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2013深圳二模数学理试题及答案

时间:2013-05-06


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)
本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:

2013.4

1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、 姓名和考生号填写 在 答题卡指定位置上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将 条 形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” . 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如 用 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使 用 铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、 错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 如果在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率记为P(B | A) ,那么 P( AB) ? P( A)P(B | A) .

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,则i ? A.0

1 等于 i
B.2i C. 1 ? i D.?1? i

2.已知集合A ? {0 , 1} ,则满足条件A ? B ? {2 , 0 , 1 , 3} 的集合B 共有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1

3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间0, ( 1 内单调递增的是 ) A. y ??

x

B. y ? e

x

? e? x

C. y ? x sin x

D. y ? lg

1? x 1? x

4.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中 抽出一个容量为28的样本,则样本中女运动员的人数为 A.9 B.10 C.11
?

D.12

x2 y2 5.已知双曲线 2 ?? 2 ? 1 的渐近线方程为y ? ?? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为 a b
顶点的椭圆的离心率等于 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2
y y ? cos x O

D.1

6. 已知x ? R , x ? 1 是 | x ?1| ? | x ?1|? 2 | x | 的 则 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

y ? sin x π 2 x

7.由曲线 y ? sin x , y ? cos x 与直线x ? 0 ,x ?

π 2

所围成的平面图形(图1 中的阴影部分)的面积是 A.1 8.在 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x) A.10
2

图1

B.

π 4

C.

2 3

2

D.2

2 ?2

? (1 ? x) 3 ? (1 ? x) 4 ? (1 ? x) 5 的展开式中,含x 2 项的系数是
B.15 C.20 D.25

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题, 每小题5分,满分30分. (一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题. 9. 某简单组合体的三视图如图2, 其中正视图与 侧 视图相同(尺寸如图,单位:cm)则该组 , 合体的体积是 cm3(结果保留? ) .
俯视图 图2 正视图 侧视图 1 2
1 1

2

10.若直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 相切,则k ? ? 11.执行图3 中程序框图表示的算法,其输出的结果

s ? 0, t ? 1, n ? 0 s ? s ? t ? 2n

s为



(注:框图中的“=”即为“←”或为“:” , =) 12.已知向量a ? (1 , ? 2) , M 是平面区域

t ? 1? t n ? n ?1


n ? 8?


?x ? 0 , y ? 0 ?? ?x ? y ?1 ? 0 ?? ? y ? 4 ? 0 ?2x
内的动点,O 是坐标原点,则a ? OM 的最小值是 .

输出s 结束

图3

13.在n ? n 的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向 下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格. 设 f (n) 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角 “☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图4,给出了



n ? 3 时的一条路径.则 f (3) ? ?
; f (n) ? ? .


图4

(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题. 14.坐标系与参数方程选做题) ( 在极坐标系中,? ? 3cos ? 上的点到直线? cos(? ? 圆 15.几何证明选讲选做题) ( 如图5,P 是圆O 外一点,PT 为切线, T 为切点, 割线PAB 经过圆心O ,PT ? 2 则?PTA ? ? .
图5

?

) ? 1 的距离的最大值是 3
T



3 ,PB ? 6 ,

P

A

??

O

B

3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题满分12 分) ( ? 已知△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、 C 的对边, 且a
2
?

?

? b2 ? c 2 .
(1)求角C 的大小; (2)求

a?b 的取值范围. c

17.本小题满分12 分) ( 一个箱中原来装有大小相同的5 个球, 其中3 个红球, 个白球. 2 规定: 进行一次操 作 是指“从箱中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白 球, 则该球不放回,并另补一个红球放到箱中. ” (1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4 的概率; (2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.

4

18.本小题满分14 分) ( 如图 6,已知四边形ABCD 是矩形,AB ? 2BC ? 2 ,三角形PAB 是正三角形,且 平 面ABCD ? 平面PCD . (1)若O 是CD 的中点,证明:BO ? PA ; (2)求二面角B ? PA ? D 的余弦值.

A

B
O C
图6

D

P

19.本小题满分14 分) ( 已知数列 {an } , {bn } 满足:a1 ? 0 , b1 ? 2013 ,且对任意的正整数n ,an ,an ?1 ,

bn 和an ?1 ,bn ?1 ,bn 均成等差数列.
(1)求a 2 ,b2 的值; (2)证明: {a n ? bn } 和 {an ? 2bn } 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数c ,使得an ? c ? bn 恒成立?证明你的结论.

5

20.本小题满分14 分) ( 已知动点M 到点F( , 1的距离与到直线 y ? 4 的距离之和为5. 0 ) (1)求动点M 的轨迹E 的方程,并画出图形; (2)若直线l :y ? x ? m 与轨迹E 有两个不同的公共点A 、B ,求m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长 | AB | 的最大值.
y 8 7 6 5 4 3 2 1 F (0 , 1) ?5 ?4 ?3 2 ? ?1 O ?1 ?2 1 2 3 4 5 x y?4

6

图7

21.本小题满分14 分) ( 定义? (x , y)=|e
x

? y | ? y | x ? ln y | ,其中x ? R , y ? R ? .

(1)设a ? 0 ,函数 f (x) ? ? (x , a) ,试判断 f ( x) 在定义域内零点的个数; (2)设0 ? a ? b ,函数F (x) ? ? (x , a) ? ? (x , b) ,求F ( x) 的最小值; (3)记(2)中的最小值为 T (a , b) ,若 {an } 是各项均为正数的单调递增数列, 证明:

? T (a , a
i i ?1

n

i ?1

) ? (an?1 ? a1 ) ln 2 .

7

8

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