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导数的概念及导数的几何意义

时间:2017-12-15


导数的概念及导数的几何意义
一.知识梳理 1、导数的概念及意义 求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的步骤:

(1)求函数的改变量 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ;

?y ? ?x (3)取极限,得导数 y? ?
(2)求平均变化率

; .
?x?0

特别提醒: f / ( x0 ) 的定义式并不唯一, f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,也可以写成 ?x

f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) f ( x) ? f ( x0 ) 等形式. , lim ?x ?0 x ? x0 ?x x ? x0 特别提醒:注意 f ?( x) 与 f ?( x0 ) 的区别与联系 曲线 C : y ? f ( x) 在点(x0,y0)处的导数的几何意义是 f ( x) 在该点处的切线的 ,即 k? .切线方程为 . 物理意义 : 设物体运动规律是 s ? s(t ), 则 表示物体在 t=t0 时刻的瞬时速度;设 v ? v(t ) 是速度函数,则 表示物体在 t=t0 时刻的加速度. lim
2.常用导数公式

(1).若f ( x) ? c, 则f ?( x) ? _______;(2).若f ( x) ? x n , 则f ?( x) ? _______; (3).若f ( x) ? sin x, 则f ?( x) ? _______;(4).若f ( x) ? cos x, 则f ?( x) ? _______; (5).若f ( x) ? a x , 则f ?( x) ? _______;(6).若f ( x) ? e x , 则f ?( x) ? _______; (7).若f ( x) ? log a x, 则f ( x)? ? _______;(8).若f ( x) ? ln x, 则f ?( x) ? _______ .
3.导数的运算法则 .

(1).? f ( x) ? g ( x) ?? ? ____________________________ ;(2).? f ( x) ? g ( x) ?? ? ____________________________ ; (3).? f ( x) ? g ( x) ?? ? ____________________________ ;(4).?Cf ( x) ?? ? ____________________________ (C是常数); ? f ( x ) ?? (5). ? ? ? ____________________________ . ? g ( x) ?
例 1.用导数的定义求函数 y ? 2x ? 3x ? 1 在 x ? 3 处的导数.
2

例 2.求下列函数的导数:

1 1 (1) y ? sin x ? x3 ? ; 3 x3
(3) y ? tan x ;
x

(2) y ? (2 x ? 1)(3x ? 2)
ex (5) y ? x ?1

(4) y ? e ln x

例 3. 已知曲线 y= x3 ? . (1)求曲线在点(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程.

1 3

4 3

ax , f ( x)的图象在x=1处与直线y=2相切. x ?b (1)求函数f ( x)的解析式; 例4. 已知函数f ( x) ?
2

(2)若P(x0 ,y0 )为f ( x)图象上任意一点,直线l与f ( x)的图象相切 于P点,求直线l的斜率k的取值范围.

例5.(1)求抛物线y=x2上点到直线x ? y ? 2 ? 0的最短距离. (2)若实数a、b、c、d满足 a 2 -2ln a 3c ? 4 2 2 ? ? 1, 求(a-c) ? (b-d) 的最小值. b d

巩固练习 1.知 f ( x) ? ? x 2 , 则 lim
?x ? 0

f (3 ? ?x) ? f (3) 的值是________. ?x

2.函数 y ? 3 x 在 x ? 1 处的导数为_______; 3.设曲线 y ? ax2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ________. 4.若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为________. 5.设 P 为曲线 C: 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? , y ? x2 ? 2x ? 3 上的点, 则点 P 横坐标的取值范围为________. 6. 函 数

? ?? ? 4?

y ? f ( x)

的 图 像 在 点 .

M

(1, f (1))

处 的 切 线 方 程 是

y?

1 x ? 2 , f (1) ? f / (1) = 2

7. 直线 y = kx 与曲线 y ? 2e x 相切,则实数 k =



8.已知函数 y ? x ln x. (1) 求这个函数的导数; (2)这个函数在点 x ? 1 处的切线方程.

5. 求双曲线 y ?

1 1 过点 (2, ) 的切线方程。 x 2

6.已知函数 f ?x ? ? x 3 ? 3ax2 ? 3bx 在 x ? 1 处的切线为 12x ? y ? 1 ? 0 ,求函数 f ?x ? 的解 析式.


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