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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 8.2

时间:2015-07-15


第二节 两条直线的位置关系

【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)两直线的平行、垂直与其斜率的关系: 条 件 两直线位置关系 平行 斜率的关系 k1=k2 _____ k1与k2都不存在 k1k2=-1 _______ k1与k2一个为零、 另一个不存在

两条不重合的直
线l1,l2,斜率分 别为k1,k2

垂直

(2)两直线的交点:
惟一解

无解

有无数组解

(3)三种距离:

①两点间的距离:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=
2 2 (x ? x ) ? (y ? y ) __________________. 2 1 2 1

②点到直线的距离:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
Ax 0 ? By0 ? C

d=____________. A 2 ? B2 ③两条平行线间的距离:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间
C1 ? C 2

的距离d=________. A 2 ? B2

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0). (2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),
? y? ? y0 k ? ?1, ? x? ? x 0 则有 ? 可求出x′,y′. ? ? y? ? y 0 ? k x? ? x 0 ? b, ? 2 ? 2

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:利用方程法求直线过定点问题,利用中点坐标公式及两 直线垂直的条件解决对称问题. (2)数学思想:方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归 思想.

(3)记忆口诀: ①两条直线平行 不重合的平行线,倾斜角等是必然. 倾斜角皆非直角,斜率相等亦出现. ②两条直线垂直 直线垂直看斜率,积负倒数必垂直.

③点到直线距离公式
已知定点与直线,求距离做三件事.

建立垂线的方程,联立垂足可得知.
两点坐标已确定,距离公式去求值. 如此求解太烦琐,一定要把公式记. 坐标代入线方程,加绝对值当分子. 系数平方和开方,公式分母即为此.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 ( ) )

(1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. (2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
kx 0 ? b 1? k
2

.

(

(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( )

(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可 以看做是两条直线上各取一点的最短距离. ( )
1 , k

(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于且线段AB的中点在直线l上. ( )

【解析】(1)错误,当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无
穷多个解,则两条直线重合. (2)错误,应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式 ,即 点P到直线的距离为
kx 0 ? y0 ? b 1? k
2

.

(3)正确,因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长 ,即点到直 线的距离.

(4)正确.两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长 ,即两
条直线上各取一点的最短距离.

(5)正确.根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB.所
以直线AB的斜率等于1 ,且线段AB的中点在直线l上. k

答案:(1)× (2)×

(3)√

(4)√

(5)√

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修2P70练习T1改编)直线3x-6y+4=0与y=ax+1平行,则
a=________.

【解析】由直线3x-6y+4=0知其斜率为 1 ,
所以a= 1 时两直线平行. 答案: 1
2 2 2

(2)(必修2P77习题2-1A组T3改编)已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ

垂直于直线x+y+1=0,则m=________.
【解析】由题意知 m ? 4 =1,
?2 ? m

所以m-4=-2-m,所以m=1.
答案:1

3.真题小试

感悟考题

试一试
)

(1)(2015·合肥模拟)点(1,1)到直线x+2y=5的距离为(
A. 5 5 B. 8 5 5 C. 3 5 5 D. 2 5 5

【解析】选D.因为直线x+2y=5可化为x+2y-5=0, 点(1,1)到直线x+2y-5=0的距离为 |1 ? 2 ? 5 | ? 2 5 .
5 5

(2)(2015·淮北模拟)若经过点(3,a),(-2,0)的直线与经过点(3,-4)

且斜率为 1 的直线垂直,则a的值为(
2 5 A. 2 2 B. 5 C.10 D. ? 10

)

【解析】选D.因为 a ? 0 =-2,所以a=-10.
3 ? (?2)

(3)(2015·榆林模拟)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相 同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,则与点(5,8)重合的 点是( A.(6,7) C.(-5,-4) ) B.(7,6) D.(-4,-5)

【解析】选A.因为点A(2,0)与点A′(-2,4)的中点为M(0,2),直线 AA′的斜率 k ? 0 ? 4 ? ?1,
2 ? (?2)

所以直线AA′的垂直平分线l的斜率k′=1, 所以直线l的方程为:y-2=x,即y=x+2, 所以设点B(5,8)关于直线y=x+2的对称点为B′(a,b), 则线段BB′的中点 N( 5 ? a , 8 ? b ) 在直线y=x+2上,且 k BB? ? 8 ? b ? ?1,
?8 ? b ? ?1, ? 5?a 由? ? ? 8 ? b ? 5 ? a ? 2, ? 2 ? 2
2 2 5?a

解得 ?

