ▲ ) A. f ( x) 的图象过点 (0 , )

2? ? ? ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? 对称,它的最 3 2 2

1 2

B. f ( x) 在 ?

? ? 2? ? , ? 上是减函数 ?12 3 ?
?? ? ,0 ? ?6 ?


C. f ( x) 的一个对称中心是 ?

? 5? ? ,0 ? ? 12 ?

D. f ( x) 的一个对称中心是 ?

4. 在正三棱柱 ABC - A 若 AB=BB1 , 则 CA1 与 BD 所成角的大小是 ( ▲ D 是 CC1 中点, 1B 1C1 中, A.

? 3

B.

5? 12

C.

? 2

D.

7? 12
▲ )

5.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an+1 ? an ? 2n (n ? N? ) ,则 S2015 = ( A. 2
2015

-1
1007

B. 2

1009

-3 -3

C. 3 ? 2

-3

D. 2

1008

x 6 .若 f ( x) 为奇函数,且 x0 是 y ? f ( x) ? e 的一个零点,则 ? x0 一定是下列哪个函数的零点



▲ )
x

A. y ? f ( x)e ? 1 C. y ? f ( x)e ? 1
x

B. y ? f (? x)e

?x

?1

D. y ? f (? x)e ? 1
x

| 1和 ax ? 4by ≥ 8 无公共解,则 ab 的取值范围是 7 .设 a, b ? R , 关于 x, y 的不等式 | x | ? | y ?
( ▲ )

A. ? ?16,16?

B. ? ?8,8?

C. ? ?4, 4?

D. ? ?2, 2?

8.抛物线 y 2 ? 2 x 的内接 ? ABC 的三条边所在直线与抛物线 x2 ? 2 y 均相切,设 A,B 两点的纵坐 标分别是 a , b ,则 C 点的纵坐标为( ▲ ) A. a ? b B. ? a ? b C. 2a ? 2b D. ?2a ? 2b

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,9—12 每题 6 分,13—15 题每题 4 分,共 36 分。把答案填在答题卷 的相应位置。 9. 若经过点 P(?3,0) 的直线 l 与圆 M ▲

: x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则圆 M 的圆心坐标是

;半径为 ▲ ;切线在 y 轴上的截距是 ▲ .
x

10.命题 p : ?x0 ? R , 2 0 ≤ 0 ,命题 q : ?x ? (0, ??), x ? sin x ,其中真命题的是 ▲ ;命题 p 的 否定是 ▲ . 11. 如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所 个四棱锥的体积是 ▲ ;表面积是 ▲ . 12. 设函数 f ( x) ? ? 示,则这

??2 x 2 ? 1 ( x ≥ 1) ? ,则 f ( f (4)) = ? ?log 2(1 - x)( x ? 1)
▲ .

▲ ;若 f ( a ) ? ?1 ,则 a ? 13. 函数 y ? sin( x ? ▲ .

? ) ? sin 2 x ( x ? R) 的最大值是 4

14.已知向量 a, b 满足: | a |? 13 , | b |? 1 , | a ? 5b |≤12 , 上的投影的取值范围是 ▲ .

? ?

?

?

?

?

则b 在a

?

?

x2 y 2 15. 点 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1,(a ? 0, b ? 0) 上一点,F 是右焦点, 且 ?OPF 为等腰直角三角形 (O a b
为坐标原点) ,则双曲线离心率的值是 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 15 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 a,b,c 成等比数列,且 sin A sin C ? (I)求角 B 的大小; (II)若 b ? 3 ,求 ?ABC 的面积最大值.

3 . 4

A
17. (本题满分 15 分) 如图,已知 AB ? 平面 BEC , AB / /CD,

D

AB ? BC ? 4 , ?BEC 为等边三角形,
(1)若平面 ABE ? 平面 ADE ,求 CD 长度; (2) 求直线 AB 与平面 ADE 所成角的取值范围.

B

C

18. (本题满分 15 分)

E

1 2 2 x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,且过点 (2 2 , ) , a b 3 3

(1)求椭圆方程; (2) Rt ?ABC 以 A(0, b) 为直角顶点,边 AB, BC 与椭圆交于 B, C 两点,求 ?ABC 面积的最
大值.

19.(本题满分 15 分) 函数 f ( x) ? 2ax ? 2bx ? a ? b(a,b ? R, a ? 0) , g ( x) ? 2ax ? 2b
2

(1)若 ? ? ?0, ? 时,求 f (sin ? ) 的最大值; 2

? ?? ? ?

s i n )? 的最大值为 2, (2) 设 a ? 0 时, 若对任意 ? ? R , 都有 | f (sin ? ) |≤1 恒成立, 且 g( 求 f ( x)
的表达式.

20.(本题满分 14 分) 各项为正的数列 ?an ? 满足 a1 ?

a2 1 ? , an ?1 ? n ? an ,(n ? N ) , 2 ?

(1)取 ? ? an?1 ,求证:数列 ?

? an ?1 ? ? 是等比数列,并求其公比; ? an ?

(2) 取 ? ? 2 时令 bn ?

1 , 记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 数列 ?bn ? 的前 n 项之积为 Tn , 求证: an ? 2

对任意正整数 n , 2n?1Tn ? Sn 为定值.

数学理科参考答案
1-8 CDCC BAAB 9. ( -2,1 );2; -3 13.

, 2 ?0 10. q ; ?x ? R
x

11. 2; 2+3 2+ 22 12. 5;1 或

1 2
[:]

9 8

14. [

5 ,1] 13

15.

