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高考排列组合、概率知识点总结及典型例题(教师版)

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高考排列组合、概率知识点总结及典型例题 排列组合知识点总结: 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相 加。 2.乘法原理:做一件事分 n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相 乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成 一 列,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列,所 有排列的个数记为 Anm . 1.公式:1. Anm ? n?n ? 1??n ? 2?……?n ? m ? 1? ? ?n n! ? m?! 2. 规定:0! ? 1 (1) n! ? n?(n ?1)!,(n ?1)? n! ? (n ?1)! (2) n? n! ? [(n ?1) ?1]? n!? (n ?1)? n!? n!? (n ?1)!? n!; (3) n ? n ?1?1 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 (n ?1)! (n ?1)! (n ?1)! (n ?1)! n! (n ?1)! 三.组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个 不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公式: C m n ? A m n A m m ? n?n ? 1?……?n ? m ? 1? m! ? n! m!?n ? m?! 规定: C 0 n ?1 2.组合数性质: C m n ? C n? n m,Cnm ? C m?1 n ? Cnm?1,Cn0 ? C 1 n ? …… ? C n n ? 2n ① cmn ? cnn?m ;② c m n ? cnn-1 ? c m ?1 n?1 ;③ kc k n ? ncnk-?11 ; 注:Crr ? Cr r ?1 ? Cr r?2 ? Cr n?1 ? Cnr ? C r?1 r ?1 ? Cr r ?1 ? Cr r?2 ? Cr n?1 ? Cnr ? C r?1 r?2 ? Cr r?2 ? Cr n?1 ? Cnr ? C r ?1 n?1 若 C m1 n ? C m2 n 则m1 =m2或m1 +m2 ? n 四、二项式定理. 1. ⑴二项式定理: (a ? b) n ?C n0a nb 0 ?C n1a n?1b ? ? ?C r n a n?r b r ? ? ?C nna 0b n . 展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ?1项; ② 系数:依次为组合数 C 0 n ,C n1,C 2 n , ? ,C r n , ?,C n n ; ③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列 展开. ⑵二项展开式的通项. (a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C r n a n?r b r (0 ? r ? n, r ? Z ) . ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; -1- ②二项展开式的中间项二.项.式.系.数.最大. I. 当 n 是偶数时,中间项是第 n 2 ? 1 项,它的二项式系数 C n 2 n 最大; II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 n ?1 项和第 n ?1 ?1项,它们的二项式 2 2 n?1 n?1 系数 C 2n ?C 2n 最大. ③系数和: C 0 n ?C n1? ? ?C n n ?2 n C 0 n ?C 2 n ?C 4 n ? ? ?C 1 n ?C 3 n ? ? ?2 n?1 概率知识点总结: 一、基本知识 在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件; 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件; 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随即事件。 (1)在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 m 总是接近于某个常数,在它附近摆 n 动,这是就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A)。 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常试验中的某一事件 A 由几 个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且 所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是 1 。如果某个事件 A 包含的结果有 n m 个,那么事件 A 的概率 P(A)= m . n 事件 A 与 B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。一般地,如果 事件 A1、A2、……An 中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件 A1、A2、……An 彼此互斥。 事件 A 与 A 中必有一个发生,这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分 别发生的概率的和,即 P(A+B)=P(A)+P(B)。 一般地,如果事件 A1、A2、……An 彼此互斥,那么 事件 A1+A2+……+An(即 A1、A2、……An 中有一个发生)的概率,等于这 n 个事件分别发生的概率的 和,即 P(A1+A2+……+An)= P(A1)+ P(A2)+ ……+ P(An)。 对立事件的概率的和等于 1,即 P( A) ? P( A) ? P( A ? A) ? 1。 两

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