?a ? 6, ? b ? 7,

所以与点(5,8)重合的点是(6,7).故选A.

(4)(2015·黄山模拟)已知直线l1与l2:x-2y-2=0平行,且l1与l2的距离 是,则直线l1的方程为______________. 【解析】因为直线l1与l2:x-2y-2=0平行,所以可设l1的方程为: x-2y+c=0(c≠-2),又因为两直线的距离为 2 , 所以
|c?2| 1 ? (-2)
2

? 2,

解得c=-2+ 10 或c=-2- 10 , 所以直线l1的方程为x-2y-2+ 10 =0或x-2y-2- 10 =0. 答案:x-2y-2+ 10 =0或x-2y-2- 10 =0

(5)(2013·四川高考)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),

C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.
【解题提示】分析已知条件可知四边形ABCD是凸四边形,要求的点需 要到四点的距离之和最小,可知该点应是AC与BD的交点. 【解析】由题可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形ABCD的对 角线的交点到四点的距离之和最小 ,直线AC的方程为2x-y=0,直线BD 的方程为x+y-6=0,所以其交点为(2,4). 答案:(2,4)

考点1

两条直线平行、垂直的关系

【典例1】(1)若直线l1:ax+2y-6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则 a=________. (2)若直线l3:(a+2)x+(2-a)y=1与直线l4:(a-2)x+(3a-4)y=2互相垂直, 则a的值为________.

【解题提示】(1)由两直线的斜率相等,在y轴上的截距不等即可求解. (2)由两直线垂直,则两直线的斜率之积等于-1或一条直线的斜率等于 0,另一条直线的斜率不存在,求解.

【规范解答】(1)直线l1:ax+2y-6=0的斜率为- ,在y轴上的截距为
3.又因为直线l1与直线l2平行,所以直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0的斜率

a 2

存在且等于- 1 ,在y轴上的截距为-(a+1).由两直线平行得,
a 1 且3≠-a-1,解得a=2或a=-1. - =- 2 a- 1 a- 1

答案:2或-1

(2)当a=2时,l3:x= ,l4:y=1.所以l3⊥l4. 当a=
4 3 时,l3:y=-5x+ ,l4:x=-3. 3 2

1 4

所以l3不垂直于l4.
当a≠2且a≠ 4 时,k3= a ? 2 ,k4= 2-a .
a-2 由k3k4=-1可得 a ? 2 2-a ? -1. a-2 3a-4 3 3a-4

解得a=3.

综上可知:a=2或3.
答案:2或3

【一题多解】解答本题(2),你知道几种解法? 解答本题,还有如下解法: 因为直线l3:(a+2)x+(2-a)y=1与直线l4:(a-2)x+(3a-4)y=2互相垂直, 所以(a+2)(a-2)+(2-a)(3a-4)=0, 解上式得:a=2或a=3. 答案:2或3

【规律方法】由一般式确定两直线位置关系的方法

直线方程
l1与l2垂直 的充要条件 l1与l2平行 的充分条件

l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)
A1A2+B1B2=0
A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A 2 B2 C2 A1 B1 ? (A 2 B2 ? 0) A 2 B2 A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2C2 ? 0) A 2 B2 C2

l1与l2相交 的充分条件
l1与l2重合 的充分条件

【变式训练】1.(2015·渭南模拟)设a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

【解析】选A.若直线l1与l2平行,则a(a+1)-2×1=0, 即a=-2或a=1, 所以“a=1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件.

2.(2015·德阳模拟)若直线l1:x+ay-1=0与l2:4x-2y+3=0垂直,则a等于

(
A. 1
2

)

B.-2

C.2

D.- 1

2

【解析】选C.因为直线l1:x+ay-1=0与l2:4x-2y+3=0垂直,
则1×4+(-2)a=0,解得:a=2.故选C.

【加固训练】1.直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴

交于点P,则点P的坐标为
A.(3,0) C.(0,-3)

(

)

B.(-3,0) D.(0,3)

【解析】选D.因为l1∥l2,且l1的斜率为2,所以l2的斜率为2,又因为l2过 点(-1,1),所以l2的方程为:y-1=2(x+1),即y=2x+3,令x=0得y=3,所以 点P的坐标为(0,3).

