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数列的极限与数学归纳法

时间:2014-09-09


源于名校,成就所托

数列极限与归纳法
例 1、设 ?a n ?是等差数列, a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ; ?bn ?是等比数列, q ? 1 ,其前 n 项和 为 Tn ,已知 a4 ? b2 , S 6 ? 2T2 ? 1, lim Tn ? 8 。
n ??

(1)求数列 ?a n ?和 ?bn ?的通项公式; (2)设数列 ?cn ?的前 n 项和为 Pn ,对一切自然数 n ,有 b1c1 ? b2c2 ? ? ? bncn ? an?1 成立, 求 lim Pnbn 。
n??

例 2、用数学归纳法证明: ?3n ? 1?? 7 n ? 1 n ? N ? 能被 9 整除。

?

?

1

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例 3、在数列 ?a n ?、 ?bn ?中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn ?1 成等比 数列 n ? N ? 。 (1)求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 ?a n ?、 ?bn ?的通项公式,并证明你的结论; (2)证明:

?

?

1 1 1 5 ? ?? ? ? 。 a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

例 4、已知数列 ?a n ?满足条件 ?n ?1?an?1 ? ?n ? 1??an ?1?, a2 ? 6, bn ? an ? n n ? N ? . 。 (1)写出数列 ?bn ?的前 4 项; (2)求数列 ?bn ?的通项公式; (3)是否存在非零常数 p, q ,使数列 ? 系式;若不存在,说明理由。

?

?

? an ? ? 成等差数列,若存在,求出 p, q 满足的关 ? pn ? q ?

2

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例 5、 已知 B1 , B2 , B3 ,? 顺次为曲线 y ?

1 ?x ? 0 ? 上的点,A1, A2 , A3 ,? 顺次为 x 轴上的点, x

且均为 ?OB1 A 1 , ?A 1B2 A2 ,?, ?An Bn?1 An?1 ,? 均为等腰直角三角形,其中 B1 , B2 , B3 ,? 均为 直角的顶点,记 An 坐标为 ?xn ,0? , n? N? 。 (1)求数列 ?xn ?的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?

?

?

?1? 1 ? 的前 n 项的和,试比较 lg?S n ? 1?和 lg?n ? 1? 的大小。 2 ? xn ?

3

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【拓展提高】
例 6、对于任意的 n ? N ? , 若数列 ?an ?同时满足下列两个条件, 则称数列 ?an ? 具有“性质 m ”: ①

an ? an?2 ? an?1 ; 2

② 存在实数 M , 使得 an ? M 成立。

(1)数列 ?an ?、?bn ?中, an ? n, bn ? 2 sin

n? (n ? 1,2,3,4,5) 判断 ?an ? 、?bn ? 是否具有“性质 6
1 7 , S3 ? , 证明:数列 ?Sn ?具有 4 4

m ”;
(2) 若各项为正数的等比数列 ?cn ?的前 n 项和为 Sn , 且 c3 ? “性质 m ”,并指出 M 的取值范围; (3) 若数列 ?d n ?的通项公式 d n ?

t (3 ? 2n ? n) ? 1 (n ? N ? ) 对于任意的 n ? 3(n ? N ? ) ,数列 2n

?dn ?具有“性质 m ”,且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ? 9 ,求整数 t 的值。

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例 7、已知直角 ?ABC 的三边长 a , b, c , 满足 a ? b ? c 。 (1)在 a , b 之间插入 2011 个数, 使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ?,且它们的 和为 2013 ,求 c 的最小值; (2)已知 a , b, c 均为正整数, 且 a , b, c 成等差数列, 将满足条件的三角形的面积从小到大排成 一列 S1, S2 , S3 ,?, Sn , 且 Tn ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? (?1)n Sn , 求满足不等式 T2n ? 6 ? 2n?1 的所 有 n 的值; (3)已知 a , b, c 成等比数列, 若数列 ?X n ?满足 5 X n ? ( ) ? (? ) ( n ? N ) ,证明:数列
n n ?

c a

a c

?X n ?中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且?X n ?是正整数。

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【巩固练习】
1、下列极限正确的个数是 ①lim
n??

( ②lim q n ? 0
n??



1 ? 0(? ? 0 ) n?

③lim A、2

2n ? 3n ? ?1 n ? ? 2 n ? 3n
B、3

④lim C ? C (C 为常数)
n??

