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2009年高考数学二轮复习专题讲座5——数列(修改)

时间:2012-05-10


高考数学二轮复习数列专题讲座 高考数学二轮复习数列专题讲座 数列
一、试题特点
1、近四年高考各试卷数列解答题考查情况统计 2005 年高考各地的 16 套试卷中, 每套试卷均有 1 道数列解答题试题,处于压轴位置的有 6 道.数列 解答题属于中档题或难题.其中,涉及等差数列和等比数列的试题有 11 道,有关递推数列的有 8 道,关 于不等式证明的有 6 道.另外,等比求和的错位相减法,广东卷的概率和数列的交汇,湖北卷的不等式型 的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点. 2006 年高考各地的 18 套试卷中,有 18 道数列解答试题.其中与函数综合的有 6 道,涉及数列不等式 证明的有 8 道,北京还命制了新颖的“绝对差数列”,值得一提的是,其中有 8 道属于递推数列问题,这在高 考中是一个重点. 2007 年高考各地的各套试卷中都有数列题,有 7 套试卷是在压轴题的位置,有 9 套是在倒数第二道的 位置,其它的一般在第二、三的位置,几乎每道题涉及到递推数列,有 9 道涉及到数列、不等式或函数的综 合问题,安徽省还出现了一道数列应用题. 2008 年高考各地的各套试卷中都有数列题,也都是几乎每道题涉及到递推数列, 数列、不等式或函数 的综合问题. 综上可知,数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型,其命题热点是与不等式交汇、 呈现递推关系的综合性试题.当中,以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体,有着高等数学背 景的数列解答题仍将是未来高考命题的亮点,而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将 成为高考命题的一个新亮点. 2、主要特点 数列是高中代数的重要内容之一,也是与大学衔接的内容,由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维 水平,以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用,所以在历年高考中占有重要地位,近 几年更是有所加强. 数列解答题大多以数列为考查平台,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数 与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和 解决问题的能力,其难度属于中、高档难度. 高考对本章的考查比较全面,等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观 题和一个综合解答题,数列的综合题难度都很大,甚至很多都是试卷的压轴题,它不仅考查函数与方程、 转化与化归、分类讨论等重要思想,还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其 中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中. 3、考查知识 (1)考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能. (2)常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合,考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、 组合、融会,进而考查学生的学习潜能和数学素养. (3)常以应用题或探索题的形式出现,为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间.

1

二、教学要求
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) ,了解数列是一种特殊函数.理解数 列的通项公式的意义. 2、理解等差数列的概念;掌握等差数列的通项公式、前 n 项和公式,能运用公式解决一些简单问题. 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一 次函数的关系. 3、理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、前 n 项和公式,能运用公式解决一些简单问题. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指 数函数的关系. 探索等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 4、数列教学,要注意的问题: (1)教学中,应使学生了解数列是一种特殊函数. (2)会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式. (3)教学中,要掌握数列中各量之间的基本关系.但训练要控制难度和复杂程度,避免繁琐的计算、人 为技巧化的难题. (4)等差数列和等比数列有着广泛的应用,教学中应重视在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或 等比关系.这样做,即突出了问题意识,也有助于学生理解数列的本质.

三、考试要求: 考试要求:
内容 A 数列有关概念 数 列 等差数列 等比数列 √ √ √ 要求 B C

四、2008 年高考数列试题类型
类型一:考查等差、等比数列的基本问题 等差、等比数列是两类最基本的数列,它们是数列部分的重点,也是高考考查的热点.等差、等比数 列的定义、通项公式、前 n 项的和等基本知识一直是高考考查的重点,这方面考题的解法灵活多样,技巧 性强,考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上. 1. (全国数学Ⅰ文科 19)在数列 {an } 中, a1 = 1 , an +1 = 2an + 2 .
n

(Ⅰ)设 bn =

an .证明:数列 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 2n ?1

(全国数学Ⅱ文科 18) 等差数列 {an } 中, 4 = 10 且 a3,a6,a10 成等比数列, a 求数列 {an } 前 20 项的和 S 20 . 类型二:考查递推数列的通项公式问题 对于由递推式所确定的数列的通项公式问题,通常可对递推式进行变形,从而转化为等差、等比数列 问题来解决.这类问题一直是高考久考不衰的题型,尤其以 2007 年高考试题最为明显。 全国卷近三年理科所考查六个解答题中有四道(2006 年全国Ⅰ理科第 22 题、2007 年全国Ⅰ理科第 22
2

题 、2007 年全国Ⅱ理科第 21 题 、2008 年全国Ⅱ理科第 20 题)(占了三分之二)都是形如:an +1 = can + d

(c ≠ 0, c ≠ 1, d ≠ 0) 或者 an = c an ?1 + d b n (c ≠ 0, c ≠ 1, d ≠ 0, b ≠ c) 的递推数列求其通项公式的问题.
2. (全国数学Ⅰ理科 22)设函数 f ( x ) = x ? x ln x .数列 {an } 满足 0 < a1 < 1 , an +1 = f ( an ) .