2.已知直线l的倾斜角为

3? ,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l 4

垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于

(

)

A.-4

B.-2

C.0

D.2

【解析】选B.依题意得l的斜率为-1,因为l1与l垂直,所以l1的斜率为1,

又因为直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),所以kAB=
2 b

2 ?1 =1,解得:a=0.由 3- a

直线l2与直线l1平行,得- =1,b=-2,所以a+b=-2.

考点2

直线的交点
1 时,直线l1:kx-y=k-1与直线 2

【典例2】(1)(2015·滨州模拟)当0<k<
l2:ky-x=2k的交点在 ( )

A.第一象限
C.第三象限

B.第二象限
D.第四象限

(2)过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所 截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.

【解题提示】(1)可由两直线方程求出交点坐标,再判断横坐标和纵坐
标的符号即可.

(2)可设出直线方程并求出其与l1,l2的交点,然后利用中点坐标公式解
决.

【规范解答】(1)选B.解方程组 ?
为(

k 2k ? 1 , ). k ?1 k ?1 k 2k ? 1 因为0<k< 1 ,所以 <0, >0, 故交点在第二象限. k ?1 k ?1 2

?kx ? y ? k ? 1, 得两直线的交点坐标 ?ky ? x ? 2k

(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=3,则l与l1,l2的交点分别为(3,

4),(3,-6),此时P点不是AB的中点,故直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x-3),

将此方程分别与l1,l2的方程联立,

? y ? k ? x ? 3? , ? y ? k ? x ? 3 ? , 得? 和? ?2x ? y ? 2 ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0.

解之,得 x A ? 3k ? 2 和x B ? 3k ? 3 ,
k?2 k ?1

因为P(3,0)是线段AB的中点,由xA+xB=6得
3k ? 2 3k ? 3 ? ? 6, 解得k=8. k?2 k ?1

故直线l的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.

【规律方法】

1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的

解为坐标的点即为交点.
2.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结
合其他条件写出直线方程.

【变式训练】(2015·重庆模拟)已知两条直线l1:y=2,l2:y=4,设曲线
y=3x与l1,l2分别交于点A,B,曲线y=7x与l1,l2分别交于点C,D,求直线AB

与直线CD的交点坐标.

【解析】依题意得A(log32,2),B(2log32,4),则直线AB的方程为
y? y? 2 x. 同理,C(log72,2),D(2log72,4),则直线CD的方程为 log3 2

2 x. log 7 2

2 ? y ? x, ? log 3 2 ? x ? 0, ? 由? 得? 即直线AB与直线CD的交点坐标为(0,0). 2 y ? 0, ?y ? x, ? ? log 7 2 ?

【加固训练】经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点,且也经过点 A(8,-4)的直线方程为______. 【解析】由 ? ?
? x ? ?2, 得? ? x ? y ? 3 ? 0, ? y ? 1. x ? y ? 1 ? 0,

即两直线的交点坐标为(-2,1). 又因为直线过点A(8,-4), 所以 k ?
1 ? ? ?4 ? 1 ?? . ?2 ? 8 2

故所求直线方程为y-(-4)=- (x-8),整理得x+2y=0. 答案:x+2y=0

1 2

考点3

对称问题

【典例3】(1)平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线 方程是( A.y=2x-1 C.y=-2x+3 ) B.y=-2x+1 D.y=2x-3

(2)光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y 轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在 的直线方程.

【解题提示】(1)可在直线y=2x+1上任取两点,求出这两点关于点 (1,1)的对称点坐标,最后求出直线方程. (2)画出示意图,根据光的反射原理及点关于直线的对称问题求解. 【规范解答】(1)选D.在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则 点A关于点(1,1)对称的点M(2,1),B关于点(1,1)对称的点N(1,-1).由 两点式求出对称直线MN的方程
y ?1 x ?1 = , 即y=2x-3,故选D. 1 ?1 2 ?1

(2)作出草图,如图所示,设A关于直线y=x的对称点 为A′,D关于y轴的对称点为D′, 则易得A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射 角可得A′D′所在直线经过点B与C. 故BC所在的直线方程为 y ? 6 ? x ? 1 ,
?4 ? 6 ?2 ? 1

即10x-3y+8=0.

【易错警示】解答题(2)有三点容易出错:
(1)不能正确画出草图,找不到正确的解题思路而感觉无从下手.

(2)不能将直线BC的方程转化为直线A′D′的方程,从而无法求解.
(3)对称点求解错误.