5 ?1 10 ? 2 3? 5 ? 3? 5 或 ? 2 2 2

16. 解: (Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b2 ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C . 3 3 3 又 sin A sin C ? ,所以 sin 2 B ? .因为 sinB>0,则 sin B ? . ………………4′ 4 4 2 ? 2? 因为 B∈(0,π),所以 B= 或 .
3 3

又 b ? ac ,则 b ? a 或 b ? c , 即 b 不是△ ABC 的最大边,故 B ?
2

π . ………………3′ 3

(II)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得
2 2 2

9 ? a 2 ? c 2 -ac ? 2ac-ac ,得 ac ? 9
当 a ? c ? 3 时,△ABC 的面积最大值为

∴. S? ABC ?

1 9 3 ac sin B ? 2 4

17. 解: (1) 设 | CD |? d 取 BE、 AE 中点 O、 F, 连结 OC、 OF, 以 O 为原点, OE、 OC、 OF 为 x, y, z

9 3 4

0, 4), B( ?2, 0, 0) , 轴建立坐标系,则 A( ?2,

???? 易知平面 ABE 的法向量为 OC ? (0, 2 3, 0) C(0, 2 3, 0), D(0, 2 3, d ), E(2, 0, 0) ? 设面 ADE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ???? ? ? 2-d ?n ? AE ? 4 x -4 z ? 0 ,1) 则 ? ? ???? 可得 n ? (1, 2 3 ? ?n ? DE ? ?2 x ? 2 3 y ? dz ? 0 ? ???? 所有 n ? OC ? 0 ? d ? 2 ,所以 CD 长度为 2. ? 2-d ,1) ,设直线 AB 与面 ADE 所成角为 ? ,则 (2)由(1)可知:面 ADE 的一个法向量 n ? (1, 2 3 ???? ? ? AB ? n 4 2 ( 0, ] . sin ? ? | ???? ? |= ? (0, ] ,所以 ? ? 4 2 | AB|?|n| ( 2 ? d )2 4 1?1? 12 1 2 2 18. 解 :( 1 ) 由 e ? 得 a ? 3b , 把 点 ( 2 2 , ) 带 入 椭 圆 方 程 可 得 : 3 3 1 ( )2 2 ( 2 2 )2 3 ? 1 ? b ? 1 ,所以椭圆方程为: x ? y 2 ? 1 ? 9 9b2 b2 1 (2)不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ? x ? 1 。 k ? y ? kx ? 1 ?18k ? , 由 ? x2 得: (1 ? 9k 2 ) x 2 ? 18kx ? 0 ? xB ? 2 1 ? 9k 2 ? ? y ?1 ?9

1 18k 18k 1 18k , 从而有 AB ? 1 ? k 2 代入,可得 xC ? , AC ? 1 ? 2 , 2 2 k 9?k 1 ? 9k k 9 ? k2 1 k? 1 k (1 ? k 2 ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 162 。 ? 162 2 2 1 2 (1 ? 9k )(9 ? k ) 2 9(k ? 2 ) ? 82 k 1 162t 162 27 令 t ? k ? ? 2 ,有 S ?ABC ? 2 ? ? k 9t ? 64 9t ? 64 8 t 8 27 当且仅当 t= ? 2 , ( S ?ABC ) max ? . 3 8 19. 解: (1)令 sin ? ? t ?[0,1] ,原命题等价于求证 f ( t ) 在 t ?[0,1] 的最大值为 | 2a ? b | ?a b 而 a ? 0 ,对称轴 t ? ,结合函数图象可知: 2a ? f (1) ? a ? b(b ? a ) f ( x )max ? ? ?| a ? b | ? f (0) ? b ? a(b ? a ) (2)令 sin ? ? t ? [-1,1] ,则 | f ( t ) |? 1 ?| f (0) |? 1,| f (1) |? 1,| f (-1) |? 1 , 因为 a ? 0 ,所以 g(sin? )max ? g(1) ? 2 ,而 g(1) ? 2a ? 2b ? 2 而 f (0) ? b ? a ? -1 而 t ? [?1,1] 时, | f (t ) |? 1 ? ?1 ? f (t ) ? 1 , 结合 f (0) ? -1 可知二次函数的顶点坐标为 (0, ?1)
k 用?
所以 b ? 0, a ? 1 ,所以 f ( x ) ? 2 x ?1 .
2
[:]

[:.]

20. 证明: (1) an?1 ? 两边同除 an 可得: (
2

a 2 2 ? an ? an ?1 ? an?1an ? an ? 0 an?1

2 n

an?1 2 an?1 a 1? 5 )? ? 1 ? 0 ? n?1 ? an an an 2
a an?1 1+ 5 1+ 5 为常数,故数列 { n?1 } 是等比数列,公比为 ? 2 an an 2

因为 an ? 0 ,所以 ?

2 an 1 1 an (2)由 an?1 ? ? an ? 2an?1 ? an (an ? 2) ? bn ? ? 2 an ? 2 2 an?1 a 1 a1 1 a2 1 an 1 1 1 所以 Tn ? b1 ? b2 ?bn ? ( )( )?( ) ? ( )n ( 1 ) ? ( )n +1 ( ) 2 a2 2 a3 2 an?1 2 an?1 2 an?1 2 an 2a ? 2an 1 1 an 1 = = n?1 ? ? 2 an?1 2anan +1 2anan +1 an an?1 1 1 1 n +1 所以 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ,故 2 Tn ? Sn =2 为定值. ? =2 ? a1 an?1 an?1

bn =

-END-


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