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2017_2018学年高中数学第三章3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式_图文

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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.理解二倍角的正弦、余弦、正切 公式及其推导过程. 2.能够灵活运用二倍角的正弦、余 弦、正切公式进行化简、求值、证 明. 重点:1.二倍角公式的推导. 2.二倍角公式及变形公式的应用. 难点:二倍角变形公式的应用. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 二倍角的正弦、余弦、正切公式 名称 二倍角的正弦 二倍角的余弦 公式 sin 2α= 2sin αcos α cos 2α= cos2α-sin2α = 2 记法 S2α C2α 1-2sin α = 2cos α-1 2 二倍角的正切 2tan α tan 2α= 1-tan2α T2α [双基自测] 1 2π 1. -cos 的值等于( 2 8 2 A.- 4 2 C. 2 ) 2 B. 4 2 D.- 2 ? 1 1? 2π 2π 解析: -cos =- ?2cos 8-1? 2 8 2? ? 1 π 2 =- cos =- . 2 4 4 答案:A 2.1-2sin2750° =________. 1 解析:1-2sin 750° =1-2sin 30° =cos(2×30° )=cos 60° = . 2 1 答案: 2 2 2 2tan 150° 3. =________. 1-tan2150° 2tan 150° 解析: =tan(2×150° )=tan 300° =-tan 60° =- 3. 1-tan2150° 答案:- 3 探究一 [典例 1] 求下列各式的值: 化简求值 1 3 (1) - ;(2)cos 20° cos 40° cos 80° . sin 10° cos 10° cos 10° - 3sin 10° [解析] (1)原式= sin 10° cos 10° ? 3 ? 10° - sin 10° ? 4?sin 30° cos 10° -cos 30° sin 10° ? 2 ? = = = sin 10° cos 10° 2sin 10° cos 10° 4sin 20° =4. sin 20° ?1 ? 2? cos ?2 2sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80° (2)原式= 2sin 20° 2sin 40° · cos 40° · cos 80° = 4sin 20° 2sin 80° · cos 80° = 8sin 20° = sin 160° 1 = . 8sin 20° 8 (1)同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于 三角函数式的化简.在应用时,应找到化简思路后再动手化简. (2)注意观察式子的特点及角之间的特殊关系,灵活运用二倍角公式解题,通过观 察角度的关系,发现其特征(二倍角形式),创造条件正用或者逆用二倍角公式, 使问题得以解决. 1.求下列各式的值: π 5π (1)cos cos ; 12 12 π (2)2cos -1. 12 2 π π 1 π π 解析:(1)原式=cos sin = ×2cos sin 12 12 2 12 12 1 π 1 = sin = . 2 6 4 ? π? (2)原式=cos?2×12?=cos ? ? π 3 = . 6 2 探究二 [典例 2] (1)设 α 为锐角,若 cos 给值求值 sin ? π? ?2α+ ?的值为________. 12? ? ? π? 4 ?α+ ?= ,则 6? 5 ? (2)已知 sin [解析] ?π ? 5 π ? -x?= ,0<x< ,则 4 ?4 ? 13 (1)∵α 为锐角, cos 2x ?π ?的值为________. cos ?4+x? ? ? π ?π 2π? ∴ α+ ∈ ? 6 , 3 ?. 6 ? ? 又∵cos ∴sin ? π? 4 ?α+ ?= , 6? 5 ? ? π? 3 ?α+ ?= , 6? 5 ? ∴sin cos ? ? ? π? π? π? 24 ?2α+ ?=2sin ?α+ ?cos ?α+ ?= , 3? 6? 6 ? 25 ? ? ? ? ? π? π? 7 2 ?2α+ ?=2cos ?α+ ?-1= , 3? 6? 25 ? ? ? π? ?2α+ ?=sin 12? ? ? π? ?2α+ ?cos 3? ? ?? π? π ? ?? ? ? 2 α + - ?? 3? 4? ? ? ∴sin =sin ? π? π π ? ? -cos 2α+3 sin 4 4 ? ? 24 2 7 2 = × - × 25 2 25 2 17 2 = . 50 π π π (2)∵0<x< ,∴0< -x< . 4 4 4 又∵sin ?π ? ?π ? 12 5 ? -x?= ,∴cos ? -x?= . ?4 ? 13 ?4 ? 13 ?π ? ?π ? ?π ? ? -2x?=2sin ? -x?cos ? -x? ?2 ? ?4 ? ?4 ? ∵cos 2x=sin =2cos ?π ?π ?? ?π ? ?π ? ?π ? ? ? -x??cos ? -x?=2cos ? +x?cos ? -x?, ? 2 -? ?4 ?? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ? ?π ? 24 cos 2x ? ? ∴ ?π ?=2cos ?4 -x?=13. cos ?4+x? ? ? 17 2 24 [答案] (1) (2) 50 13 (1)解决给值求值问题的关键是找到已知角与未知角之间的关系并选择恰当的公 式求解. π (2)遇到角 ± x 时可借助诱导公式进行转化求解. 4 如①cos 2x=sin ②cos 2x=sin 2sin ?π

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