【互动探究】在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x-y=0

对称”,则结果如何?
【解析】在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于直线 x-y=0的对称点M(1,0),B关于直线x-y=0的对称点N(3,1).由两点式求 出直线MN的方程 y ? 1= x ? 3,即x-2y-1=0.
0 ?1 1? 3

【规律方法】 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点 坐标公式得 ? ?
x ? 2a ? x1 , ? y ? 2b ? y1 ,

进而求解.

(2)直线关于点的对称,主要求解方法是: ①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称 的两点坐标,再由两点式求出直线方程; ②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方 程.

2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称: 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程组
y1 ? y 2 ? x1 ? x 2 A( ) ? B( ) ? C ? 0, ? 2 2 ? ?y ? y A 1 ? 2 (? ) ? ?1 B ? ? x 2 ? x1

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).

(2)直线关于直线的对称:

一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对
称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.

【变式训练】(2015·芜湖模拟)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,

遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
x ? 2y ? 5 ? 0, ? x ? ?1, 【解析】方法一:由 ? 得 ? ? ?3x ? 2y ? 7 ? 0, ? y ? 2.

所以反射点M的坐标为(-1,2).

又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),
设P关于直线l的对称点P′(x0,y0),
y0 . x0 ? 5 而PP′的中点Q的坐标为 ( x 0 ? 5 , y 0 ), 2 2 x ?5 y Q点在l上,所以 3 0 ? 2 0 ? 7 ? 0. 2 2

由PP′⊥l可知,k PP? ? ? ?

2 3

2 ? y0 17 ? ? ? , x ? ? , 0 ? ? 3 ?x ? 5 ? 13 由? 0 得 ? ? 3 (x ? 5) ? y ? 7 ? 0, ? y ? ? 32 . 0 0 0 ? ? 13 ? ?2

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33=0.

方法二:设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为

P′(x,y),

y0 ? y 2 ?? , x0 ? x 3

x ? x 0 y ? y0 , ) 在l上, 2 2 所以 3 ? x ? x 0 ? 2 ? y ? y0 ? 7 ? 0, 2 2 2 ? y0 ? y ? ? , ? x0 ? x 3 由 ? ? ?3 ? x ? x 0 ? (y ? y ) ? 7 ? 0. 0 ? 2 ?

又PP′的中点 Q(

可得P点的横、纵坐标分别为
x0 ? ?5x ? 12y ? 42 12x ? 5y ? 28 , y0 ? , 13 13

代入方程x-2y+5=0中,化简得29x-2y+33=0, 所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.

【加固训练】1.已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对 称,则l2的方程是( A.x-2y+1=0 C.x+y-1=0 ) B.x-2y-1=0 D.x+2y-1=0

【解析】选B.l1与l2关于l对称,则l1上任一点关于l的对称点都在l2上, 故l与l1的交点(1,0)在l2上,又易知(0,-2)为l1上一点,设其关于l的对称
?y? 2 1 ? ?1, ? ? x ? ?1, 即(1,0),(-1,-1)为l 上 x?0 点为(x,y),则 ? 得 2 ? ? y ? - 1 , x ? 0 y ? 2 ? ? ? 1 ? 0, ? ? 2 ? 2

两点,可得l2方程为x-2y-1=0.

2.直线x-2y+1=0关于x=3对称的直线方程为______________. 【解析】设M(x,y)为所求直线上的任意一点,则其关于x=3对称的点 为(6-x,y),从而有6-x-2y+1=0,即x+2y-7=0,所以直线x-2y+1=0关于 x=3对称的直线方程为x+2y-7=0. 答案:x+2y-7=0

考点4

三种距离公式的应用 知·考情

两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离在高考中常 有所体现,一般是以选择题、填空题的形式出现,考查两点间的距离公 式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式以及转化与化归思 想等.

明·角度

命题角度1:两点间距离公式及应用
【典例4】(2014·四川高考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过 定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围 是( )
B. [ 10,2 5] D. [2 5,4 5]

A. [ 5,2 5] C. [ 10,4 5]

【解题提示】求出定点A,B的坐标,然后判断PA⊥PB,对点P与点A、
点B的位置关系讨论,求|PA|+|PB|的取值范围.