1) (Ⅱ)证明: an < an +1 < 1 ; (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数;
(Ⅲ)设 b ∈ ( a1, ,整数 k ≥ 1)

a1 ? b .证明: ak +1 > b . a1 ln b
n
*

3. (全国数学Ⅱ理科 20)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 = a , an +1 = S n + 3 , n ∈ N . (Ⅰ)设 bn = S n ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 an +1 ≥ an , n ∈ N ,求 a 的取值范围.
n
*

类型三:考查数列与不等式的综合问题 数列与不等式都是高中数学重要内容,一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中 都得到了比较充分的体现.以两者的交汇处为主干,构筑成知识网络型代数推理题,在高考中出现的频率 相当高,占据着令人瞩目的地位. 4. (陕西卷理科数学 22)已知数列 {an } 的首项 a1 =

3an 3 , an +1 = , n = 1 2, . ,L 5 2 an + 1
1 1 ?2 ? 2, ? ? x ? , n = 1, L ; 2 ? n 1 + x (1 + x) ? 3 ?

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x > 0 , an ≥

(Ⅲ)证明: a1 + a2 + L + an >

n2 . n +1

类型四:考查考察存在性和探索性问题 课程改革突出强调培养学生的探究、发现和创造能力,2008 年江苏卷对此考查全面且达到了一定的深 度,特别是第 19 题数列题使这样的考查达到了相当的水平,体现了研究性学习思想. ,且公差 d ≠ 0 ,若将此 5. (08 江苏卷 19) (Ⅰ)设 a1 , a2 ,LL , an 是各项均不为零的等差数列( n ≥ 4 ) 数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n =4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1 , b2 ,LL , bn ,其 中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列. 6. (2007 年江苏卷)已知 {an } 是等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列, a1 = b1 , a2 = b2 ≠ a1 ,记 Sn 为 数列 {bn } 的前 n 项和. (1)若 bk = am ( m, k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: S k ?1 = ( m ? 1) a1 ;

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(2)若 b3 = ai (i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列 {bn } 中每一项都是数列 {an } 中的项; (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {bn } 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加以 说明;若不存在,请说明理由.

五、二轮复习建议: 二轮复习建议:
1、填充题力争确保 (1)填充题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和等内容,对基本的计算技能要 求不是很高,建议要强化方程思想在解题中的作用(基本量) ,知道前 n 项和与通项的关系,对中等及偏 下的学生不必介绍过多解题技巧,对基础较好的学生,可适当介绍. (2)填充题有可能出现与归纳推理有关的问题,此类题的难度不大,但对阅读问题及思路要求很高,情 境也可能相对比较新颖. 2、解答题要有所为有所不为 (1)从江苏近几年的试题来看,数列题在最后两题中出现的可能性较大. (2)对试卷中放在最后的压轴数列题,重点应放在前二问,基础较好的应冲刺最后一问,要加强 1~2 问 的训练,不能刻意求全,能做到分步得分就好.同时不能放弃数列常规题的复习教学,这仍是一个重点, 这是一项“根深叶茂”的基础工程,至关重要. 3、数列是考查学生自主探索、自主发现、数学试验、归纳猜想等直觉思维的良好载体,复习中建议多让 学生猜猜、算算、证证,反朴归真,回归数学的本源. 4、对于递推数列问题,生源好的学校可以适当加强,生源一般的学校无须舍本求末得不偿失. 5、培养学生主动学习数学的习惯 让学生想一想做一做尝试尝试,不要题目一出来就分析,那是教师在分析,学生很难分析起来.不要 用教师过早的“引导”限制、代替学生的思维,一旦学生养成了等待的习惯,学生离开了你该这么办,可以 师生共做.要让学生首先熟悉题意,重视思维过程的指导,暴露如何想?怎么做?谈来龙去脉,重视通性 通法的运用. 题目一出来,学生就立即做立即画,这是主动学习表现;若学生抬着头等你讲,那是思维懒惰的表现. 多让学生感到自然,与你共鸣.少让学生感到突然,强加给学生.努力使学生觉得,你老师想到的, 我也差不多能够想到.少让学生感到,只有你老师自己能够想到,我怎么想也想不到.学生总觉得“老师 你真聪明”不是一件好事. 6、评讲试卷建议 (1)教师自己亲自做一遍,与学生交流思维过程; (2)请学生讲.不是简单的说答案,讲怎么想的,这不论对学生本人还是其他人都有教育意义.还可以 讲“一题多解”,表扬一些学生的独特解法; (3)不必面面俱到.分类归纳,集中讲评.抓住主要的、带有普遍的问题; (4)抓大放小,居高临下; (5)抓学生的解题规范.

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