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人教版高中数学必修三《算法案例)》教案设计

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1.3 算法案例 整体设计 教学分析 在学生学习了算法的初 步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不 同方式以后,再结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解 决问题中的重要作用,体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学 表达能力. 三维目标 1.理解算法案例的算法步骤 和程序框图. 2.引导学生得出自己设计的算法程序. 3. 体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 重点难点 教学重点:引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 教学难点:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 案例 1 辗转相除法与更相减损术 导入新课 思路 1(情境导入) 大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球, 东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学, 我们学过求两个正整数的最大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除 到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如 8 251 与 6 105) ,使用上述方法求最大公 约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法 ——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减 损术来进一步体会算法的思想. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)怎样用短除法求最大公约数? (2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数? (3)怎样用辗转相除法求最大公约数? (4)怎样用更相减损术求最大公约数? 讨论结果: (1)短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤: 先用两个数公有的质因数连续去除, 一直除到所得 的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. (2)穷举法(也叫枚举法) 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举, 直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数. (3)辗转相除法 w 辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,求余数 r:计算 m 除以 n,将所得余数存放到变量 r 中. 第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r. 第四步,判断余数 r 是否为 0.若余数为 0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行. 如此循环, 直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的, 因而又叫欧几里得算法. (4)更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 《九章算术》是中国古 代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之, 不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语 言如下: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用 2 约简;若不是,执 行第二步. 第二步, 以较大的数减去较小的数, 接着把所得的差与较小的数比较, 并以大数减小数, 继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是 所求的最大公约数. 应用示例 例 1 用辗转相除法求 8 251 与 6 105 的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算 法程序. 解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251=6 105× 1+2 146 . 由此可得,6 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 与 6 105 的公约数,反过来,8 251 与 6 105 的公约数也是 6 105 与 2 146 的公约数,所以它们的最大公约数相等. 对 6 105 与 2 146 重复上述步骤:6 105=2 146× 2+1 813. 同理,2 146 与 1 813 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约 数.继续重复上述步骤: 2 146=1 813× 1+333, 1 813=333× 5+148, 333=148× 2+37, 148=37× 4. 最后的除数 37 是 148 和 37 的最大公约数,也就是 8 251 与 6 105 的最大公约数. 这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可 以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数. 算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结 构来构造算法. 算法步骤如下: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数为 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则,返回第二步. 程序框图如下图: 程序: INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 点评:从教学实践看,有些学生不能理解算法中的转化过程,例如:求 8 251 与 6 105 的最 大公约数, 为什么可以转化为求 6 105 与 2 146 的公约数.因为 8 251=6 105× 1+2 146, 可以化为 8 251-6 105× 1=2 164,所以公约数能够整除等式两边的数,即 6 105 与 2 146 的公 约数也是 8 251 与 6 105 的公约数. 变式训练 你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数的最大公约数吗?试画出程序框图和程 序. 解:当型循环结构的程序框图如下图: 程序: INPUT m,n r=1 WHILE r>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公

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