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人教版选修4-5导学案1.4 绝对值的三角不等式与放缩法 与习题

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高二数学导学案(理科)编写人:梁松峰 *1.4 绝对值的三角不等式与放缩法 学习目标:学会绝对值三角不等式,掌握一些常用的放缩公式. 重点难点:放缩法的实际应用. 【任务一】知识扫描(请同学们自行证明下面的定理,并完成习题) 定理 1: a ? b ≤ a ? b (a, b ? R ) ,当且仅当取等; 证明: 定理 2: a ? c ? a ? b ? b ? c (a, b, c ? R) 当且仅当取等; 证明: 推论: a ? b ≤ a ? b ,自行证明; 【任务二】自学检测 例 1[2014 江西卷] 对任意 x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为. 变式 1 已知 a, b, c ? R 且满足 a ? b ? c ,证明: ?x ? R, x ? a ? x ? b ? c 恒成立. 1 高二数学导学案(理科)编写人:梁松峰 【任务三】放缩法(此处选学,不局限于 4-5) 放缩法: “放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得 出,要注意放缩的适度,常用的方法有: ①添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ? a , n(n ? 1) ? n . ②将分子或分母放大(或缩小)如: 1 1 1 . ? ? n(n ? 1) n2 n(n ? 1) ③应用“糖水不等式” : “若 0 ? a ? b , m ? 0 ,则 ④利用基本不等式,如: lg3 ? lg5 ? ( a a?m ? ”. b b?m )2 ? ? ? lg2 4 . ⑤利用函数的单调性: ln( x ? 1) ? x , e x ? x ? 1 , sin x ? x ? tan x, x ? [0, ⑥利用函数的有界性:如: sin x ≤ 1 ? x ? R? . ? 2 ), 以及导数解答题后面步骤经常会用到前面的结论来放缩. ⑦绝对值不等式: a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b . 2 2 ⑧利用常用结论:如: 1 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1 1 2 2 ? ? ?2 k k? k k ? k ?1 ? k ?1 ? k ? ?k ? N ? , * ? k ? k ?1 ? ?k ? N ? . * 例 2 证明: 1 ? 1 1 ?L ?2 n . 2 n 2 *例 3 已知 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x),(a ? 0) 证明:存在 x0 ? 0 使得 f ( x0 ) ? 0 . 2 高二数学导学案(理科)编写人:梁松峰 选修 4-5 课后作业 建议时间:30-40 分钟 1.[2014 安徽]若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为() A.5 或 8 B. ?1 或 5 C. ?1 或 ?4 D. ?4 或 8 2.[2014 广东]不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为. 3.[2014 湖南]若关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ? 2 4.[2014 重庆]若不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? ? ? 5 1? ? x ? ? ,则 a ? ________. 3 3? 1 a ? 2 对任意实数 x 恒成立, 2 则实数 a 的取值范围是____________. 5.[2014 辽宁]设函数 f ( x) ? 2 | x ?1| ? x ? 1 ,

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