【规范解答】选B.由动直线x+my=0知定点A的坐标为(0,0),由动直
线mx-y-m+3=0知定点B的坐标为(1,3),且两直线互相垂直,故点P在 以AB为直径的圆上运动.故当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|取得 最小值,(|PA|+|PB|)min=|AB|= 10 .当点P与点A或点B不重合时,在 Rt△PAB中,有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.因为|PA|2+|PB|2≥2|PA||PB|, 所以2(|PA|2+|PB|2)≥(|PA|+|PB|)2,当且仅当|PA|=|PB|时取等号, 所以|PA|+|PB|≤ 2 PA 2 ? PB 2 ? 2 ? 10 ? 2 5, 所以 10 ≤|PA|+ |PB|≤2 5 ,所以|PA|+|PB|的取值范围是[ 10 ,2 5 ].

命题角度2:点到直线的距离公式及应用 【典例5】(2015·南昌模拟)过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5) 到它的距离相等,则直线方程为________. 【解题提示】设出过P(1,2)的直线方程后,利用点到直线的距离公式 求之.

【规范解答】显然这条直线斜率存在.

设直线方程为y=kx+b,根据条件有
?2 ? k ? b, ? ? 2k ? 3 ? b 4k ? 5 ? b ? . ? 2 2 k ?1 ? k ?1 ?k ? b ? 2, ?k ? b ? 2, 化简得 ? 或? ?k ? ?4 ?3k ? b ? 1 ? 0. 所以k=-4,b=6或 k ? ? 3 , b ? 7 . 2 2

所以直线方程为y=-4x+6或 y ? ? 3 x ? 7 ,
2 2

即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.

答案:4x+y-6=0或3x+2y-7=0

【一题多解】解答本题还有如下方法: 因为kAB=-4,线段AB的中点为(3,-1),

所以过P(1,2)且与直线AB平行的直线方程为
y-2=-4(x-1),

即4x+y-6=0.此直线符合题意.
过P(1,2)及线段AB的中点(3,-1)的直线方程为
3 (x-1), 2

y-2=-

即3x+2y-7=0.此直线也是所求. 故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.

命题角度3:两平行线间的距离公式及应用 【典例5】(2015·安庆模拟)若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2: 2x+6y-3=0的距离为 10 ,则m=( A.7 B.
17 2

) D.17

C.14

【解题提示】直线l1即2x+6y+2m=0,根据它与直线l2:2x+6y-3=0的距离 为 10 ,可得
| 2m ? 3 | ? 10, 由此求得m的值. 4 ? 36

【规范解答】选B.直线l1:x+3y+m=0(m>0), 即2x+6y+2m=0, 因为它与直线l2:2x+6y-3=0的距离为 10, 所以
2m ? 3 4 ? 36 ? 10, 求得m ? 17 , 2

故选B.

悟·技法 距离的求法 (1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为 一般式.

(2)两平行直线间的距离 ①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点 到另一条直线的距离; ②利用两平行线间的距离公式. 提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式, 且使x,y的系数分别相等.

通·一类

1.(2015·张家界模拟)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,
| PA |2 ? | PB |2 点P为线段CD的中点,则 =( 2 | PC |

)

A.2

B.4

C.5

D.10

【解析】选D.以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴建立直

角坐标系,设A(a,0),B(0,b),则 D( a , b ), P( a , b ), 从而|PA|2+|PB|2
9 1 1 9 10 ? ( a 2 ? b 2 ) ? ( a 2 ? b 2 ) ? (a 2 ? b 2 ) =10|PC|2.故 16 16 16 16 16 2 2 4 4

PA ? PB PC
2

2

2

? 10.

2.(2015·宝鸡模拟)若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:
x-y-5=0,l2:x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值

是(
A.

)

5 15 2 ???????????B.5 2 ???????????C. 2 ???????????D.15 2 2 2

【解析】选B.由题意得P1P2中点的轨迹方程是x-y-10=0,则原点到直
线x-y-10=0的距离 d ? 10 ? 5 2.
2

3.(2015·大庆模拟)已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(1,3) 到直线l的距离为 2,则直线l的方程为______.

【解析】当直线过原点时,设直线方程为y=kx, 由点A(1,3)到直线l的距离为 2, 得
k ?3 1? k
2

? 2,

解得k=-7或k=1,此时直线l的方程为y=-7x或y=x, 当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a, 由点A(1,3)到直线l的距离为 2,



1? 3 ? a 2

? 2, 解得a=2或a=6,

此时所求的直线方程为x+y-2=0或x+y-6=0. 综上所述,直线l的方程为y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0. 答案:y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0

4.(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是 函数y= 1 (x>0)图象上一动点,若点P,A之间的最短距离为 2 2,则
x

满足条件的实数a的所有值为_____.

【解析】设 P(m, 1 ) (m>0),由两点间的距离公式得
m

PA ?

