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椭圆中的焦点三角形应用

时间:2015-11-06


椭圆中的

定义:椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点
三角形。 其中,我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成 的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形

考点1

有关周长和距离问题:

x2 y 2 例1 (08浙江)已知F1、F2为椭圆 ? ? 1的两个焦点,过F1的直线 25 9 交椭圆于A、B两点,若 F2 A ? F2 B ? 12, 则 AB ? _______
变式:
1. (2006四川) 如图把椭圆的长轴AB分成8分, 过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分 于P 1, P 2 , ?? P 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 则P 1F ? P 2 F ? ?? P 7 F ? _________

x2 y 2 2. 已知F1、F2是椭圆 ? ? 1的左, 右焦点, 点P在 25 9 椭圆上运动,则 PF1 ? PF2 的最大值是_______

性质一:当点P从右至左运动时,?F1 PF2 由锐角变成直角, 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成
?F1 PF2 达到最大。 锐角,并且发现当点P与短轴端点重合时,

结论: 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆 两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢?你能证明吗? 解三角形中我们常用的理论依据是什么?

观看演示:

cos ? ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

2

2

m2 ? n2 ? 4c 2 ? 2mn

(m ? n)2 ? 2mn ? 4c2 4a2 ? 2mn ? 4c2 4b2 ? 2mn 2b2 ? ? ? ? ?1 2mn 2mn 2mn mn 2 2 2b 2b ? ?1 ? 2 ?1 m?n 2 a ( ) 2
(当且仅当m ? n,即P点与短轴端点重合时" ? "成立)

考点2

有关角的问题:

例2

x2 y2 椭圆 9 ? 4 ? 1的焦点为Fl、F2,点P为其上一点,当

?F1 PF2 为直角时,点P的横坐标是_______。

x2 y 2 (2000全国)椭圆 ? ? 1的焦点为Fl、F2, 点P为 变式: 9 4 其上动点, 当?Fl PF2为钝角时, 点P横坐标的取值 范围是 ________ 。

变式: (2004湖南卷) F1 , F2是椭圆C :

x y ? ? 1的焦点, 8 4

2

2

在C上满足PF1 ? PF2的点 P的个数为______

椭 圆 与 圆 的 交 点

y
P

F1

F2

x

考点3 有关离心率的问题:

???? ? ????? 变式 已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1 ? MF2 ? 0 例 3:(09江西)
的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 _______

2 0?e? 2

x y 变式 :已知,椭圆 ? a b
2 2

2

2

(a>b>0) 上任意一点P, ?1

2 ?? 2 ; (1)、使得θ=90° 的点有二个,则此椭圆的离心率的值为___________
? 2 ? ,1? ? (2)、使得θ=90° 的点有四个,则此椭圆的离心率的范围____________ ? 2 ? ;

F1、F2为椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ

2? ? ? 0, ? ? 2 ? ; (3)、无使得θ=90° 的点,则此椭圆的离心率的范围_____________

x2 y 2 例4 已知椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)的两焦点分别为F1 , F2 , 若椭圆上存在一点P, 使得?F1 PF2 ? 1200 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。

方法1: 找临界值 方法2:已知椭圆方程为

3 ? e ?1 2
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别 2 a b

为 F1 , F2 , 设焦点三角形 PF1 F2 中 ?F PF ? ? , 1 2 则 cos? ? 1 ? 2e 2 .
(当且仅当动点为短轴端点时取等号)

考点4 有关面积的问题:

例5

x2 y 2 P是椭圆 ? ? 1上的点,Fl,F2是椭圆的焦点, 5 4

若?F1 PF2 ?

?

3 怎样改动,使上面不是一个错题?
?

, 则?PF1 F2的面积等于 _______ 。

x2 y2 一:P是椭圆 ? ? 1上的点,Fl,F2是椭圆的焦点, 5 4 若?F1 PF2 ? 6 ,则 ?PF1 F2的面积等于 _______ 。

8-4 3

x2 二:P是椭圆 ? y 2 ? 1上的点,Fl,F2是椭圆的焦点, 4 若?F1 PF2 ?

?

3 ,则?PF1 F2的面积等于 _______ 。 3 3

考点4 有关面积的问题:

x y 若F、F 1 2是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)的两个焦点, a b 求三角形F1PF2的面积。 P是椭圆上一点,且∠FPF 积。 1 2 =θ,求椭圆的面
PF2 ? n,由余弦定理得 解: 设 PF1 ? m, m ? n ? 2mn cos ? ? F1 F2
2 2 2

2

2

? 4c 2 ①

由椭圆定义得m ? n ? 2a② 2(a 2 ? c 2 ) 2b 2 由①得:mn ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 sin ? ? 2 2 S ?F1PF2 ? mn sin ? ? b ? b tan 2 1 ? cos ? 2

S ?F1PF2 ? b ? tan
2

?

2

牛 刀 小 试:
1、椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点P与两个焦点 F1 、F2 的连线互 49 24
F1 PF2 的面积为(
C. 28

相垂直, 则△
A. 20 2、已知椭圆 B. 22


D. 24

x2 2 (a ? y ?1 2 a

>1)的两个焦点为

F2 , 、 ?F1 PF2

? 60?

P为椭圆上一点,且,则 | PF 的值为( 1 | ? | PF 2 |



A. 1

B.

1 3

4 C. 3

2 D. 3

x y 3、P是椭圆 上一点,F是右焦点, ? ? 1 2 2 a b O是椭圆中心,若 ? POF 是面积为 3 的正三角形,


2

2

b2 的值为________.

x2 y 2 变式( : 04湖北) 已知椭圆 ? ? 1的左、右焦点分别是F1、F2, 16 9 点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点, 则点P到 x 轴的距离为( ) 9 A. 5 9 7 B. 7 9 C. 4 9 9 7 D. 或 4 7

性质 性 质四:过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)
2b2 最短,通径为 。 a

x2 y 2 (2007天津) 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别为F1,F2, a b 1 A是椭圆上的一点,AF2 ? F1F2,原点O到直线AF1的距离为 OF1 . 3 (Ⅰ)证明a ? 2b;(Ⅱ)略

归纳小结:
基本概念
焦点三角形

性质及应用

思想方法


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