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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.3.3

时间:


1.3.3

1.3.3
【学习要求】
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函数的最大(小)值与导数

1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会用导数求某定义域上函数的最值. 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键. 函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对 函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数 在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较 .

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.3.3

1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值
本 课 线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小 时 栏 端点 处或________ 极值点 处取得. 值,函数的最值必在 ______ 目 开 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: 关

函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲

极值 ; (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的______ 端点处 的函数值f(a),f(b) (2)将函数y=f(x)的各极值与________ 比较,其中最大的一个是最大值 ______,最小的一个是 最小值 ______.

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1.3.3

探究点一
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求函数的最值

问题1 如图,观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象,你能 找出它的极大值、极小值吗?



f(x1),f(x3),f(x5)是函数y=f(x)的极小值;

f(x2),f(x4),f(x6)是函数y=f(x)的极大值.

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1.3.3

问题2 观察问题1的函数y=f(x),你能找出函数f(x)在区间 [a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)
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在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论?
答 函数y=f(x)在区间[ a,b] 上的最大值是f(a),最小值

是f(x3).
若区间改为(a,b),则f(x)有最小值f(x3),无最大值.

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1.3.3

结论
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一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一

条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,且最值 必在端点处或极值点处取得.

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1.3.3

问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系?


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函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数

值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出 的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;
极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得;
有极值的未必有最值,有最值的未必有极值; 极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得必定是 极值.

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1.3.3

问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值?
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答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值,进行 比较即可.

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1.3.3

例1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π]. 2 解 (1)f(x)=2x3-12x,
∴f′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2), 令f′(x)=0,解得x=- 2或x= 2. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) (-∞,- 2) + - 2 0 极大值 (- 2, 2) - 2 0 极小值 ( 2,+∞) +

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1.3.3

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞). 因为f(-2)=8,f(3)=18,f( 2)=-8 2,
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f(- 2)=8 2; 所以当x= 2时,f(x)取得最小值-8 2; 当x=3时,f(x)取得最大值18.
1 (2)f′(x)=2+cos x,令f′(x)=0,又x∈[0,2π] , 2 4 解得x=3π或x=3π.

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1.3.3

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
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0

? 2 ? ?0, π? 3 ? ?

2 π 3 0 极大值 π 3 + 3 2

?2 4 ? ? π, π? 3 ? ?3

4 π 3 0 极小值 2 3 π- 3 2

?4 ? ? π,2π? ?3 ?



f′(x) f(x) 0





+ π

∴当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;

当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.

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1.3.3

小结
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(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅

仅是求最值,可用下面简化的方法求得. ①求出导数为零的点. ②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大 值和最小值. (2)若函数在闭区间[a,b]上连续单调,则最大、最小值在端 点处取得.

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1.3.3

跟踪训练1

求下列函数的最值:

(1)f(x)=x3+2x2-4x+5,x∈[-3,1]; (2)f(x)=ex(3-x2),x∈[2,5].
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(1)∵f(x)=x3+2x2-4x+5,

∴f′(x)=3x2+4x-4. 2 令f′(x)=0,得x1=-2,x2= . 3 ?2? 95 ∵f(-2)=13,f?3?= ,f(-3)=8,f(1)=4, ? ? 27 95 ∴函数f(x)在[ -3,1] 上的最大值为13,最小值为 . 27

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1.3.3

(2)∵f(x)=3ex-exx2,

∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)
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=-ex(x+3)(x-1), ∵在区间[2,5] 上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0, 即函数f(x)在区间[2,5] 上单调递减, ∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2; x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.

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1.3.3

探究点二 例2

含参数的函数的最值问题

已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).

(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的 切线方程.
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(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 解 (1)f′(x)=3x2-2ax.
因为f′(1)=3-2a=3,
所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

2a (2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2= 3 . 2a 当 3 ≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2] 上单调递增,

3x-y-2=0.

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1.3.3

从而f(x)max=f(2)=8-4a. 2a 当 3 ≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2] 上单调递减, 从而f(x)max=f(0)=0.
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2a 当0< 3 <2,即0<a<3时, ? ?2a ? 2a? f(x)在?0, 3 ?上单调递减,在? 3 ,2?上单调递增, ? ? ? ?
? ?0<a≤2? ?8-4a 从而f(x)max=? ? ?0 ?2<a<3?
? ?8-4a 综上所述,f(x)max=? ? ?0 ?a>2?


.

?a≤2?

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1.3.3

小结 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调
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性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要 分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.

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1.3.3

跟踪训练2

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已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最

大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
(1)当a>0时,列表如下: x f′(x) f(x) -7a+b -1 (-1,0) + 0 0 b (0,2) - -16a+b 2

由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,也就是函数在[ -1,2] 上的最大值,
∴f(0)=3,即b=3.

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1.3.3

又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),
∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.
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(2)当a<0时,同理可得,
当x=0时,f(x)取极小值,也就是函数在[ -1,2] 上的最小 值,∴f(0)=-29,即b=-29. 又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.

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1.3.3

探究点三 问题
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函数最值的应用

函数最值和“恒成立”问题有什么联系?

答 解决“恒成立”问题,可将问题转化为函数的最值 问题.如f(x)>0恒成立,只要f(x)的最小值大于0即可.对 含参不等式的恒成立问题,求参数范围时,可先分离参 数.

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1.3.3

例3 已知函数f(x)=(x+1)ln x-x+1. 若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立,求a的取值范围. x+1 1 解 f′(x)= x +ln x-1=ln x+x ,xf′(x)=xln x+1,
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而xf′(x)≤x2+ax+1(x>0)等价于ln x-x≤a. 1 令g(x)=ln x-x,则g′(x)= x-1. 当0<x<1时,g′(x)>0; 当x≥1时,g′(x)≤0, x=1是g(x)的最大值点,∴g(x)≤g(1)=-1.
? ? 综上可知,a的取值范围是??-1,+∞??.

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1.3.3

小结
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“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,

对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即 可. 一般地,可采用分离参数法.λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max; λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.

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1.3.3

跟踪训练3

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设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c,若对任意的

x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
∵f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2). ∴当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0; 当x∈(2,3)时,f′(x)>0. ∴当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c.
又f(3)=9+8c>f(1),

∴x∈[0,3] 时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c. ∵对任意的x∈[0,3] ,有f(x)<c2恒成立, ∴9+8c<c2,即c<-1或c>9. ∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.3.3

1.函数y=f(x)在[a,b]上
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( D )

A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值
解析 由函数的最值与极值的概念可知,
y=f(x)在[ a,b] 上的最大值一定大于极小值.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.3.3
( D )

2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值
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C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值
解析 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,

所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小 值,故选D.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处
?π ? x,x∈?2,π?的最大值是 ? ?

1.3.3

3.函数y=x-sin

( C )

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π A.π-1 B. - 1 C.π 2 解析 因为y′=1-cos x,
当x∈ 数,
?π ? ? ,π? ?2 ?

D.π+1
?π ? ? ,π? ?2 ?

时,y′>0,则函数在区间

上为增函

所以y的最大值为ymax=π-sin π=π,故选C.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.3.3

4.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为

-71 . 10,则其最小值为________
解析 f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
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由f′(x)=0得x=3或x=-1. 又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10,得k=5, ∴f(x)min=k-76=-71.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.3.3

1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函
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数值即可;函数在一个开区间内只有一个极值,这个极 值就是最值. 2.求含参数的函数最值,可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.


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