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高中数学必修5特殊数列求和

时间:2015-09-10


特殊数列 的求和

等差数列求和公式:

1 ( n a1 ? an) S n ? na1 ? n(n ? 1)d Sn ? 2 2
d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2

Sn ? An ? Bn
2

等 ? Sn ? na1 (q ? 1 ) 比? n a (1 ? q ) ? 1 数 ? Sn ? (q ? 1) 1? q 列? 求? ? S ? a1 ? an q (q ? 1) 和 n 1? q

例1.求数 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , … , n + 2 列 的前n和 。 n 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+…+(n+ 2 ) 解:
=(1+2+3+ …+n)+(2+2 +2 +…+2 )
n(n+1) 2(2 n-1) = 2 + 2-1 n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2 3 n

2

3

n

例2、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
2 + …… +nxn-1 ① S =1 + 2 x +3 x 解: n xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②

① -②(1-x)Sn =1

+ x + x2+ …… + xn-1 n项 - nxn

nxn

= 1-x n+nxn+1 1-(1+n)x = 1-x
n+nxn+1 1-(1+n)x ∴ Sn= (1-x)2

1-xn

例3、求和 Sn ?

解: ? a ? n

1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1)(n ? 2)

1 1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 1 ? Sn ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 ? ? 2 3

1 1 n ?( ? ) ? 2 n?2 2(n ? 2)

小评:1、此类题的关键是怎样把通项裂项 ,注意要与 原式相等,通常在 前面加系数使其相等。 2、在求和时要注意前后几项抵消的规律。 3、剩下的是哪几项,就可以马上求出。

例4、Sn =

1
1×3

+

1
3×5 1

+……+ 1 2

1
(2n-1)×(2n+1)

解:由通项an=
∴Sn= 1 ( 1

(2n-1)×(2n+1) 1 + 1 1

=



1 2n-1 1

-

1 2n+1 1



+……+ 2 1 3 5 2n-1 ) 3 1 1 n = = (1 ) 2 2n+1 2n+1

2n+1

评:裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。


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