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上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期期中考试数学试题 含答案

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华师大二附中 2018 届高三期中考试数学试卷 2018.11 一. 填空题 1. 已知 sin ? ? 1 ,则 cos? ? 23 2. 双曲线 x2 ? y2 ? 1的实轴长为 2 3. 集合 M ? ?1,2, zi? , i 为虚数单位, N ? ?3, 4? , M N ? ?4? ,则复数 z ? 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ? x ? a ?1的图像只有一个交点,则 a? 5. 投掷两颗均匀的骰子一次,则点数之和为 5 的概率等于 6. 已知函数 f (x) ? 2x ?1 (a ? 1 ) 的图像与它的反函数的图像重合,则实数 a ? x?a 2 7. 设 e1, e2 为单位向量,且 e1, e2 的夹角为 ? 3 ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方 向上的射影为 8. an 是 (2 ? x)n (n ? N?,n ? 2) 展开式中 x2 的系数, lim( 22 a n?? 2 ? 23 a3 ? ? 2n ) ? an 9. 在等差数列?an? 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时, Sn 取最大 值,则 d 的取值范围是 10. 给出下列命题:① y ? 1是幂函数;② 函数 f (x) ? 2x ? log 2 x 的零点有且只有 1 个; ③ x ?1(x ? 2) ? 0 的解集为[2, ??) ;④“ x ?1”是“ x ? 2 ”的充分非必要条件;⑤ 数 列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? an ?1 (a ? R) ,则?an? 为等差或等比数列; 其中真命题的序号是 11. 矩阵的一种运算 ? ? ? a c b d ? ? ? ? ? ? x y ? ? ? ? ? ? ? ax cx ? ? by dy ? ? ? ,该运算的几何意义为平面上的点 ( x, y) 在矩 阵 ? ? ? a c b d ? ? ? 的作用下变换成点 (ax ? by, cx ? dy) ,若曲线 x2 ? 4xy ? 2y2 ? 1 在矩阵 ? ? ? 1 b a? 1 ? ? 的作用下变换成曲线 x2 ? 2 y2 ? 1,则 ab ? 12. 已知函数 y ? x2 ? (a ?1)2 ? x ? a ?1 的最小值大于 5,则 a 的取值范围是 二. 选择题 13. 若 a ? b ?1, 0 ? c ?1,则( ) A. ac ? bc B. abc ? bac C. a logb c ? b loga c D. loga c ? logb c 14. 圆 x2 ? y2 ? 2x ? 8y ?13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ?1 ? 0 的距离为 1,则 a ? ( ) A. ? 4 B. ? 3 C. 3 D. 2 3 4 15. ?, ? 是两个平面, m, n 是两条直线,有下列四个命题,其中错误的是( ) A. 若 m ? n , m ? ? , n ∥ ? ,则? ? ? B. 若 m ? ? , n ∥? ,则 m ? n C. 若? ∥ ? , m ?? ,则 m ∥ ? D.若 m ∥ n ,? ∥ ? ,则 m 与? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等 16. 在△ ABC 中,若 AB ? 13 , BC ? 3, ?C ? 120? ,则 AC ? ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0) 上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且| PM | ? 2 | MF | ,则直线 OM 的斜率的最大值为( ) 3 A. 2 B. 2 C. D. 1 3 3 2 18. 如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1 、 l2 之间, l ∥ l1 , l 与半 圆相交于 F 、G 两点,与三角形 ABC 两边相交于点 E 、D ,设弧 FG 的长为 x (0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f (x) 的图像大致为( ) A B C D 三. 解答题 19. 如图, ?ABC 内接于圆 O , AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形, DC ? 平面 ABC , AB ? 2 ,已知 AE 与平面 ABC 所成的角为? ,且 tan? ? 3 ; 2 (1)求证:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)记 AC ? x ,V (x) 表示三棱锥 A ? CBE 的体积, 求V (x) 的表达式及最大值; 20. 某工厂在 2018 年的“减员增效”中对部分人员实行分流,规定分流人员一年可以到原 单位领取工资的 100%,从第二年初,以后每年只能在原单位按上一年的 2 领取工资,该 3 厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段, 第二年每人可获得 b 元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增 50%,如 果某人分流后工资的收入每年 a 元,分流后进入新经济实体,第 n 年的收入为 an 元; (1)求?an? 的通项公式; (2)当 b ? 3a 时,是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入? 8 21. 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(?1, 0) , F2 (1, 0) ,纵轴的两个顶点分别为 B1 、 B2 ; (1)若 ?F1B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的标

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