?m ? a ? ? (
2

1 ? a) 2 m

1 1 ? m 2 ? ( ) 2 ? 2a(m ? ) ? 2a 2 m m ? (m ? 1 2 1 ) ? 2a(m ? ) ? 2a 2 ? 2, m m

令t=m+

1 ≥2得|PA|= t 2 ? 2at ? 2a 2 ? 2 ? m

? t ? a ? ? a 2 ? 2.
2

若a≥2,则当t=a时,|PA|min=
解得a ? 10或a ? ? 10 ? 舍去 ?;

a 2 ? 2 ? 2 2,

若a<2,则当t=2时,|PA|min2=(2-a)2+a2-2=2a2-4a+2=8, 解得a=-1或a=3(舍去). 答案:-1, 10

【加固训练】(2015·石家庄模拟)两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,但始终保持平行,如果这 两条平行直线间的距离为d.求: (1)d的取值范围. (2)当d取最大值时两条直线的方程.

【解析】(1)方法一:①当两条直线的斜率都不存在时,即两条直线

分别为x=6,x=-3,
则它们之间的距离为9. ②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为 l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3), 即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0, 所以d= 3k ? 1 ? 6k ? 2 ? 3 3k ? 1 , 2 2
k ?1 k ?1

即(81-d2)k2-54k+9-d2=0. 因为k∈R,d>0,且d≠9, 所以Δ=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0, 即0<d≤3 10 且d≠9. 综合①②可知,所求d的取值范围为(0,3 10 ].

方法二:如图所示,显然有0<d≤|AB|. 而|AB|= (6 ? 3)2 ? (2 ? 1) 2 ? 3 10. 故所求的d的取值范围为(0,3 10 ].

(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于直线AB. 而kAB= 2 ? (?1) ? 1,
6 ? (?3) 3

所以所求直线的斜率均为-3. 故所求的两条直线方程分别为 y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0.

巧思妙解8

巧用直线系求直线方程

【典例】(2015·金华模拟)经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的
交点且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________.

? x ? 2y ? 4 ? 0, ? x ? 0, 即P(0,2). 得? ?x ? y ? 2 ? 0 ? y ? 2. 3 4 因l3的斜率为 ,且l⊥l3,故l的斜率为- . 4 3 4 故直线l的方程为y=- x+2,即4x+3y-6=0. 3

【常规解法】由方程组 ?

答案:4x+3y-6=0

【巧妙解法】方法一:
l与l3垂直, 故可设l的方程为4x+3y+m=0.
? x ? 2y ? 4 ? 0, 又由 ? 得P(0,2), ?x ? y ? 2 ? 0

代入直线l的方程得m=-6. 故直线l的方程为4x+3y-6=0.

方法二:
设经过l1与l2交点的直线系方程为

(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0(λ∈R),
即(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0.

因l与l3:3x-4y+5=0垂直,

故(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0,

解得λ=11.
故直线l的方程为4x+3y-6=0.

答案:4x+3y-6=0

【方法指导】

1.常见的四大直线系方程
(1)过定点P(x0,y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表

示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0).
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).

(3)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).
(4)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为

A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R),但不包括l2.

2.应用直线系的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时,一定要注意系数及符号 的变化规律.

【类题试解】经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,且平行于 直线x-y+4=0的直线方程为 【常规解法】先解方程组 ? ? .
3x ? 2y ? 1 ? 0,

? x ? 3y ? 4 ? 0,

得两直线的交点(-1,-1).

又因为直线与x-y+4=0平行,故直线的斜率为1.于是由直线的点斜式 方程求得:y-(-1)=x-(-1).即x-y=0.

【巧妙解法】方法一:因为所求直线与直线x-y+4=0平行,所以可设
所求直线为x-y+c=0.

又因为该直线过直线3x-2y+1=0与直线x+3y+4=0的交点(-1,-1),
所以-1-(-1)+c=0,即c=0,

所以,所求直线方程为x-y=0.

方法二:因为直线经过直线3x-2y+1=0和直线x+3y+4=0的交点,所以可 设直线方程为3x-2y+1+λ(x+3y+4)=0,即(3+λ)x-(2-3λ)y+1+4λ=0.
1 又因为所求直线与直线x-y+4=0平行,因此 3 ? ? =1,解得λ=- ,所 2-3? 4

以所求直线方程为3x-2y+1- 1 (x+3y+4)=0,即x-y=0.
4

答案:x-y=0


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