C、4

D、都不正确

2、下列四个命题中正确的是
2 A、若 lim an ? A2 ,则 lim an ? A n ??
n??




n??

B、若 an ? 0 , lim an ? A ,则 A ? 0 D、若 lim ( an ? bn ) ? 0 ,则 lim an ? lim bn
n?? n?? n??

2 C、若 lim an ? A ,则 lim an ? A2
n??

n ??

3、用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a
2

n ?1

1 ? an?2 ? (a ? 1, n ? N * ) , 在验证 n=1 成立时, 1? a
( )
2

左边计算所得的项是 A、1 B、1+ a

C、 1 ? a ? a

D、 1 ? a ? a ? a
2

3

4、某个命题与自然数 n 有关, 如果当 n ? k (k ? N * ) 时该命题成立, 那么可推得当 n ? k ? 1 时命题也成立,现在已知当 n ? 5 时,该命题不成立,那么可推得 A、当 n ? 6 时该命题不成立 C、当 n ? 4 时该命题不成立 B、当 n ? 6 时该命题成立 D、当 n ? 4 时该命题成立 ( )

* n 5、用数学 归纳 法证 明 “ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ? 1? 2 ? ?? (2n ? 1) ”( n ? N ) 时,从

“ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左边应增添的式子是 A、 2k ? 1 B、

( C、

) D、

( 2k ? 1)( 2k ? 2) k ?1

2k ? 1 k ?1

2k ? 2 k ?1

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6、已知 a、b、c 是实常数,且 lim ( A、2 ) B、3 C、

bn2 ? c an2 ? c an ? c 的值是 ? 2 , lim 2 ? 3 ,则 lim 2 n ? ? bn ? c n ? ? cn ? b n ? ? cn ? a

1 2

D、6

7、 lim ?n?1 ? ??1 ? A、0

? ? n ?? ? ?

1 ?? 3 ??

1 ?? 1 ? ? 1 ?? ??1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? 等于 4 ?? 5 ? ? n ? 2 ?? ?
C、2





B、1

D、3

8、数列 ?an ? 中, a1 = A、

2 5

6 1 , an ? an ?1 ? n ?1 , n ? N * ,则 lim ( a1 ? a2 ? ? ? ?an ) 等于( n?? 5 5 2 1 4 B、 C、 D、 7 4 25
3? n ? 2? n ? (?1) n (3? n ? 2? n ) * , n ? N ,则 2
( C、 )



9、若数列 ?an ? 的通项公式是 an ?
n??

lim ( a1 ? a2 ? ? ? ?an ) 等于

A、

11 24

B、

17 24

19 24

D、

25 24

10、 lim

n??

n?2 ? __________。 1? 2 ?? ? n 1 8 , 且 lim (a1 ? a3 ? ? ? ?a2 n ?1 ) ? , 则 n ?? 2 3

* 11 、 设 等 比 数 列 ?an ? ( n ? N ) 的 公 比 q ? ?

a1 ? _____________。

12、在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,且对任意大于 1 的正整数 n ,点

?

an , an ? 1 在直线

?

x ? y ? 3 ? 0 上,则 lim

an ? ______________。 n ? ? ( n ? 1) 2

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?n ?1 , n ? 2k ? 1 ? 13、已知数列 ?a n ?的通项公式为 an ? ? 2 k ? N? 。 n ? 2 ?2 , n ? 2k

?

?

设 bn ?

a2 n ?1 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 。 a2 n

(1)求 Sn ; (2)证明:当 n ? 6 时, S n ? 2 ?

1 。 n

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14、在 1 与 9 之间插入 2n ? 1 个正数 a1 , a2 ,...... a2n?1 ,使这 2n ? 1 个数成等比数列;又在 1 与 9 之 间 插 入 2n ? 1 个 正 数 b1 , b2 ,...... b2n?1 , 使 这 2n ? 1 个 数 成 等 差 数 列 , 记

An ? a1 ? a2 ?

? a2n?1 , Bn ? b1 ? b2 ?

? b2n?1 。

(1)求 { An } 、 {Bn } 通项公式; (2)是否存在自然数 m ,使得 f (n) ? 9 An ? 4Bn ? 17 对任一自然数 n ,都能被 m 整除? 若存在,求出最大的 m 值,若不存在说明理由。

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